93
G. Hubungan Linear Kecepatan dan Kepadatan
Dengan tujuan untuk mengilustrasikan metode karakteristik seperti yang berlaku pada masalah lalu lintas, untuk alasan edukasi kita akan memilih
hubungan sederhana antara kecepatan dan kepadatan. Diharapkan cukup memberi wawasan secara kualitatif dari kurva yang sederhana untuk menemukan kesalahan
secara kuantitatif karena tidak menggunakan kurva kecepatan dan kepadatan yang sudah diteliti.
Jika hubungan kecepatan dan kepadatan diasumsikan linear, maka 3.7.1
Yang mana digambarkan pada Gambar 3-21. Hal ini memiliki empat sifat:
94
Gambar 3-21 Kurva linear kecepatan kepadatan diambil dari buku Richard Haberman Mathematical Models hal 332
Pada kasus ini aliran lalu lintas dapat dengan mudah dihitung, 3.7.2
Hasilnya adalah diagram fundamental parabola dari lalu lintas jalan, yang digambarkan dalam gambar 3-21. Kecepatan gelombang kepadatannya,
3.7.3
Hasilnya keduanya gelombang kecepatan positif dan negatif. Gelombang kecepatan berkurang dengan meningkatnya kepadatan sebagai contoh,
. Aliran maksimum terjadi ketika gelombang kepadatannya stasioner kecepatan
gelombang kepadatan sama dengan nol. Untuk kurva linear kecepatan-kepadatan ini, kepadatan pada saat aliran lalu lintas dimaksimalkan adalah tepat satu
setengah kepadatan maksimum, , dan kecepatannya sama dengan satu
95
setengah kecepatan maksimum, Jadi aliran lalu lintas
maksimumnya adalah
Gambar 3-22 Hubungan parabola aliran kepadatan diambil dari buku Richard Haberman Mathematical Models hal 332
Seperempat dari aliran lalu lintasyang akan terjadi jika lalu lintas bumper to bumper bergerak dengan kecepatan maksimum.
Mari kita andaikan bahwa kecepatan adalah kecepatan yang diberikan pada persamaan 3.7.1. Kita akan menyelesaikan kepadatan lalu lintas setelah
lalu lintas dimulai dari lampu merah. Kita akan memperhatikan kepadatan awal seperti sebelumnya,
{
Kecepatan gelombang kepadatan yang sesuai terhadap dan
mudah untuk dihitung. Dari persamaan 3.7.3, seperti
sebelumnya,dan
.
Jadi karakteristik sepanjang dan
96
dapat digambarkan dalam diagram ruang waktu, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3-21. Kita akan menghitung secara eksplisit kepadaan
dalam daerah fanlike, . Karakteristiknya diberikan dengan
Karena mereka mulai dari pada . Untuk hubungan linear
kecepatan dan kepadatan, kecepatan gelombang kepadatan diberikan dengan persamaan 3.7.3 dan
Penyelesaian untuk adalah
Gambar 3-23 Diagram ruang waktu untuk masalah lalu lintas diambil dari buku Richard Haberman Mathematical Models hal 333
Untuk waktu yang tetap, kepadatan secara linear bergantung pada pada
daerah karakteristik fanlike. Perhatikan pada ,
, kepadatan bersesuaian terhadap aliran maksimum. Mari kita gambarkan dalam Gambar 3-24
97
kepadatan pada dan pada waktu yang berikutnya menggunakan posisi yang
diketahui dari batas-batas kepadatan lalu lintas maksimum dan minimum. Hal ini akan menunjukkan kepadatan dari mobil menyebar keluar.
Gambar 3-24 Kepadatan lalu lintas: sebelum dan sesudah lampu menjadi hijau diambil dari buku Richard Haberman Mathematical Models hal 334
Hasilnya dapat dilihat dengan cara yang berbeda. Kita telah menunjukkan kepadatan
tetap memiliki pergerakan yang sama pada kecepatan gelombang kepadatan
yang diberikan dari persamaan 3.7.3. Mari kita mengikuti pengamat yang tetap pada kepadatan konstan
,
, ,
, dan ,
yang ditandai dengan • pada diagram dalam Gambar 3-23 yang menampilkan kepadatan awal. Setiap pengamat bergerak dengan kecepatan konstan yang
berbeda. Setelah beberapa waktu, Gambar 3-24 menunjukkan bahwa linear bergantung pada kecepatan gelombang pada kepadatan persamaan 3.7.3 yaitu
kepadatan linear seperti yang sebelumnya telah digambarkan pada 3-24.
98
Gambar 3-25 dan 3-26 Perbedaan kecepatan gelombang kepadatan lalu lintas diambil dari buku Richard Haberman Mathematical Models hal 334
Mari kita menghitung pergerakan dari mobil secara individu yang dimulai pada jarak
di belakang lampu, yaitu pada
. Kecepatan dari mobil yang diberikan oleh medan kecepatan
Mobil tetap pada tempatnya hingga gelombang datang, menyebarkan informasi dari perubahan pada lampu, mencapai mobil, seperti yang digambarkan
pada Gambar 3-27. Sesudah itu,
,
mobil bergerak pada kecepatan yang diberikan dalam daerah fan like,
.
99
Gambar 3-27 jalur mobil ketika mobil tidak bergerak diambil dari buku Richard Haberman Mathematical Models hal 335
Ketika mobil di belakang lampu mulai bergerak, kecepatan awalnya adalah nol dan perlahan-lahan meningkat. Karena kepadatan ditentukan dari persamaan
3.7.4, itu menunjukkan bahwa kecepatan mobil bergantung pada posisi dan waktunya:
3.7.5 Untuk menentukan lintasan dari tiap mobil sebagai contoh posisi
sebagai fungsi dari waktu
, penyelesaian dari persamaan 3.7.5, persamaan diferensial biasa linear tak homogen tingkat satu, pasti didapatkan yang memenuhi kondisi
awal 3.7.6
Ini dapat diselesaikan dengan banyak cara. Satu metode adalah dengan memperhatikan persamaan ini,
100
adalah persamaan equidimensional tak homogen. Metode untuk menyelesaikan persamaan ini adalah sama dengan metode yang digunakan untuk persamaan
equidimensional tingkat dua. Penyelesaian homogennya adalah
Ini memiliki penyelesaian dari bentuk .
Di mana B adalah sembarang konstan penyelesaian ini didapat dari teknik equdimensional,
, atau dengan pemisahan variable. Penyelesaian tertentu proporsional terhadap
jika sisi kanannya proporsional terhadap . Jadi Adalah penyelesaian tertentu jika dengan substitusi
Oleh karena itu koefisien yang tidak dapat ditentukan adalah .
Karenanya penyelesaian umumnya adalah
Kondisi awal, persamaan 3.7.6, menentukan B
dan jadi
Maka posisi dari mobil ini ditentukan,
101
3.7.7 Kecepatan dari mobil adalah
3.7.8 Dari persamaan 3.7.6 mobil mulai berjalan dengan kecepatan awal nol; yang
kemudian perlahan-lahan semakin cepat. Kecepatannya selalu kurang dari .
Untuk t yang sangat besar, mobil mendekati kecepatan maksimum; dari
seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3-28.
Berapa lama yang dibutuhkan mobil untuk benar-benar melalui lampu lalu lintas? Kapan mobil itu berada pada
? dari persamaan 3.7.7,
or .
Jadi,
Ini 4 kali lebih panjang dari pada jika mobil dapat bergerak dengan kecepatan maksimal secara langsung.
Pada kecepatan berapa mobil akan melalui lampu lalu lintas? Kita tidak perlu melakukan penghitungan apapun pada lampu yang aliran lalu lintasnya
maksimum, yang mana telah kita tunjukkan terjadi ketika kecepatannya dari
kecepatan maksimum,
.
Persamaan 3.7.8 sesuai dengan hasil tersebut.
102
Gambar 3-28 jalur mobil yang menambah kecepatan melalui lampu lalu lintas diambil dari buku Richard Haberman Mathematical Models hal 337
Jika lampu lalu lintas tetap hijau hingga waktu , berapa banyak mobil
yang akan melalui lampu lalu lintas? Kita telah menentukan bahwa mobil akan mulai pada
Melalui lampu lalu lintas pada
.
Jadi pada waktu ,
sebuah mobil mulai dari akan berada pada lampu lalu lintas.
Banyaknya mobil yang berada dalam jarak adalah . Hasil ini
dapat diperoleh dengan cara yang sederhana. Kita tahu bahwa aliran pada lampu lalu lintas, banyaknya mobil yang lewat tiap jam adalah
.
Jadi dalam waktu
, mobil telah lewat Untuk lampu yang menyala selama
satu menit, menggunakan dan
.,
banyaknya mobil adalah
Teknik grafik yang berdasarkan pada kurva aliran kepadatan juga bisa digunakan untuk menentukan kepadatan lalu lintas sesudah lalu lintas berubah
103
menjadi hijau. Sepanjang karakteristik, kepadatannya adalah konstan. Karena kecepatan mobil hanya bergantung pada kepadatan, maka juga konstan sepanjang
karakteristik. Jadi karakteristik itu isokline untuk persamaan diferensial,
menentukan pergerakan dari mobil secara individual. Menggunakan diagram seperti kemiringan yang dihitung dalam unit dari medan kecepatan seperti
pada Gambar 3-27. Gambar 3-29 mengikuti diagram fundamental lalu lintas jalan yang ditunjukkan pada Gambar 3-30. Untuk menentukan jalur mobil, garis
horizontal kecil menunjukkan tidak ada pergerakan digambarkan di manapun Sebagai penambahan, sebagai contoh, kita catat bahwa
, kepadatan bersesuaian dengan kapasitas dari jalan, dan kecepatan mobil yang
ditandai dengan titik garis lurus pada diagram fundamental dari lalu lintas jalan. Kemiringan ini juga ditandai di manapun kepadatan memiliki nilai tersebut.,
seperti yang digambarkan pada Gambar 3-31. Dengan menghubungkan garis lurus, jalur mobil dapat diperkirakan untuk masalah ini, begitu juga untuk
penyelesaian analitik yang tidak mungkin
104
Gambar 3-29 Gambar 3-30
Gambar 3-31 Gambar 3-29, 3-30 dan 3-31 jalur mobil: sketsa grafik diambil dari buku
Richard Haberman Mathematical Models hal 338
105
H. Sebuah Contoh Kepadatan Awal yang Bervariasi
Kategori