BAB III KALKULUS FUNGSI DENGAN BEBERAPA VARIABEL
3.1 FUNGSI DUA VARIABEL
Fungsi dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan : Fx, y, z = 0 disebut persamaan implisit, dan
z = fx, y disebut persamaan eksplisit Definisi:
Suatu variabel z dalam persamaan z = fx, y yang tergantung dari dua variabel x dan y dikatakan merupakan fungsi dua variabel jika untuk setiap pasangan x, y ada tepat satu nilai z sehingga
memenuhi persamaan tersebut. z disebut variabel tidak bebas, sedangkan x dan y disebut variabel bebas.
Contoh Selidiki apakah persamaan berikut merupakan fungsi dua variabel.
a. x + z
y
3 1
2 1
+ – 1 = 0
b. x
2
+ y
2
+ z
2
– 4 = 0 Jawab
a. Persamaan x + z
y
3 1
2 1
+ – 1 = 0 dapat diubah menjadi z = 3 1 – x –
2 1 y
Untuk setiap pasangan x, y hanya menghasilkan satu nilai z yang memenuhi persamaan tersebut. Jadi, persamaan tersebut merupakan fungsi dua variabel.
b. Persamaan x
2
+ y
2
+ z
2
– 4 = 0 bila dieksplisitkan berubah menjadi z = 2
2
y x
4 −
− ±
maka untuk setiap pasangan x, y terdapat 2 nilai z yang memenuhi. Jadi, persamaan itu bukanlah fungsi dua variabel.
Tetapi, persamaan z = 2
2
y x
4 −
−
adalah fungsi dua variabel sebab setiap pasangan x, y hanya menghasilkan satu nilai z.
3.2 ARTI GEOMETRI FUNGSI DUA VARIABEL DALAM RUANG 3 DIMENSI
Persamaan z = fx, y atau Fx, y, z = 0 bila dilukiskan pada ruang 3 dimensi dengan sistem koordinat XYZ, umumnya berbentuk permukaan.
Untuk melukiskan suatu permukaan, perlu diperhatikan 4 hal, yaitu: 1. Daerah definisi dan rentang fungsi f tersebut.
2. Sifat simetri fungsi f tersebut. 3. Kurva perpotongan dengan bidang koordinat XOY, XOZ, dan YOZ dengan memasukkan
• nilai z = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang XOY
• nilai y = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang XOZ
• nilai x = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang YOZ
4. Perpotongan dengan bidang lainnya, misalnya dengan bidang sejajar bidang XOY pada jarak z didapat dengan memasukkan z = z
, bidang sejajar bidang XOZ pada jarak y didapat dengan
memasukkan y = y , atau bidang sejajar bidang YOZ pada jarak x
didapat dengan memasukkan x = x .
Kurva perpotongan biasanya disebut level kurva dan proyeksinya pada bidang koordinat disebut garis kontur.
Contoh soal: Gambarkan permukaan, dimana a, b, dan c positip, dan a = b
a. 4 x
2
+ y
2
= z e. z = y
2
b. x
2
+ y
2
+ z
2
= r
2
f. 1
a x
b y
c z
2 2
2 2
2 2
= −
− c.
1 c
z b
y a
x 2
2 2
2 2
2 =
+ +
g. 2
2 2
2 2
2 c
z b
y a
x =
+ d.
1 c
z b
y a
x 2
2 2
2 2
2 =
− +
Tujuan Instruksional Khusus: Mahasiswa memahami pengertian tentang fungsi dengan beberapa variabel, mampu menentukan
turunannya, dan mampu menghitung diferensial total, serta mampu menyelesaikan persoalan berkaitan dengan materi tersebut
Jawab: a. 4 x
2
+ y
2
= z atau z = 4 x
2
+ y
2
Dalam bentuk z = fx, y, maka daerah definisi Df adalah bidang XOY. Berdasarkan persamaan tersebut, nilai z akan selalu positip sebab variabel x dan y dalam
bentuk kuadrat. Dengan demikian rentang fungsi Rf adalah z ≥
0. Level kurva didapat dari persamaan 4 x
2
+ y
2
= c dimana c bilangan riel 0, persamaan ini adalah persamaan elips pada z = c. Untuk y = 0, didapat z = 4 x
2
yaitu persamaan parabola pada bidang XOZ. Untuk x = 0, didapat z = y
2
yaitu persamaan parabola pada bidang YOZ. Bentuk lukisannya adalah sebagai berikut:
b. Persamaan x
2
+ y
2
+ z
2
= r
2
bukanlah fungsi dua variabel, sebab setiap pasangan x, y terdapat 2 nilai z yang memenuhi. Namun,
persamaan ini jika dilukiskan merupakan suatu bola dengan pusat di 0, 0, 0 dan jari-jari r. Untuk x = 0, persamaan tersebut memotong
bidang YOZ menjadi y
2
+ z
2
= r
2
berupa persamaan lingkaran, untuk y = 0 memotong bidang XOZ menjadi x
2
+ z
2
= r
2
berupa persamaan lingkaran, dan untuk z = 0 memotong bidang XOY menjadi x
2
+ y
2
= r
2
berupa persamaan lingkaran. Sedangkan x – a
2
+ y – b
2
+ z – c
2
= r
2
menyatakan persamaan bola dengan pusat di a, b, c dan jari-jari r.
c. Persamaan 1
c z
b y
a x
2 2
2 2
2 2
= +
+ bukan fungsi dua variabel.
Perpotongannya dengan bidang koordinat •
XOY, dengan z = 0 adalah 1
b y
a x
2 2
2 2
= +
a = b, membentuk persamaan lingkaran •
XOZ, dengan y = 0 adalah 1
c z
a x
2 2
2 2
= +
• YOZ, dengan x = 0 adalah
1 c
z b
y 2
2 2
2 =
+ keduanya membentuk persamaan elips. Dengan demikian persamaan tersebut dilukiskan berbentuk
elipsoida elips putaran d. Perpotongan persamaan
1 c
z b
y a
x 2
2 2
2 2
2 =
− +
dengan bidang: •
XOY, dengan z = 0 adalah 1
b y
a x
2 2
2 2
= +
untuk a = b, membentuk persamaan lingkaran •
XOZ, dengan y = 0 adalah 1
c z
a x
2 2
2 2
= −
• YOZ, dengan x = 0 adalah
1 c
z b
y 2
2 2
2 =
− keduanya membentuk persamaan hiperbola. Dengan demikian persamaan tersebut
dilukiskan berbentuk hiperboloida berdaun satu. e. Persamaan z = y
2
tidak memiliki variabel x, artinya nilai x dapat diambil sembarang. Perpotongan dengan
bidang YOZ dengan x = 0 tetap adalah z = y
2
yaitu berupa parabola. Permukaannya berbentuk silinder
parabolik Y
X Z
Pada z = c, kurva berbentuk elips Pada y = 0, z = 4 x
2
, dan x = 0, z = y
2
, kurva berbentuk parabola
Permukaan ini disebut paraboloida eliptik
Z Y
X 0, 0, 0
permukaan bola berpusat di 0, 0, 0
dengan jari-jari r Z
Y X
0, 0, 0
permukaan elipsoida berpusat di 0, 0, 0
permukaan hiperboloida berdaun satu
Z Y
X
permukaan silinder parabolik Z
Y X
f. Persamaan
1 a
x b
y c
z 2
2 2
2 2
2 =
− −
dengan a = b menghasilkan gambar sebagaimana
tercantum di samping. Jelaskan sendiri penyelesaiannya.
g. Persamaan 2
2 2
2 2
2 c
z b
y a
x =
+ menghasilkan
gambar sebagaimana di samping. Jelaskan sendiri penyelesaiannya.
3.3 TURUNAN PARSIAL FUNGSI DUA VARIABEL