1.3 FUNGSI EKSPONEN
Fungsi eksponen adalah inversi dari fungsi logaritma natural, yang didefinisikan sebagai: y = e
x
jika dan hanya jika x = ln y Grafik y = e
x
dan y = ln x simetris terhadap y = x Fungsi eksponen adalah inversi dari fungsi logaritma natural,
dan sebaliknya.
Teorema: Jika a dan b adalah bilangan real maka berlaku: e
a + b
= e
a
. e
b
e
a – b
= e
a
e
b
e
ab
= e
a b
= e
b a
Jika a sebarang bilangan real positip dan x adalah bilangan real maka: a
x
= e
x ln a
sehingga ln a
x
= x ln a Fungsi eksponen ada 2 jenis, yaitu:
1. y = e
x
atau y = e
u
2. y = a
x
atau y = a
u
Catatan e adalah singkatan dari nama seorang ahli matematika dan fisika berkebangsaan Swiss, Leonhard Euler.
Bilangan ini adalah bilangan transeden, artinya tidak bisa dinyatakan sebagai akar dari suatu polinomial dengan koefisien polinomial berupa bilangan bulat.
a. Turunan dan integrasi fungsi y = e
x
Fungsi y = e
x
diubah menjadi fungsi logaritma natural yaitu ln y = ln e
x
→ ln y = x ln e
→ ln y = x. Jika fungsi tersebut diturunkan maka didapat,
1 dx
dy y
1 =
atau =
dx dy
y = e
x
Jadi y = e
x
turunannya adalah =
dx dy
e
x
y = e
u
turunannya adalah =
dx dy
e
u
dx du
∫ dx
e
x
= e
x
+ C atau ∫
du e
u
= e
u
+ C Contoh Soal :
1. Tentukan turunan dari
2 x
1
e y
=
Jawab: misal u = 2
x 1
maka 3
x 2
dx du
− =
= dx
dy e
u
dx du
=
2 x
1
e .
3 x
2 −
=
3
x e
2
2 x
1
−
2. Hitung ∫
dx x
e
x
Jawab: misal u = x maka du =
x 2
1
dx atau dx = 2 x du = 2 u du
∫ dx
x e
x
= ∫
u e
u
2u du = 2 ∫
du e
u
= 2 e
u
+ C = 2 x
e
+ C Tugas: Tentukan turunan dari fungsi berikut
1. y =
2
x
e
4. y = x
e
− sin 2x
2. y =
x ln
x
2
e
5. y = x
e
− ln x
3. y =
x x
x x
e e
e e
− −
+ −
6. y =
ax ax
ax ax
e e
e e
− −
+ −
y = ln x y = e
x
y = x
b. Turunan dan integrasi fungsi y = a
x
Fungsi y = a
x
diubah menjadi fungsi logaritma natural yaitu ln y = ln a
x
→ ln y = x ln a.
Jika fungsi tersebut diturunkan maka didapat, =
dx dy
y 1
ln a atau =
dx dy
y ln a = a
x
ln a Jadi
y = a
x
turunannya adalah =
dx dy
a
x
ln a y = a
u
turunannya adalah =
dx dy
a
u
ln a dx
du ∫
dx a
x
= a
ln ax
+ C atau ∫
du a
u
= a
ln au
+ C Contoh soal:
1. Tentukan turunan dari y =
1 x
4
2
−
2. Hitung
∫ dx
10
x 3
Jawab: 1. y =
1 x
4
2
−
maka turunannya =
dx dy
1 x
4
2
−
ln 2 . 4 =
1 x
4
2
+
ln 2 2.
∫ dx
10
x 3
= dx
10
2 x
3
∫ , misal u =
2 x
3 maka
2 3
dx du
= atau dx =
3 2
du, maka
∫ dx
10
x 3
= ∫
du 10
3 2
u
= 10
ln 10
3 2
u
+ C = 10
ln 10
3 2
2 x
3
+ C = 10
ln 3
10 2
x 3
+ C Tugas: Tentukan turunan dari
1. y = x
5
3. y = 1
2 1
2
x x
+ −
2. y = x
2
3
x
4. Y =
2
x 2
3 x
3 x
4 −
c. Turunan fungsi y = x
x
dan fx = gx
hx
Ada perbedaan antara fungsi pangkat dan fungsi eksponen, yaitu: Fungsi pangkat : y = x
a
atau y = u
a
dimana bilangan pokok x atau u adalah variabel dan bilangan pangkat a tetap
Fungsi eksponen : y = e
x
atau y = e
u
dan y = a
x
atau y = a
u
dimana bilangan pokok e atau a tetap dan bilangan pangkat x atau u adalah variabel
Namun, fungsi y = x
x
dan fx = gx
hx
bukanlah fungsi pangkat maupun eksponen, sebab bilangan pokok dan bilangan eksponen adalah variabel. Oleh karena itu, turunan untuk fungsi ini tidak boleh
menggunakan turunan untuk fungsi pangkat maupun eksponen. Untuk menurunkannya kedua ruas harus dijadikan logaritma natural.
Contoh soal: Tentukan turunan fungsi berikut
1. y = x
x
Jawab: Ubah menjadi logaritma natural ln y = x ln x, turunkan x
x x
ln dx
dy y
1 +
= = ln x + 1 Jadi
1 x
ln x
1 x
ln y
dx dy
x
+ =
+ =
2. y =
x 2
x
2
x
−
→ ln y = x
2
– 2x ln x diturunkan x
1 x
2 x
x ln
2 x
2 dx
dy y
1
2
− +
− =
= dx
dy
x 2
x
2
x
−
2x ln x – 2 ln x + x – 2
Tugas: Tentukan turunan dari 1. y =
x sin
2
1 x
+ 4. y =
x
3
7. y = 4
x 3
5
− 10. y =
x e
e x
+
2. y =
2 x
e
x
−
5. y =
1 x
2
3 x
+
− 8. y =
x ln
x 3. y =
4 x
2
1 x
2
+
− 6. y =
3 x
2 2
x ln
+
9. y =
1 x
10 2
2
10 1
x
+
+ +
Contoh soal esai: 1. Dalam suatu kondisi tertentu, laju pertumbuhan bakteri dinyatakan sebanding dengan jumlah bakteri
yang ada. Jika ada 1000 bakteri saat ini, lalu 12 menit kemudian bertumbuh menjadi 2000 bakteri. Berapa lamakah bakteri tersebut menjadi 1.000.000?
Jawab: Misal A = jumlah bakteri saat t, t = waktu, k = konstanta, dan
dt dA
= laju pertumbuhan bakteri, maka laju pertumbuhan bakteri dinyatakan sebagai
dt dA
= k.A atau A
dA = k dt.
Kedua ruas diintegralkan menjadi: ∫
= ∫
dt k
A dA
menghasilkan ln A = kt + C
1
atau A =
1
C kt
e
+ =
1
C kt
e e
Jika
1
C
e
= C, didapat persamaan A = C kt
e
Untuk t = 0 dan A = 1000, maka 1000 = C.e , didapat C = 1000
Untuk t = 12, A = 2000, dan C = 1000, maka 2000 = 1000.e
12 k
sehingga e
12 k
= 2 →
12k = ln 2 →
k = 12
2 ln
= 0,05776 Jadi untuk A = 1.000.000, C = 1.000, dan k = 0,05776,
1.000.000 = 1.000 t
05776 ,
e
→ t
05776 ,
e
= 1000 →
0,05776 t = ln 1000 t =
05776 ,
1000 ln
= 119, 6. Jadi waktu yang diperlukan = 119, 6 menit 2. Sebatang besi panjangnya L meter pada suhu t dengan persamaan L = 60 e
0,0001t
. Hitung pertambahan panjang batang besi tersebut jika suhunya berubah dari 0
menjadi 25 .
Jawab: L = 60 e
0,0001t
turunannya adalah dt
dL = 60 e
0,0001t
. 0,0001 Jadi perubahan panjang terhadap suhu dL = 0,006 e
0,0001t
dt Diketahui t
1
= 0 , t
2
= 25 , maka dt = 25
– 0 = 25
, maka dL = 0,006 e
0,0001x0
25 = 0,150 meter Tugas:
Laju pertumbuhan penduduk di suatu kota dinyatakan sebanding dengan jumlahnya pada setiap saat. Jika jumlah penduduk bertambah dari 40.000 menjadi 60.000 dalam 40 tahun, kapankan jumlah
penduduk mencapai 100.000?
1.4 FUNGSI INVERSI TRIGONOMETRI