79
Gambar 3-9 Gelombang kepadatan diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 322
adalah kepadatan dari gelombang kepadatan yang selalu bergerak dengan kecepatan yang lebih lambat dari pada mobil itu sendiri
F. Sesudah lampu merah berubah menjadi hijau
Pada bagian yang sebelumnya, tujuannya adalah untuk mengembangkan pemahaman pembaca mengenai asumsi di mana kita telah memformulasikan
suatu model matematika dari lalu lintas. Pada bagian ini kita akan memformulasikan dan menyelesaikan satu permasalahan yang menarik.
Andaikan bahwa lalu lintas berbaris di belakang suatu lampu lalu lintas yang menyala merah atau di belakang suatu rel penyeberangan, dengan sebuah
kereta yang menghentikan lalu lintas. Kita menyebut posisi lampu lalu lintas . Karena mobil berdempet-dempetan di belakang lampu lalu lintas,
untuk . Asumsikan bahwa mobil berbaris tak berhingga banyaknya
dan pastinya tidak bergerak. pada kenyataannya barisannya adalah berhingga,
80
tapi dapat sangat panjang. Jika lampu menghentikan lalu lintas cukup lama, maka kita juga mengasumsikan bahwa tidak ada lalu lintas di depan lampu,
untuk . Jadi distribusi awal kepadatan lalu lintas seperti yang dapat dilihat pada
Gambar 3-10.
Gambar 3-10 Distibusi awal kepadatan lalu lintas diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 324
Andaikan bahwa saat , lampu lalu lintas berubah dari merah menjadi
hijau. Apa yang terjadi pada kepadatan mobil untuk waktu sesudahnya? Persamaan diferensial parsial mendeskripsikan konservasi dari mobil,
3.6.1
Harus diselesaikan dengan kondisi awal
{
Catat bahwa kondisi awal adalah fungsi diskontinu. Sebelum menyelesaikan masalah ini, dapatkah kita menebak apa yang akan terjadi dari
pengamatan kita sendiri dari tipe ini dari situasi lalu lintas? Kita tahu bahwa sesaat lampu merah berubah menjadi hijau, lalu lintas akan mulai berjalan, tetapi
mobil yang berada cukup jauh dari lampu, lalu lintasnya belum mulai bergerak bahkan sesudah lampu berubah kembali menjadi merah. Jadi kita menganggap
81
kepadatannya akan seperti yang diilustrasikan pada Gambar 3-11. Lalu lintas memiliki kepadatan yang lebih sedikit jauh ke depan pada jalan, kepadatannya
menjadi lebih jarang dan solusi yang bersesuaian akan disebut gelombang rarefactive.
Gambar 3-11 Gelombang rarefactive diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 324
Kita akan menunjukkan solusi dari model matematika kita yakni hasil dengan tipe yang seperti ini. Persamaan diferensial parsial 3.6.1 dapat
diselesaikan dengan metode katakteristik yang telah didiskusikan pada bagian 71. Sebagai review, catat bahwa
, lalu . Jadi kepadatan lalu lintas adalah konstan
sepanjang karakteristik, yang diberikan dengan
3.6.2
Penyebaran kepadatan pada kecepatan . Karena masih konstan,
kepadatan bergerak dengan kecepatan yang konstan. Karakteristiknya adalah garis lurus. Dalam bidang
3.6.3
82
Di mana setiap karakteristik dapat mempunyai integrasi konstan k yang berbeda. Kita akan menganalisa semua karakteristik yang berpotongan dengan data awal
pada . Ada . Jadi sepanjang semua garis seperti
|
Di mana kecepatan telah dievaluasi menggunakan persamaan 3.6.2. Kecepatan karakteristik untuk kepadatan nol selalu
, Kecepatan mobil untuk kepadatan nol. Kurva karakteristik yang berpotongan dengan sumbu
untuk adalah garis lurus dengan kecepatan
. Karenanya karakteristik yang memancar dari pada diberikan
Berbagai karakteristik ini digambarkan pada Gambar 3-11.
Gambar 3-12 Karakteristik kepadatan lalu lintas diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 325
Karakteristik pertama pada daerah ini dimulai pada dan karenanya
. Jadi di bawah daerah garis , kepadatannya adalah nol;
83
tidak ada mobil yang mencapai daerah tersebut. Pada waktu yang tetap jika ada mobil yang cukup jauh dari lampu lalu lintas, maka tidak ada mobil yang datang
dan karenanya kepadatannya nol. Dalam fakta bayangkan bahwa kamu berada dalam mobil yang pertama. Segera setelah lampu berubah menjadi hijau kamu
mengamati kepadatan nol di depanmu, dan dalam model ini kamu langsung berakselerasi ke kecepatan
. Kamu tidak akan mencapai titik hingga
jadi tidak ada mobil pada untuk .
Sekarang kita menganalisa karakteristik yang berpotongan dengan data awal untuk
, di mana mobil tetap di tempat saat kepadatan maksimum, .
sepanjang karakteristik ini ditentukan dari persamaan 3.6.2,
| |
Di mana kita menggunakan fakta bahwa . Kecepatan ini negatif
karena ; Kepadatan maksimum adalah pasti pada daerah lalu lintas
yang “berat”. Jadi karakteristik ini semuanya pararel garis lurus dengan kecepatan negatif yang berpotongan dengan sumbu
negatif,
Seperti yang disketsakan pada Gambar 3-12. Batas dari daerah di mana adalah karakteristik yang memancar dari
. Mobil masih berdempet-dempetan pada daerah yang diindikasikan dalam Gambar 3-
13 bagian kiri,
84
Gambar 3-13 Sebelum dan sesudah lampu merah menjadi hijau diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 326
Sesudah lampu lalu lintas berubah menjadi hijau mobil mulai bergerak yang mengambil beberapa waktu yang berhingga sebelum setiap mobil bergerak.
Perhatikan mobil ke- dalam barisan lampu lalu lintas. Teori ini memprediksi
bahwa sesudah lampu lalu lintas berubah menjadi hijau, mobil ke- menunggu
sejumlah waktu yang sama dengan
Di mana adalah jarak antar mobil. Catat
. Kita harus tidak menganggap reaksi dari pengendara dan waktu percepatan. Karenanya kita
mengharapkan kali ini menjadi lebih pendek. Ini akan menjadi menarik untuk mengukur waktu tunggu pada lampu lalu lintas sebagai fungsi dari posisi mobil.
Kamu dapat menampilkan percobaan ini. Apakah waktu tunggu bergantung linear pada posisi mobil seperti yang telah diprediksi di atas? Gunakan datamu untuk
85
menghitung . Apakah
berbeda secara signifikan untuk situasi jalan yang lain?
Data yang diramalkan dari percobaan Lincoln Tunnel kita mengasumsikan mobil per kilometer menunjukkan bahwa
hours.
Untuk setiap mobil di belakang lampu lalu lintas, waktu tunggu yang diprediksikan adalah
seconds,
atau kira-kira detik per mobil.
Sejauh ini hanya bagian termudah dari permasalahan saja yang sudah dihitung, sebut saja daerah dari jalan yang kepadatannya antara
atau . Kita
sepertinya harus memanfaatkan metode karakteristik ke perluasan total karena kepadatan awalnya hanya mengandung dua nilai yang ditunjukkan pada Gambar
3-10. Kita telah memprediksi kepadatannya yaitu
for
dan
for
86
Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3-14. Ini tidak cukup, karena kepadatannya belum ditentukan dalam daerah ini
Daerah di mana mobil benar-benar melalui lampu hijau
Gambar 3-14 Kepadatan saat lampu masih merah diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 327
Untuk menginvestigasi masalah ini kita pertama harus mengasumsikan bahwa kepadatan lalu lintas awalnya tidak diskontinu, tetapi halus antara
dan dalam jarak yang sangat kecil,
, dekat dengan lampu lalu lintas, lihat Gambar 3-15. Jika
cukup kecil, maka kita mengharapkan solusi dari masalah ini pada dasarnya sama dengan penyelesaian pada kasus di mana
.
Gambar 3-15 Kepadatan lalu lintas yang awalnya diskontinu diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 327
87
Jika , karakteristik dari dan
dapat digambarkan dalam diagram ruang waktu seperti yang didemonstrasikan pada Gambar 3-16. Pasti
ada karakteristik yang muncul dekat dengan daerah asal. Nilai Ρ adalah konstan
sepanjang garis
Digambarkan pada garis yang berupa titik-titik dalam Gambar 3-16, di mana adalah posisi dari karakteristik di
dan itu sangat kecil kita kemudian akan menganggap bahwa itu dapat diabaikan
Gambar 3-16 Diagram ruang waktu posisi karakteristik diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 328
Karena rentang kontinu antara dan
, kecepatan selallu di
antara nilai yang bersesuaian dengan dan
, sebut saja antara dan
secara berturut-turut. Di mana kepadatannya lebih kecil, kecepatan
lebih besar. Dengan meningkatnya kepadatan, kecepatan
88
gelombangnya berkurang. Ada nilai di mana kecepatan gelombang adalah nol, dan untuk kepadatan lalu lintas kecepatan gelombangnya adalah negatif. Sebagian
dari karakteristik ini telah digambarkan pada Gambar 3-17. Karakteristik garis lurus mempunyai kemiringan yang berbeda. Jarak di mana lalu lintas berubah dari
tidak ada mobil menjadi saling berdempetan meningkat dengan meningkatnya waktu. Lalu lintasnya “menyebar keluar” atau “meluas” setelah lampu berubah
dari merah menjadi hijau.
Gambar 3-17 Lalu lintas menyebar keluar setelah lampu menjadi hijau diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 329
Jika kepadatan lalu lintas awalnya yang sesuai faktanya diskontinu lihat Gambar 3-13
, lalu kita akan mendapatkan kepadatan di daerah yang “tidak diketahui” dengan mempertimbangkan limit dari masalah kondisi awal yang
kontinu sebagai . adalah konstan sepanjang karakteristik
89
Di mana lagi-lagi merupakan suatu garis lurus .
Karakteristiknya tidak bersesuaian dengan atau
melalui dan
ini karena membiarkan . Jadi dan
Meskipun berada pada kondisi diskontinu semua kepadatan lalu lintas
antara dan
telah diamati. Pengamat lalu bergerak pada kecepatan konstan yang lain
bergantung pada kepadatan awal yang mereka amati pada
. Karakteristiknya disebut fanlike pada daerah yang digambarkan pada
Gambar 3-18.
Gambar 3-18 Karakteristik fanlike diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 329
Setiap karakteristik, kepadatannya konstan. Untuk mendapatkan kepadatan pada dan
yang diberikan. Pada titik kecepatan gelombang kepadatannya
diketahui:
90
Persamaan 3.6.4 harus diselesaikan untuk . Karena hanya
bergantung pada , akan mungkin untuk menyelesaikannya secara aljabar untuk
sebagai suatu fungsi dari dan sebenarnya dalam kasus ini, fungsi dari
dalam daerah dari karakteristik fanlike. Contoh eksplisit dari perhitungan ini didiskusikan pada bagian selanjutnya. Tetapi, kadang-kadang hanya suatu sketsa
dari yang diketahui, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3-19. Seperti
biasanya, kita mengasumsikan bahwa berkurang dan meningkat. Pada
posisi yang diberikan dalam daerah karakteristik fanlike, kepadatan dapat ditentukan secara grafis sebagai berikut. Diberikan
dan , dihitung menggunakan persamaan 3.6.4.
lalu diletakkan pada melawan gambar
dan nilai yang bersesuaian dengan ditentukan seperti yang digambarkan pada Gambar 3-19.
91
Gambar 3-19 Diagram dasar lalu lintas jalan diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 330
Sebagai alternatif diagram dasar dari lalu lintas jalann dapat digunakan untukmenentukan kepadatan secara grafik pada posisi yang diberikan pada suatu
jalan di daerah karakteristik fanlike. Diberikan dan , kemiringan dari garis
lurus dari titik origin ke titik dalam Gambar 3-20 sama dengan . Jadi
garis lurus ini harus memiliki kemiringan yang sama seperti tangen ke kurva aliran-kepadatan
. Kepadatan lalu lintas dapat diperkirakan dengan menemukan kepadatan dari kurva
yang kemiringannya sama dengan , seperti yang didemonstrasikan dalam Gambar 3-20.
92
Gambar 3-20 kepadatan dari kurva yang kemiringannya diambil dari
buku Richard Haberman Mathematical models hal 330
Aliran maksimum terjadi di mana . Jadi gelombang kepadatan
yang stasioner
kecepatan gelombang
kepadatan sama
dengan nol
mengindikasikan posisi di mana aliran dari mobil maksimum. Pada masalah yang baru saja didiskusikan, segera setelah lampu berubah dari merah menjadi hijau,
, dan berada di sana pada waktu ke depannya. Ini menunjukkan percobaan kecil untuk mengukur aliran maksimum.
Posisi seorang pengamat pada lampu lalu lintas. Tunggu hingga lampu menyala merah dan banyak mobil berbaris. Lalu, ketika lampu menyala hijau, hitung aliran
lalu lintas pada lampu. Jika teori ini benar bahwa, jika , lalu
penghitungan aliran lalu lintas dari mobil ini akan menjadi konstan dan sama dengan kemungkinan maksimum dari jalan kapasitas dari jalan.
93
G. Hubungan Linear Kecepatan dan Kepadatan
