105
H. Sebuah Contoh Kepadatan Awal yang Bervariasi
Kita telah menunjukkan secara eksplisit bagaimana menggunakan metode karakteristik untuk menyelesaikan permasalahan lalu lintas yang awalnya terdiri
dari daerah dari kepadatan konstan. Ide yang sama dapat digunakan ketika kepadatan awal bervariasi dalam cara yang telah ditentukan,
Untuk kenyamanan, kita kembali mengasumsikan
,
di mana kecepatan gelombang kepadatan menentukan karakteristik sebagai berikut:
Karakteristik yang dimulai dari adalah
3.8.1
Sepanjang di mana kepadatannya konstan, nilainya sama pada ,
3.8.2 Karakteristiknya digambarkan pada Gambar 3-32. Kita asumsikan bahwa
karakteristiknya tidak berpotongan.
106
Gambar 3-32 karakteristik tak pararel tak berpotongan diambil dari buku Richard Haberman Mathematical Models hal 340
Kita menggunakan metode karakteristik dalam dua cara yang ekuivalen untuk menentukan kepadatan lalu lintas sebagai fungsi dari
dan :
1 Parameterisasi posisi awal sebagai fungsi dari dan
Setiap karakteristik ditandai dengantiap posisi, , pada
. Diberikan dan
, kita coba untuk menemukan sebagai contoh karakteristik melalui
titik .
dieliminasi menggunakan persamaan 3.8.2 dan jadi persamaan 3.8.1 hasilnya
sebagai fungsi dari dan ,
3.8.3 Langkah ini tidak selalu bias diselesaikan secara eksplisit karena mungkin
tidak bisa diselesaikan untuk . Sebagai contoh, jika
Maka karakteristiknya ditentukan dari persamaan 3.8.1,
107
Dari persamaan yang seperti persamaan 3.8.3 tidak dapat diperoleh secara eksplisit.
Karena kepadatan pada suatu titik hanya bergantung pada ,
ƒ ƒ
3.8.4 Ketika persamaan 3.8.3 ada. Jadi substitusikan persamaan 3.8.3 terhadap
persamaan 3.8.2 yakni ketergantungan terhadap posisi dan waktu dari kepadatan lalu lintas, persamaan 3.8.4.
2 Parameterisasi posisi awal sebagai fungsi dari kepadatan awal
Suatu metode yang ekuivalen awalnya menggunakan persamaan 3.8.2 untuk menentukan
sebagai fungsi dari ,
.
3.8.5 Ini tidak selalu mungkin untuk mendapatkan dari persamaan 3.8.2 suatu
pernyataan yang eksplisit untuk . Tetapi, ketika persamaan 3.8.5
disubstitusikan terhadap persamaan 3.8.1, hasil dari persamaan hanya menyangkut
dan , menunjukkan ketergantungan
terhadap dan .
Sebagai contoh spesifik, asumsikan bahwa dan
{
108
Gambar 3-33 Kepadatan lalu lintas awal diambil dari buku Richard Haberman Mathematical Models hal 341
seperti digambarkan pada Gambar 3-33. Jika atau
, karakteristiknya diberikan dengan persamaan 3.8.1 mulai dari daerah kepadatan konstan. Karena
kecepatan gelombang kepadatan yang berhubungan dapat dengan mudah dihitung,
| dan
|
Kita mendapatkan dua daerah dari kepadatan konstan,
{
Berdasarkan sketsa ruang waktu dari karakteristik ditunjukkan dalam Gambar 3-32. Pada daerah di mana kepadatan lalu lintas belum ditentukan, mari
kita menggunakan metode karakteristik yang dijelaskan oleh kedua prosedur yang sama 1 dan 2.
109
Gambar 3-34 karakteristik diambil dari buku Richard Haberman Mathematical Models hal 342
1 Karakteristik yang mulai dari
memenuhi persamaan 3.8.1, di mana
3.8.6 Dan jadi persamaan untuk karakteristik ini adalah
3.8.7 Di mana kita seharusnya ingat bahwa ini valid untuk semua
selama . Persamaan 3.8.7 menentukan
sebagai fungsi dari dan , karena
persamaan 3.8.7 adalah persamaan kuadratik untuk akan lebih mudah
menunjukkan dengan menunjukkan
:
Penyelesaian dari persamaan kuadratik ini adalah
√
3.8.8
Tanda negatif harus dipilih di atas untuk dengan memanggil kembali
kepadatan lalu lintas sebagai fungsi dan dalam
110
daerah bersesuaian dengan dengan mensubstitusi persamaan 3.8.8
terhadap persamaan 3.8.6:
√
3.8.9
Diakui sebagai pernyataan yang agak rumit, kita catat bahwa mendekati tepi
dari daerah kepadatan yang bervariasi, kepadatan mendekati konstan yang diketahui. Secara khusus, dari persamaan 3.8.9
√
Lebih jauh lagi, kita harus memeriksa bahwa persamaan 3.8.9 memenuhi kondisi awal. Ini tidak jelas karena
, pembilang dan penyebut keduanya cenderung nol. Untuk menentukan limit
dari persamaan 3.8.9, teknik yang paling sederhana adalah dengan mendekatkan pembilang dengan
. Karena
√ dengan , kita melihat bahwa
Yang awalnya ditentukan untuk .
2
111
Sebagai alternatif, kita mulai menggunakan persamaan 3.8.6 untuk menentukan sebagai fungsi dari
, atau
√ .
Tetapi, karena
tanda kurang harus digunakan:
√ √
3.8.10 Perhatikan bahwa
bervariasi antara dan
,
bervariasi antara dan .
Dengan mensubstitusi persamaan 3.8.10 terhadap persamaan 3.8.1, persamaan untuk kepadatan diperoleh:
√
Persamaan dapat ditunjukkan sebagai persamaan kuadratikuntuk
√
:
√ √
Jadi
√ √
Di mana tanda positif dari akar telah dipilih karena
√ .
Mengkuadratkan persamaan terakhir yakni pernyataan untuk , yang sama
dengan turunan dari prosedur 1, persamaan 3.8.9.
112
BAB IV SIMULASI ALIRAN LALU LINTAS
Kategori