62
B. Model Persamaan Diferensial Parsial
Untuk suatu bagian dari jalan, percobaan dapat digunakan untuk menganalisa
ketergantungan kepadatan
terhadap kecepatan.
Jika kita
mengasumsikan bahwa kecepatan pengendara diketahui dengan fungsi ,
ditentukan dengan , maka konservasi pada mobil persamaan 2.5.8
menjadi
Ini adalah persamaan diferensial parsial dengan satu variabel yang tidak
diketahui. Andaikan ada aliran kepadatan awal yang tidak konstan, seperti yang
ditunjukkan pada Gambar 3-3.
Gambar 3-3 Gerakan mobil dengan kecepatan yang berbeda diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 298
Mobil lain akan bergerak dengan kecepatan yang berbeda. Jadi kepadatan akan berubah segera dan di bawah asumsi kita, pengendara akan segera menyesuaikan
kecepatan mereka. Proses ini akan berlanjut. Jika kita tertarik dengan kepadatan mobil pada waktu berikutnya, kita „hanya‟ perlu untuk menyelesaikan persamaan
diferensial parsial.
63
Masalah lalu lintas telah diformulasikan dalam kondisi suatu persamaan diferensial parsial, persamaan 3.2.1, atau
Karena , dapat dianggap sebagai suatu fungsi dari saja. Persamaan
terakhir ini lebih mudah digunakan karena aturan rantai
Dan jadi 3.2.3
Satu kondisi yang cocok dalam urusan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial yang tunggal adalah kondisi awal. Dengan suatu urutan
th persamaan diferensial umum, kondisi awal
diperlukan. Banyaknya kondisi bersesuaian sama untuk persamaan diferensial parsial. Jadi untuk persamaan
3.2.3 hanya satu kondisi awal yang diperlukan karena persamaan diferensial parsial hanya mengandung satu kali turunan. Tetapi, ada beberapa perbedaan
utama antara persamaan diferensial biasa dan parsial yang disebabkan oleh tambahan variabel independen.
Untuk mengilustrasikan perbedaan ini, mari kita perhatikan tiga persamaan diferensial parsial yang sangat sederhana ini:
1
64
2
3 Ini disebut persamaan diferensial parsial karena
diasumsikan bergantung pada dan
. Jika hanya bergantung pada , maka dua persamaan yang pertama akan menjadi persamaan diferensial biasa, penyelesaian umumnya menjadi:
1
2 Untuk mempunyai penyelesaian tunggal, satu kondisi awal diperlukan, sebagai
contoh, jika , maka
1
2 Tetapi, sekarang kita asumsikan bahwa
bergantung pada dan . Pada 1,
⁄ . Turunan parsialnya berarti menjaga agar tetap. Jadi jika dijaga tetap,
tidak berubah terhadap . Dengan mengintegralkan, adalah konstan untuk setiap
tetap. Sembarang konstan sekarang bergantung pada dalam cara yang sembarangan. Karenanya konstannya adalah fungsi sembarang
dari . Dalam integral bilangan konstan sembarang secara umum menjadi fungsi
sembarang ketika integralnya adalah turunan parsial.
65
Jadi
adalah penyelesaian umum dari ⁄ , di mana
adalah sembarang fungsi dari
. Untuk memeriksa, disubstitusikan ke dalam persamaan
diferensial parsial, ⁄ , di mana kita secara cepat dapat memastikan bahwa
adalah penyelesaiannya. Untuk menentukan fungsi sembarang, satu kondisi awal diperlukan. Kondisi awalnya adalah nilai awal dari
, kepadatan lalu lintas awal
. Dapatkah persamaan diferensial parsial diselesaikan untuk sembarang kondisi awal, untuk
diresepkan, ? Dapatkah fungsi sembarang,
, ditentukan dengan ? Dalam kasus ini cukup sederhana seperti
. Jadi
Menyelesaikan persamaan diferensial parsial dan juga kondisi awal. Kita sekarang memperhatikan contoh 2,
Kita akan meyakini kondisi awal . Persamaan diferensial parsial
dapat diintegralkan kembali untuk setiap tetap menjadi
Seperti sebelumnya, konstan dapat bergantung pada x secara sembarangan. Oleh karena itu
66
Kondisi awalnya memenuhi jika , dan oleh karena itu
penyelesaian dari masalah 2 memenuhi kondisi awal yang diberikan adalah [ ]
Sebagai contoh 3,
Menjaga tetap menghasilkan penyelesaian dari persamaan diferensial biasa,
Untuk nilai lain dari , konstannya dapat bervariasi, dan oleh karena itu
penyelesaian dari persamaan diferensial parsialnya adalah .
Kondisi awal, , dipenuhi jika
, hasil dari pernyelesaian masalah nilai awal,
Dalam ringkasan kita telah mampu untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial dalam suatu kasus di mana mereka dapat diintegralkan.
Sembarang konstan yang muncul digantikan dengan fungsi sembarang dari variabel bebas lainnya.
67
C. Interpretasi mengenai gelombang lalu lintas
Kategori