FUNGSI INVERSI HIPERBOLIK FUNGSI TRANSEDEN

1.6 FUNGSI INVERSI HIPERBOLIK

1. Jika y = arc sinh u maka turunannya dx du 1 u 1 dx dy 2 + = 2. Jika y = arc cosh u maka turunannya dx du 1 u 1 dx dy 2 − = 3. Jika y = arc tanh u maka turunannya dx du u 1 1 dx dy 2 − = dimana u 2 1 4. Jika y = arc coth u maka turunannya dx du u 1 1 dx dy 2 − = dimana u 2 1 5. Jika y = arc sech u maka turunannya dx du u 1 u 1 dx dy 2 − = dimana 0 u 1 6. Jika y = arc csch u maka turunannya dx du u 1 u 1 dx dy 2 + − = dimana u ≠ Integrasi yang berkaitan dengan fungsi hiperbolik inversi 7. ∫ + 2 2 a u du = arc sinh a u + C 8. ∫ − 2 2 a u du = arc cosh a u + C dimana 0 a u 9. ∫ − 2 2 u a du = a 1 arc tanh a u + C dimana u 2 a 2 10. ∫ − 2 2 a u du = – a 1 arc coth a u + C dimana u 2 a 2 Contoh soal : 1. Buktikan jika y = arc sinh u, turunannya dx du 1 u 1 dx dy 2 + = Bukti: Misal u = sinh y, maka dx dy y cosh dx du = atau dx du y cosh 1 dx dy = cosh 2 y = 1 + sinh 2 y = 1 + u 2 maka cosh y = 2 u 1 + = 1 u 2 + Jadi dx du 1 u 1 dx dy 2 + = terbukti 2. Buktikan ∫ + 2 2 a u du = arc sinh a u + C Bukti : misal u = a sinh p maka du = a cosh p dp dan 2 2 a u + = 2 2 2 a p sinh a + = a cosh p ∫ + 2 2 a u du = ∫ p cosh a dp p cosh a = ∫ dp = p + C = arc sinh a u + C terbukti Tugas : 1. Buktikan turunan fungsi inversi hiperbolik no 2 – 6 di atas. 2. Buktikan persamaan 8 – 10 5. Hitung ∫ − 2 x 1 x dx 3. Hitung ∫ − 25 x 9 dx 2 6. Hitung ∫ + 9 x dx 2 4. Hitung dx 4 x 2 + 7. Hitung ∫ − x 9 4 dx

BAB II SISTEM KOORDINAT KUTUB

2.1 FUNGSI DALAM BENTUK PARAMETER

Suatu fungsi y = fx yang dinyatakan dalam bentuk kartesian seringkali diubah menjadi bentuk parameter. Parameter adalah variabel perantara yang menghubungkan variabel y dan variabel x. Jika sebagai parameter digunakan variabel t maka fungsi y = fx dapat diubah menjadi x = f 1 t dan y = f 2 t yang disebut sebagai persamaan dalam bentuk parameter. Dalam hal ini, t = variabel bebas, sedangkan x dan y menjadi variabel tidak bebas. Contoh: Persamaan lingkaran berjari-jari a dalam sistem kartesian berbentuk x 2 + y 2 = a 2 . Jika diubah kedalam bentuk parameter t, persamaan tersebut menjadi x = a cos t y = a sin t parameter t menyatakan sudut yang diapit oleh sumbu x positip dan jari-jari OP Sebaliknya, bentuk parameter pun dapat diubah ke dalam bentuk kartesian dengan mengeliminir parameternya. Misal: persamaan parameter x = a cos t dan y = b sin t dimana 0 ≤ t ≤ 2 π akan diubah menjadi persamaan kartesian, maka persamaan itu diubah menjadi cos t = a x dan sin t = b y . lalu dimasukkan ke dalam persamaan cos 2 t + sin 2 t = 1, sehingga diperoleh 1 b y a x 2 2 = + , pers. elips dengan sumbu panjang 2a dan sumbu pendek 2b dan berpusat di 0, 0 Namun, terkadang bentuk parameter sulit diubah karena parameternya tidak dapat dieksplisitkan. Misalnya x = t 2 + t + 1 y = 3 t 3 + t 2 – 4 Turunan untuk fungsi parameter adalah dx dy = dt dy dx dt

2.2 SISTEM KOORDINAT KUTUB DAN KARTESIAN

Untuk menyatakan kedudukan suatu titik P pada bidang dapat dinyatakan dengan sistem koordinat kartesian, dimana kedudukan dinyatakan dengan absis yaitu jarak dari P ke sumbu y dan ordinat yaitu jarak P ke sumbu x. Namun, kedudukan titik P pun dapat dinyatakan dengan sistem koordinat kutub polar berdasarkan jarak r dan sudut θ , dimana r = jarak dari P ke O dan θ = sudut dari OX ke OP. Untuk θ 0 berlawanan arah jarum jam, sedangkan untuk θ 0 searah jarum jam.

2.3 KORELASI KOORDINAT KUTUB DAN KARTESIAN

Korelasi antara sistem koordinat kartesian dan koordinat kutub dinyatakan sebagai berikut: Berdasarkan gambar di samping diperoleh: x = r cos θ atau r = 2 2 y x + y = r sin θ tan θ = x y r dalam satuan panjang dan θ dalam satuan radian Catatan: 2 π radian = 360 Dalam sistem koordinat kartesian, suatu titik dapat dinyatakan posisinya hanya dengan suatu pasangan x, y, namun dalam sistem koordinat kutub, suatu titik dapat dinyatakan posisinya dengan tak berhingga Tujuan Instruksional Khusus: Mahasiswa memahami pengertian fungsi dalam bentuk parameter dan konsep sistem koordinat kutub dan kartesian, mampu mengubah fungsi dari satu sistem koordinat ke sistem koordinat lainnya, serta mampu menyelesaikan persoalan berkaitan dengan materi tersebut Y X P x,y O a t untuk 0 ≤ t ≤ 2 π P x, y x y X O Y r θ O Y P r, θ Sistem Koordinat Kartesian Sistem Koordinat Kutub X P x, y x y X O Y r θ = P r, θ