16
Karena adalah fungsi sembarang dari
, persamaan 2.1.18 adalah penyelesaian umum dari persamaan diferensial parsial 2.1.13. Metode
karakteristik dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian umum dengan cara yang berbeda. Sembarang konstan yang menyelesaikan persamaan diferensial
biasa adalah fungsi sembarang untuk satu sama lain. Dengan cara ini, dalam
persamaan 2.1.17 adalah fungsi sembarang dari , dan kita
mendapatkan langsung dari persamaan 2.1.17 penyelesaian umum dari persamaan diferensial parsial :
2.1.19 di mana
adalah fungsi sembarang dari . Masalah nilai awal sekarang
dapat diselesaikan dari penyelesaian umum 2.1.19.
B. Persamaan Cauchy-Euler
Titik biasa adalah suatu titik dalam suatu domain di mana fungsi variabel kompleks yang diberikan analitik. Nilai
disebut titik singular regular dari persamaan diferensial biasa
2.2.1 Jika
dan mempunyai deret Taylor yang konvergen di sekitar .
Sebagai contoh dan dapat ditulis sebagai deret pangkat dalam
:
17
dengan dan
konstan, dan maka
bukan merupakan faktor persekutuan dari koefisien. Sembarang titik
yang bukan merupakan titik biasa dan bukan titik singular regular disebut sebagai titik singular irregular. Di
sini, kita hanya akan mempertimbangkan persamaan diferensial biasa yang paling sederhana dengan titik singular regular pada
. Persamaan diferensial biasa ini disebut persamaan Cauchy-Euler, dan memiliki bentuk
2.2.2
dengan dan
konstan. Catat bahwa 2.2.1 tereduksi menjadi persamaan Cauchy Euler ketika kita hanya memandang suku terdepan dalam ekspansi deret
Taylor dari fungsi dan .
Ansatz yang tepat untuk 2.2.2 adalah , ketika
dan ketika
, dengan konstan. Sesudah substitusi menjadi 2.2.2, kita mendapatkan untuk positif dan negatif
| | | |
| |
Dan kita meneliti bahwa ansatz kita mengalami kanselasi dari | |
. Kita mendapat persamaan kuadrat berikut untuk
:
2.2.3
18
yang mana bisa diselesaikan dengan rumus kuadratik. Kemudian tiga kasus langsung muncul: i akar real yang berbeda, ii akar kompleks, iii akar
berulang. Pembaca biasanya sudah terbiasa menemui situasi yang sama ketika menyelesaikan persamaan diferensial biasa homogen linear orde kedua dengan
koefisien konstan. Sesungguhnya, ini memungkinkan untuk langsung membentuk persamaan Cauchy-Euler menjadi persamaan dengan koefisien konstan.
Ide untuk mengubah variabel adalah aturan pangkat ansatz menjadi suatu eksponen ansatz. Untuk
, jika kita memisalkan dan
, maka ansatz menjadi ansatz Y
, tepat jika memenuhi koefisien konstan persamaan diferensial biasa. Jika
, maka perubahan yang tepat adalah
. Karena kita hanya perlu
mempertimbangkan dan kemudian menggeneralisasi hasil kita dengan
mengganti di mana-mana dengan nilai mutlaknya.
Kita kemudian merubah persamaan diferensial 2.2.2 untuk menjadi persamaan diferensial untuk
, menggunakan , atau
ekuivalen, . Dengan menggunakan aturan rantai,
19
Jadi secara simbolik,
Turunan keduanya menjadi
Atas substitusi dari turunan dari ke dalam 2.2.2, dan menggunakan
, kita mendapatkan
Seperti yang diperkirakan, persamaan diferensial biasa untuk memiliki
koefisien konstan, dan dengan , persamaan karakteristik untuk
diberikan
dengan 2.2.3. Akar Real yang Berbeda
Kasus paling sederhana tidak memerlukan perubahan. Jika ,
maka dengan akar real dari 2.2.3, penyelesaian umumnya adalah
| | | |
20
Akar Kompleks
Jika , kita dapat menulis akar kompleks dari 2.2.3 sebagai
Ingat kembali penyelesaian umum untuk diberikan dengan
Dan atas perubahan, dan mengganti dengan | |,
| | | | | |
Akar Berulang
Jika , ada satu akar real
dari persamaan 2.2.3. Penyelesaian umumnya untuk
adalah
Hasilnya
| | | |
Kita sekarang memberikan contoh ilustrasi ketiga kasus ini.
Contoh 3: Selesaikan
untuk Dengan kondisi dua titik batas
dan .
Karena , kita mencoba
dan mendapatkan persamaan karakteristik
21
Karena persamaan karakteristik mempunyai dua akar real, penyelesaian umumnya diberikan dengan
Kita sekarang menjumpai kondisi dua titik batas untuk pertama kalinya, yang mana dapat digunakan untuk menentukan koefisien
dan . Karena
, kita harus mempunyai
. Diterapkan pada kondisi yang ada , kita mendapatkan penyelesaian tunggal
√
Perhatikan bahwa disebut titik singular dari persamaan diferensial biasa
karena penyelesaian umumnya adalah singular pada ketika
. Kondisi batas kita menyebabkan
adalah berhingga pada menghilangkan penyelesaian singular. Namun,
tetap singular pada . Inilah mengapa kita
menggunakan kondisi dua titik batas dari pada menentukan nilai dari .
Contoh 4: Temukan penyelesaian umum dari
dengan kondisi dua titik batas
dan √ .
Dengan ansatz , kita mendapatkan
22
Sehingga . Oleh karena itu, dengan
kita mempunyai , dan penyelesaian umum untuk
adalah
Kondisi batas yang pertama hasilnya . Kondisi batas yang kedua
√ hasilnya .
Contoh 5: Temukan penyelesaian umum dari
dengan kondisi dua titik batas
dan .
Dengan ansatz , kita mendapatkan
Jadi ada akar yang berulang . Dengan
, kita mempunyai , sehingga penyelesaian umumnya adalah
Kondisi batas pertama hasilnya
. Kondisi batas keduanya hasilnya
. Penyelesaiannya adalah
23
C. Kecepatan Individu Dan Medan Kecepatan
