Turunan dan integrasi fungsi y = e Turunan dan integrasi fungsi y = a Turunan fungsi y = x

1.3 FUNGSI EKSPONEN

Fungsi eksponen adalah inversi dari fungsi logaritma natural, yang didefinisikan sebagai: y = e x jika dan hanya jika x = ln y Grafik y = e x dan y = ln x simetris terhadap y = x Fungsi eksponen adalah inversi dari fungsi logaritma natural, dan sebaliknya. Teorema: Jika a dan b adalah bilangan real maka berlaku: e a + b = e a . e b e a – b = e a e b e ab = e a b = e b a Jika a sebarang bilangan real positip dan x adalah bilangan real maka: a x = e x ln a sehingga ln a x = x ln a Fungsi eksponen ada 2 jenis, yaitu: 1. y = e x atau y = e u 2. y = a x atau y = a u Catatan e adalah singkatan dari nama seorang ahli matematika dan fisika berkebangsaan Swiss, Leonhard Euler. Bilangan ini adalah bilangan transeden, artinya tidak bisa dinyatakan sebagai akar dari suatu polinomial dengan koefisien polinomial berupa bilangan bulat.

a. Turunan dan integrasi fungsi y = e

x Fungsi y = e x diubah menjadi fungsi logaritma natural yaitu ln y = ln e x → ln y = x ln e → ln y = x. Jika fungsi tersebut diturunkan maka didapat, 1 dx dy y 1 = atau = dx dy y = e x Jadi y = e x turunannya adalah = dx dy e x y = e u turunannya adalah = dx dy e u dx du ∫ dx e x = e x + C atau ∫ du e u = e u + C Contoh Soal : 1. Tentukan turunan dari 2 x 1 e y = Jawab: misal u = 2 x 1 maka 3 x 2 dx du − = = dx dy e u dx du = 2 x 1 e . 3 x 2 − = 3 x e 2 2 x 1 − 2. Hitung ∫ dx x e x Jawab: misal u = x maka du = x 2 1 dx atau dx = 2 x du = 2 u du ∫ dx x e x = ∫ u e u 2u du = 2 ∫ du e u = 2 e u + C = 2 x e + C Tugas: Tentukan turunan dari fungsi berikut 1. y = 2 x e 4. y = x e − sin 2x 2. y = x ln x 2 e 5. y = x e − ln x 3. y = x x x x e e e e − − + − 6. y = ax ax ax ax e e e e − − + − y = ln x y = e x y = x

b. Turunan dan integrasi fungsi y = a

x Fungsi y = a x diubah menjadi fungsi logaritma natural yaitu ln y = ln a x → ln y = x ln a. Jika fungsi tersebut diturunkan maka didapat, = dx dy y 1 ln a atau = dx dy y ln a = a x ln a Jadi y = a x turunannya adalah = dx dy a x ln a y = a u turunannya adalah = dx dy a u ln a dx du ∫ dx a x = a ln ax + C atau ∫ du a u = a ln au + C Contoh soal: 1. Tentukan turunan dari y = 1 x 4 2 − 2. Hitung ∫ dx 10 x 3 Jawab: 1. y = 1 x 4 2 − maka turunannya = dx dy 1 x 4 2 − ln 2 . 4 = 1 x 4 2 + ln 2 2. ∫ dx 10 x 3 = dx 10 2 x 3 ∫ , misal u = 2 x 3 maka 2 3 dx du = atau dx = 3 2 du, maka ∫ dx 10 x 3 = ∫ du 10 3 2 u = 10 ln 10 3 2 u + C = 10 ln 10 3 2 2 x 3 + C = 10 ln 3 10 2 x 3 + C Tugas: Tentukan turunan dari 1. y = x 5 3. y = 1 2 1 2 x x + − 2. y = x 2 3 x 4. Y = 2 x 2 3 x 3 x 4 −

c. Turunan fungsi y = x

x dan fx = gx hx Ada perbedaan antara fungsi pangkat dan fungsi eksponen, yaitu: Fungsi pangkat : y = x a atau y = u a dimana bilangan pokok x atau u adalah variabel dan bilangan pangkat a tetap Fungsi eksponen : y = e x atau y = e u dan y = a x atau y = a u dimana bilangan pokok e atau a tetap dan bilangan pangkat x atau u adalah variabel Namun, fungsi y = x x dan fx = gx hx bukanlah fungsi pangkat maupun eksponen, sebab bilangan pokok dan bilangan eksponen adalah variabel. Oleh karena itu, turunan untuk fungsi ini tidak boleh menggunakan turunan untuk fungsi pangkat maupun eksponen. Untuk menurunkannya kedua ruas harus dijadikan logaritma natural. Contoh soal: Tentukan turunan fungsi berikut 1. y = x x Jawab: Ubah menjadi logaritma natural ln y = x ln x, turunkan x x x ln dx dy y 1 + = = ln x + 1 Jadi 1 x ln x 1 x ln y dx dy x + = + = 2. y = x 2 x 2 x − → ln y = x 2 – 2x ln x diturunkan x 1 x 2 x x ln 2 x 2 dx dy y 1 2 − + − = = dx dy x 2 x 2 x − 2x ln x – 2 ln x + x – 2 Tugas: Tentukan turunan dari 1. y = x sin 2 1 x + 4. y = x 3 7. y = 4 x 3 5 − 10. y = x e e x + 2. y = 2 x e x − 5. y = 1 x 2 3 x + − 8. y = x ln x 3. y = 4 x 2 1 x 2 + − 6. y = 3 x 2 2 x ln + 9. y = 1 x 10 2 2 10 1 x + + + Contoh soal esai: 1. Dalam suatu kondisi tertentu, laju pertumbuhan bakteri dinyatakan sebanding dengan jumlah bakteri yang ada. Jika ada 1000 bakteri saat ini, lalu 12 menit kemudian bertumbuh menjadi 2000 bakteri. Berapa lamakah bakteri tersebut menjadi 1.000.000? Jawab: Misal A = jumlah bakteri saat t, t = waktu, k = konstanta, dan dt dA = laju pertumbuhan bakteri, maka laju pertumbuhan bakteri dinyatakan sebagai dt dA = k.A atau A dA = k dt. Kedua ruas diintegralkan menjadi: ∫ = ∫ dt k A dA menghasilkan ln A = kt + C 1 atau A = 1 C kt e + = 1 C kt e e Jika 1 C e = C, didapat persamaan A = C kt e Untuk t = 0 dan A = 1000, maka 1000 = C.e , didapat C = 1000 Untuk t = 12, A = 2000, dan C = 1000, maka 2000 = 1000.e 12 k sehingga e 12 k = 2 → 12k = ln 2 → k = 12 2 ln = 0,05776 Jadi untuk A = 1.000.000, C = 1.000, dan k = 0,05776, 1.000.000 = 1.000 t 05776 , e → t 05776 , e = 1000 → 0,05776 t = ln 1000 t = 05776 , 1000 ln = 119, 6. Jadi waktu yang diperlukan = 119, 6 menit 2. Sebatang besi panjangnya L meter pada suhu t dengan persamaan L = 60 e 0,0001t . Hitung pertambahan panjang batang besi tersebut jika suhunya berubah dari 0 menjadi 25 . Jawab: L = 60 e 0,0001t turunannya adalah dt dL = 60 e 0,0001t . 0,0001 Jadi perubahan panjang terhadap suhu dL = 0,006 e 0,0001t dt Diketahui t 1 = 0 , t 2 = 25 , maka dt = 25 – 0 = 25 , maka dL = 0,006 e 0,0001x0 25 = 0,150 meter Tugas: Laju pertumbuhan penduduk di suatu kota dinyatakan sebanding dengan jumlahnya pada setiap saat. Jika jumlah penduduk bertambah dari 40.000 menjadi 60.000 dalam 40 tahun, kapankan jumlah penduduk mencapai 100.000?

1.4 FUNGSI INVERSI TRIGONOMETRI