10
BAB II LANDASAN TEORI
A. Metode Karakteristik
Pada bagian ini akan dijelaskan metode karakteristik untuk persamaan diferensial. Persamaan gelombang satu dimensi dapat ditulis sebagai
2.1.1
Perhitungan yang sederhana menunjukkan bahwa persamaan tersebut dapat difaktorkan dengan dua cara:
2.1.2 2.1.3
karena turunan campuran keduanya tidak ada pada keduanya. Jika kita memisalkan
2.1.4 2.1.5
Kita melihat bahwa persamaan gelombang satu dimensi hasilnya adalah dua persamaan gelombang tingkat satu:
11
Metode Karakteristik untuk Persamaan Diferensial Parsial Tingkat Satu
Kita mulai dengan mendiskusikan salah satu dari persamaan diferensial parsial yang sederhana:
2.1.6
Metode yang akan kita kembangkan akan membantu dalam menganalisa persamaan gelombang dimensi satu 2.1.1. Kita mempertimbangkan laju
perubahan dari yang diukur oleh pengamat yang bergerak, .
Aturan rantai menunjukkan bahwa 2.1.7
Di sini
menampilkan perubahan pada pada posisi yang tetap, sementara
menampilkan perubahan berdasarkan fakta bahwa pengamat bergerak ke daerah yang kemungkinan memiliki
yang berbeda. Bandingkan 2.1.7 dengan persamaan diferensial parsial untuk
, persamaan 2.1.6. Ini jelas bahwa jika pengamat bergerak dengan kecepatan
, yaitu jika
2.1.8 maka
12
2.1.9 Jadi,
adalah konstan pada kurva .
Karakteristik
Dengan cara ini, persamaan diferensial parsial 2.1.6 telah diganti dengan dua persamaan diferensial biasa, 2.1.8 dan 2.1.9. Dengan mengintegralkan
persamaan 2.1.8 hasilnya 2.1.10
persamaan untuk keluarga dari karakteristik paralel dari persamaan 2.1.6. Perhatikan bahwa
, . Variabel
adalah konstan sepanjang garis ini. Variabel
menyebar sebagai gelombang dengan kecepatan gelombang . Penyelesaian umum. Jika
diberi nilai pada saat awal
2.1.11 maka mari kita menentukan
pada titik . Karena adalah konstan sepanjang karakteristik,
diberikan dan , parameter diketahui dari karakteristik,
, dan
2.1.12 di mana kita menyebutnya sebagai penyelesaian umum dari persamaan 2.1.6.
13
Kita dapat menganggap sebagai fungsi sembarang. Untuk memastikan ini,
kita substitusi 2.1.12 kembali pada persamaan diferensial parsial 2.1.6. Menggunakan aturan rantai,
dan
Jadi ini menunjukkan bahwa persamaan 2.1.6 memenuhi persamaan 2.1.12. penyelesaian umum dari persamaan diferensial parsial tingkat satu mengandung
fungsi sembarang, sementara penyelesaian umum terhadap persamaan diferensial biasa mengandung sembarang konstan.
Contoh 1. Perhatikan
Persamaan terhadap kondisi awal
{
Kita telah menunjukkan bahwa adalah konstan sepanjang karakteristik
, menjaga pada bentuk yang sama bergerak dengan kecepatan 2. Karakteristik yang penting,
dan , seperti yang
14
digambarkan pada Gambar 2-1. jika .
Dinyatakan dengan menggeser,
Untuk menurunkan penyelesaian analitik, kita menggunakan karakteristik yang mulai pada
:
Sepanjang karakteristik ini, adalah konstan. Jika
, maka
seperti sebelumnya. Ini valid jika atau, secara ekuivalen
.
Gambar 2-1 perambatan untuk persamaan gelombang tingkat satu diambil dari buku Richard Haberman Applied Partial Differential Equation hal 540
Secara umum, . Pada yang tetap, penyelesaian dari
persamaan gelombang tingkat pertama digeser dengan jarak jarak= kecepatan
15
dikali waktu. Contoh 2: Untuk menyelesaikan masalah nilai awal dan
menemukan penyelesaian umum.
Perhatikan 2.1.13
dengan kondisi awal . Dengan metode karakteristik,
2.1.14 maka
2.1.15 karakteristik tidak berupa garis lurus tetapi memenuhi
2.1.16 di mana karakteristik dimulai
pada . Sepanjang karakteristik,
dengan mengintegralkan persamaan diferensial biasa 2.1.15, kita mendapatkan 2.1.17
Untuk memenuhi kondisi awal pada ,
, kita mempunyai , sehingga penyelesaian masalah nilai awal dengan metode
karakteristik adalah 2.1.18
16
Karena adalah fungsi sembarang dari
, persamaan 2.1.18 adalah penyelesaian umum dari persamaan diferensial parsial 2.1.13. Metode
karakteristik dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian umum dengan cara yang berbeda. Sembarang konstan yang menyelesaikan persamaan diferensial
biasa adalah fungsi sembarang untuk satu sama lain. Dengan cara ini, dalam
persamaan 2.1.17 adalah fungsi sembarang dari , dan kita
mendapatkan langsung dari persamaan 2.1.17 penyelesaian umum dari persamaan diferensial parsial :
2.1.19 di mana
adalah fungsi sembarang dari . Masalah nilai awal sekarang
dapat diselesaikan dari penyelesaian umum 2.1.19.
B. Persamaan Cauchy-Euler
Kategori