ARTI GEOMETRI FUNGSI DUA VARIABEL DALAM RUANG 3 DIMENSI

BAB III KALKULUS FUNGSI DENGAN BEBERAPA VARIABEL

3.1 FUNGSI DUA VARIABEL Fungsi dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan : Fx, y, z = 0 disebut persamaan implisit, dan z = fx, y disebut persamaan eksplisit Definisi: Suatu variabel z dalam persamaan z = fx, y yang tergantung dari dua variabel x dan y dikatakan merupakan fungsi dua variabel jika untuk setiap pasangan x, y ada tepat satu nilai z sehingga memenuhi persamaan tersebut. z disebut variabel tidak bebas, sedangkan x dan y disebut variabel bebas. Contoh Selidiki apakah persamaan berikut merupakan fungsi dua variabel. a. x + z y 3 1 2 1 + – 1 = 0 b. x 2 + y 2 + z 2 – 4 = 0 Jawab a. Persamaan x + z y 3 1 2 1 + – 1 = 0 dapat diubah menjadi z = 3 1 – x – 2 1 y Untuk setiap pasangan x, y hanya menghasilkan satu nilai z yang memenuhi persamaan tersebut. Jadi, persamaan tersebut merupakan fungsi dua variabel. b. Persamaan x 2 + y 2 + z 2 – 4 = 0 bila dieksplisitkan berubah menjadi z = 2 2 y x 4 − − ± maka untuk setiap pasangan x, y terdapat 2 nilai z yang memenuhi. Jadi, persamaan itu bukanlah fungsi dua variabel. Tetapi, persamaan z = 2 2 y x 4 − − adalah fungsi dua variabel sebab setiap pasangan x, y hanya menghasilkan satu nilai z.

3.2 ARTI GEOMETRI FUNGSI DUA VARIABEL DALAM RUANG 3 DIMENSI

Persamaan z = fx, y atau Fx, y, z = 0 bila dilukiskan pada ruang 3 dimensi dengan sistem koordinat XYZ, umumnya berbentuk permukaan. Untuk melukiskan suatu permukaan, perlu diperhatikan 4 hal, yaitu: 1. Daerah definisi dan rentang fungsi f tersebut. 2. Sifat simetri fungsi f tersebut. 3. Kurva perpotongan dengan bidang koordinat XOY, XOZ, dan YOZ dengan memasukkan • nilai z = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang XOY • nilai y = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang XOZ • nilai x = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang YOZ 4. Perpotongan dengan bidang lainnya, misalnya dengan bidang sejajar bidang XOY pada jarak z didapat dengan memasukkan z = z , bidang sejajar bidang XOZ pada jarak y didapat dengan memasukkan y = y , atau bidang sejajar bidang YOZ pada jarak x didapat dengan memasukkan x = x . Kurva perpotongan biasanya disebut level kurva dan proyeksinya pada bidang koordinat disebut garis kontur. Contoh soal: Gambarkan permukaan, dimana a, b, dan c positip, dan a = b a. 4 x 2 + y 2 = z e. z = y 2 b. x 2 + y 2 + z 2 = r 2 f. 1 a x b y c z 2 2 2 2 2 2 = − − c. 1 c z b y a x 2 2 2 2 2 2 = + + g. 2 2 2 2 2 2 c z b y a x = + d. 1 c z b y a x 2 2 2 2 2 2 = − + Tujuan Instruksional Khusus: Mahasiswa memahami pengertian tentang fungsi dengan beberapa variabel, mampu menentukan turunannya, dan mampu menghitung diferensial total, serta mampu menyelesaikan persoalan berkaitan dengan materi tersebut Jawab: a. 4 x 2 + y 2 = z atau z = 4 x 2 + y 2 Dalam bentuk z = fx, y, maka daerah definisi Df adalah bidang XOY. Berdasarkan persamaan tersebut, nilai z akan selalu positip sebab variabel x dan y dalam bentuk kuadrat. Dengan demikian rentang fungsi Rf adalah z ≥ 0. Level kurva didapat dari persamaan 4 x 2 + y 2 = c dimana c bilangan riel 0, persamaan ini adalah persamaan elips pada z = c. Untuk y = 0, didapat z = 4 x 2 yaitu persamaan parabola pada bidang XOZ. Untuk x = 0, didapat z = y 2 yaitu persamaan parabola pada bidang YOZ. Bentuk lukisannya adalah sebagai berikut: b. Persamaan x 2 + y 2 + z 2 = r 2 bukanlah fungsi dua variabel, sebab setiap pasangan x, y terdapat 2 nilai z yang memenuhi. Namun, persamaan ini jika dilukiskan merupakan suatu bola dengan pusat di 0, 0, 0 dan jari-jari r. Untuk x = 0, persamaan tersebut memotong bidang YOZ menjadi y 2 + z 2 = r 2 berupa persamaan lingkaran, untuk y = 0 memotong bidang XOZ menjadi x 2 + z 2 = r 2 berupa persamaan lingkaran, dan untuk z = 0 memotong bidang XOY menjadi x 2 + y 2 = r 2 berupa persamaan lingkaran. Sedangkan x – a 2 + y – b 2 + z – c 2 = r 2 menyatakan persamaan bola dengan pusat di a, b, c dan jari-jari r. c. Persamaan 1 c z b y a x 2 2 2 2 2 2 = + + bukan fungsi dua variabel. Perpotongannya dengan bidang koordinat • XOY, dengan z = 0 adalah 1 b y a x 2 2 2 2 = + a = b, membentuk persamaan lingkaran • XOZ, dengan y = 0 adalah 1 c z a x 2 2 2 2 = + • YOZ, dengan x = 0 adalah 1 c z b y 2 2 2 2 = + keduanya membentuk persamaan elips. Dengan demikian persamaan tersebut dilukiskan berbentuk elipsoida elips putaran d. Perpotongan persamaan 1 c z b y a x 2 2 2 2 2 2 = − + dengan bidang: • XOY, dengan z = 0 adalah 1 b y a x 2 2 2 2 = + untuk a = b, membentuk persamaan lingkaran • XOZ, dengan y = 0 adalah 1 c z a x 2 2 2 2 = − • YOZ, dengan x = 0 adalah 1 c z b y 2 2 2 2 = − keduanya membentuk persamaan hiperbola. Dengan demikian persamaan tersebut dilukiskan berbentuk hiperboloida berdaun satu. e. Persamaan z = y 2 tidak memiliki variabel x, artinya nilai x dapat diambil sembarang. Perpotongan dengan bidang YOZ dengan x = 0 tetap adalah z = y 2 yaitu berupa parabola. Permukaannya berbentuk silinder parabolik Y X Z Pada z = c, kurva berbentuk elips Pada y = 0, z = 4 x 2 , dan x = 0, z = y 2 , kurva berbentuk parabola Permukaan ini disebut paraboloida eliptik Z Y X 0, 0, 0 permukaan bola berpusat di 0, 0, 0 dengan jari-jari r Z Y X 0, 0, 0 permukaan elipsoida berpusat di 0, 0, 0 permukaan hiperboloida berdaun satu Z Y X permukaan silinder parabolik Z Y X f. Persamaan 1 a x b y c z 2 2 2 2 2 2 = − − dengan a = b menghasilkan gambar sebagaimana tercantum di samping. Jelaskan sendiri penyelesaiannya. g. Persamaan 2 2 2 2 2 2 c z b y a x = + menghasilkan gambar sebagaimana di samping. Jelaskan sendiri penyelesaiannya.

3.3 TURUNAN PARSIAL FUNGSI DUA VARIABEL