69
D. Sebuah contoh aliran lalu lintas yang hampir seragam
Pada bagian ini jenis lain dari masalah lalu lintas yang melibatkan suatu kepadatan lalu lintas yang hampir seragam akan diselesaikan. Andaikan awal
kedapatan lalu lintas adalah konstan untuk jalan tol yang hampir tak terbatas .
Berapa banyak mobil tiap jam yang harus masuk dalam urutan untuk aliran lalu lintas agar tetap seragam? Aliran lalu lintas pada jalan masuk harus
, aliran bersesuaian dengan kepadatan seragam
. Untuk membuktikan pernyataan ini, perhatikan interval dari jalan antara jalan masuk dan titik
. Menggunakan integral konservasi dari mobil,
∫
Karena kepadatan lalu lintas ditetapkan untuk menjadi konstan, sisi kirinya adalah nol. Jadi aliran pada
pasti sama dengan aliran di jalan masuk Tetapi aliran pada adalah
. Jadi .
Dengan kata lain, aliran yang masuk harus sama dengan aliran yang keluar, sehingga jumlah mobil di antaranya akan tetap sama dengan mengasumsikan
kepadatan konstan. Tetapi, andaikan bahwa aliran dalam dari mobil adalah berbeda dari aliran
untuk kepadatan seragam,
3.4.1
Dengan diketahui. Persamaan diferensial parsialnya sama dengan
sebelumnya:
70
Diturunkan dari
3.4.2
Lalu lintas diasumsikan awalnya menjadi seragam, jadi kondisi awalnnya adalah
ini dapat diumumkan untuk menyangkut kepadatan awal yang sangat dekat dengan kasus seragam. Catat bahwa kondisi awal hanya valid untuk
. Kondisi awalnya harus dilengkapi dengan kondisi aliran, persamaan 3.4.1, yang
disebut kondisi batas karena terjadi pada batas dari jalan, jalan masuk ke jalan cepat pada
Gambar 3-4 Jalan masuk kendaraan diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 316
Penyelesaian umum ke persamaan diferensial parsial telah didapat
atau sama dengan
71
Mari kita menggunakan konsep dari karakteristik dengan mengandaikan lampu lalu lintas, sebagai contoh,
. Karakteristiknya adalah garis konstan, dapat dilihat pada Gambar pada 3-5. Kepadatan dari
adalah konstan sepanjang garis ini. Karenanya pada daerah yang berbayangan pada Gambar 3-5,
kepadatannya atau total kepadatannya
, karena pada
.
Gambar 3-5 Daerah mobil yang seragam dan tak seragam diambil dari buku Richard Haberman Mathematical models hal 317
Daerah yang tidak diberi bayangan adalah di mana jalan diketahui bahwa mobil memasuki tingkat tidak seragam. Pada daerah ini kepadatan lalu lintas hanya
sedikit berbeda dengan kepadatan seragam, persamaan 3.4.3. Apa kepadatan dari mobil jika kepadatan masih bergerak dengan kecepatan yang sama yaitu
? Dari diagram pada Gambar 3-5, kepadatan lalu lintas pada
adalah sama dengan kepadatan lalu lintas pada jalan masuk pada waktu
,
72
adalah waktu yang diperlukan sebuah gelombang untuk bergerak sejauh dengan kecepatan
. Jadi kepadatan pada jalan masuk pada waktu ⁄
adalah kepadatan mil sepanjang jalan pada waktu . Kepadatan lalu lintas pada
jalan masuk dapat ditentukan karena aliran lalu lintas ditetapkan di sana gunakan persamaan 3.4.1 dengan mengasumsikan
dekat .
Aliran lalu lintas, dapat ditunjukkan dengan metode
deret Taylor
Aliran lalu lintasnya sekitar
,
karena . Jadi aliran lalu lintas yang terganggu secara sederhana adalah
kali gangguan kepadatan. Karena gangguan aliran lalu lintas dikenal sebagai jalan masuk ,
.
Dan misalkan
untuk sembarang .
Akibatnya total kepadatan mobil diberikan dengan persamaan 3.4.3 sebagai
jika
73
Dalam ringkasan
{ jika
Penyelesaian ini jelas menunjukkan bahwa informasi diperbanyak pada kecepatan , dan karenanya pada posisi informasinya diambil waktu untuk perjalanan.
E. Metode Karakteristik Lalu lintas tak seragam