56
BAB III MODEL-MODEL ALIRAN LALU LINTAS
A. Steady State Car following model
Pada bagian ini kita akan menunjukkan suatu metode untuk menentukan hubungan kecepatan dan kepadatan. Untuk menjelaskan kurva kecepatan
kepadatan, kita dapat menganalisa secara hati-hati mengenai cara pengendara dalam membuat pilihan saat berkendara. Model matematika yang diberikan di sini
berasal dari hasil beberapa penelitian untuk membangun model tersebut. Perhatikan mobil ke
pada suatu jalan, Seperti sebelumnya, kita
mengasumsikan mobil tidak dapat saling mendahului. Kita mendalilkan bahwa suatu gerakan mobil hanya bergantung pada mobil yang ada di depannya. Teori
ini disebut car following model. Dalam model yang sangat sederhana ini, kita
mengasumsikan bahwa akselerasi mobil proporsional dengan kecepatan yang bersangkutan,
3.1.1
Jika mobil berikut akan lebih cepat dari mobil sebelumnya, maka mobil berikut akan melambat jadi
. Semakin besar kecepatan relatifnya, maka semakin besar pula mobil belakangnya mempercepat atau memperlambat. Parameter
mengukur kesensitifan dua mobil yang berinteraksi. Tetapi, persamaan 3.1.1 menunjukkan bahwa percepatan atau perlambatan terjadi secara tiba-tiba. Mari
57
kita memberi beberapa waktu penundaan sebelum pengendara bereaksi untuk mengubah kecepatan relatif. Proses ini dimodelkan dengan menspesifikasikan
percepatan pada beberapa waktu sesudahnya,
. 3.1.2
Di mana adalah waktu bereaksi. Secara matematik, persamaan ini menampilkan
suatu sistem dari persamaan diferensial biasa dengan suatu penundaan, yang disebut sistem persamaan diferensial penundaan.
Mengintegralkan persamaan 3.1.2, yakni
Sebuah persamaan yang menghubungkan kecepatan dari mobil pada suatu waktu
dengan jarak antar mobil. Bayangkan suatu situasi steady state di mana semua
mobil terpisah jarak dan bergerak pada kecepatan yang sama. Jadi
Dan
Karena
3.1.3
58
Adalah definisi yang beralasan dari kepadatan lalu lintas, diperoleh hubungan antara kepadatan dan kecepatan.
Kita memilih bilangan konstan , yang mana pada kepadatan maksimum .
dengan kata lain,
Dengan cara ini hubungan antara kepadatan dan kecepatan dapat diturunkan,
3.1.4
Gambar 3-1 Situasi steady state, hubungan kecepatan dan kepadatan diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 294
Bagaimana ini dapat dibandingkan dengan pengamatan mengenai hubungan kecepatan dan kepadatan? Persamaan 3.1.4 muncul secara untuk kepadatan yang
59
besar, sebagai contoh, mendekati . Tetapi ini memprediksikan kecepatan
tak berhingga pada kepadatan nol. Kita dapat mengeliminasi masalah ini, dengan memperhatikan bahwa
model ini tidak cocok untuk kepadatan kecil karena alasan berikut. Pada kepadatan kecil, perubahan kecepatan dari mobil tidak ada karena mobil di
depannya. Namun itu lebih seperti pengaruh batas kecepatan dari mobil dan percepatan pada kepadatan yang kecil. Jadi kita dapat berhipotesis bahwa
persamaan 3.1.4 valid hanya untuk kepadatan yang besar. Untuk kepadatan yang kecil, mungkin
hanya terbatas dengan batas kecepatan, . Jadi
{
Kita memilih kepadatan kritis seperti kecepatan kepadatan dari fungsi
kontinu, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar. Aliran jadi
{
60
Gambar 3-2 Situasi steady state diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 295
Bayangkan dua pengendara yang keduanya mengendarai dengan kecepatan km.p.h lebih cepat dari mobil yang ada di depannya, yang satu
meter di belakang tetapi yang lain hanya 8 meter di belakangnya. Kita tahu bahwa
pengendara akan mengalami perlambatan yang berbeda-beda. Percepatan dan perlambatan seorang pengendara juga bergantung pada jarak dengan mobil
sebelumnya. Semakin dekat pengendara, semakin sering pengendara akan merespon lebih kuat untuk memperhatikan kecepatan relatif. Cara paling
sederhana untuk model ini adalah dengan menginverskan proporsional dari sensitifitas pada jarak
Jadi model car following yang direvisi adalah 3.1.5
Model car following ini tidak linear, yang berlawanan dengan persamaan 3.1.2 yang linear.
61
Persamaan ini dapat diintegralkan menjadi |
| Mari kita memperhatikan situasi steady state, dalam kasus
Sekali lagi konstan integrasi dipilih yang kepadatan maksimum, kecepatannya adalah nol.
Kesulitan saat dihindari dengan mengasumsikan bahwa untuk
kepadatan rendah, . Konstan
dipilih sehingga rumusnya akan sesuai dengan data yang diobservasi pada suatu jalan. Konstan
memiliki interpretasi sederhana, kita akan menunjukkannya sekarang dengan kecepatan
yang berhubungan dengan aliran maksimum:
Berarti pada aliran lalu lintas maksimum terjadi pada , dalam kasus di
mana kecepatan pada aliran maksimum adalah
Banyak tipe lain yang sama dengan teori car following telah dirumuskan oleh peneliti lalu lintas. Mereka membantu untuk menjelaskan hubungan antara aksi
individu dari pengendara tunggal dan kebiasaan pengendara secara
keseluruhanyang ditunjukkan dengan cekungan kepadatan dan kecepatan.
62
B. Model Persamaan Diferensial Parsial
Kategori