f. Persamaan
1 a
x b
y c
z 2
2 2
2 2
2 =
− −
dengan a = b menghasilkan gambar sebagaimana
tercantum di samping. Jelaskan sendiri penyelesaiannya.
g. Persamaan 2
2 2
2 2
2 c
z b
y a
x =
+ menghasilkan
gambar sebagaimana di samping. Jelaskan sendiri penyelesaiannya.
3.3 TURUNAN PARSIAL FUNGSI DUA VARIABEL
Turunan parsial dari fungsi z = fx, y adalah: T
x z
∂ ∂
= turunan parsial dari fungsi z terhadap x di Tx
t
, y
t
, z
t
dimana y dianggap konstan =
h y
, x
f y
, h
x f
lim
o o
o o
h
− +
→
T
y z
∂ ∂
= turunan parsial dari fungsi z terhadap x di Tx
t
, y
t
, z
t
dimana x dianggap konstan =
h y
, x
f h
y ,
x f
lim
o o
o o
h
− +
→ Contoh:
Tentukan turunan parsial dari: a. z = x
2
+ y
2
b. z = xy Jawab:
a. x
z ∂
∂ =
h y
x }
y h
x {
lim
2 2
2 2
h
+ −
+ +
→ =
h y
x y
h xh
2 x
lim
2 2
2 2
2 h
− −
+ +
+
→ =
h h
xh 2
lim
2 h
+
→ =
h x
2 lim
h
+
→
= 2x . Dengan cara yang sama diperoleh y
z ∂
∂ = 2y
b. x
z ∂
∂ =
h xy
y h
x lim
h
− +
→ =
h xy
hy xy
lim
h
− +
→ = y
Dengan cara yang sama diperoleh y
z ∂
∂ = x
Tugas: Tentukan turunan parsial untuk fungsi berikut:
1. z = x
2
sin y 4. z = x
2
+ 3xy + y
2
7. z = x cos y – y cos x 2. z = ln
2 2
y x
+
5. z = arctan x
y 8. z = x
y
3. z = 2
y x
6. z = 2
2
x y
y x
−
9. Diketahui z = 2
2
y x
+
, buktikan z
y z
y x
z x
= ∂
∂ +
∂ ∂
10. Diketahui z = ln 2
2
y x
+
, buktikan 1
y z
y x
z x
= ∂
∂ −
∂ ∂
Y
permukaan hiperboloida berdaun dua
Z
X
permukaaan kerucut eliptik
Y Z
X
3.4 TURUNAN PARSIAL TINGKAT DUA ATAU LEBIH
Turunan parsial tingkat dua fungsi z = fx, y terbagi atas 4 macam, yaitu: 1.
2 2
x f
∂ ∂
=
∂
∂ ∂
∂ x
f x
3. y
x f
2 ∂
∂ ∂
=
∂
∂ ∂
∂ y
f x
2. 2
2
y f
∂ ∂
=
∂ ∂
∂ ∂
y f
y
4.
x y
f
2
∂ ∂
∂
=
∂
∂ ∂
∂ x
f y
catatan :
y x
f
2
∂ ∂
∂
=
x y
f
2
∂ ∂
∂
Turunan parsial tingkat tiga fungsi z = fx, y terbagi atas 8 macam, yaitu: 1.
3 3
x f
∂ ∂
=
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
x f
x x
4.
y x
f
2 3
∂ ∂
∂
=
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
y f
x x
7.
y x
f
2 3
∂ ∂
∂
=
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
y f
y x
2. 3
3
y f
∂ ∂
=
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
y f
y y
5.
x y
f
2 3
∂ ∂
∂
=
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
x f
y y
8.
x y
f
2 3
∂ ∂
∂
=
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
x f
x y
3.
x y
x f
3
∂ ∂
∂ ∂
=
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
x f
y x
6.
y x
y f
3
∂ ∂
∂ ∂
=
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
y f
x y
Contoh Tentukan semua turunan parsial tingkat dua untuk fungsi:
a. z = x sin
2
y b. z = sin xy
Jawab: a. z = x sin
2
y Turunan parsial pertama x
z ∂
∂ = sin
2
y dan
y z
∂ ∂
= 2 x sin y cos y = x sin 2y Turunan parsial kedua
2 2
x z
∂ ∂
= 0, 2
2
y z
∂ ∂
= 2x cos 2y,
y x
z
2
∂ ∂
∂
= 2 sin y cos y = sin 2y, dan
x y
z
2
∂ ∂
∂
= sin 2y b. z = sin xy Turunan parsial pertama
x z
∂ ∂
= y cos xy dan
y z
∂ ∂
= x cos xy Turunan parsial kedua
2 2
x z
∂ ∂
= – y
2
sin xy, 2
2
y z
∂ ∂
= – x
2
sin xy,
y x
z
2
∂ ∂
∂
= cos xy – xy sin xy, dan
x y
z
2
∂ ∂
∂
= cos xy – xy sin xy Tugas: Tentukan turunan parsial tingkat dua dan tiga untuk semua soal 1 – 8 di muka.
3.5 BIDANG SINGGUNG DAN GARIS NORMAL Persamaan bidang yang menyinggung fungsi z = fx, y di titik T x
, y , z
adalah: y
y y
z x
x x
z z
z
o T
o T
o
−
∂
∂ +
−
∂
∂ =
− Sedangkan, persamaan garis normalnya adalah:
X
=
N t
z ,
y ,
x
o o
o
+
dimana:
X
= vektor garis normal t
= parameter N = 1, 0,
T
x z
∂ ∂
X 0, 1,
T
y z
∂ ∂
X = perkalian cross silang vektor Contoh:
Diketahui bidang permukaan z = x
3
+ x
2
y + y
3
+ y
2
x + 1. Tentukan : a. Persamaan bidang singgung melalui titik T 1, 1, 5 pada permukaan tersebut.
b. Persamaan garis normal garis normal
bidang singgun
bidang permukaan z = fx, y
T x , y
, z
Jawab: a.
x z
∂ ∂
= 3x
2
+ 2xy + y
2
maka T
x z
∂ ∂
= 3 + 2 + 1 = 6
y z
∂ ∂
= x
2
+ 3y
2
+ 2xy maka
T
y z
∂ ∂
= 1 + 3 + 2 = 6 maka persamaan bidang singgung:
y y
y z
x x
x z
z z
o T
o T
o
−
∂
∂ +
−
∂
∂ =
− z – 5 = 6 x – 1 + 6 y – 1 maka z = 6x + 6y – 7
b. Persamaan garis normal : X =
N t
z ,
y ,
x o
o o
+ N = 1, 0,
T
x z
∂ ∂
X 0, 1, T
y z
∂ ∂
= 1, 0, 6 X 0, 1, 6
=
6 1
6 1
j j
i
= – 6i – 6j + k = – 6, – 6, 1 Jadi
X
= 1, 1, 5 + t – 6, – 6, 1 dengan t = parameter Tugas:
1. Diketahui persamaan z =
x y
x
+ dan titik T 1, 1, 2 terletak pada permukaan tersebut.
Tentukan persamaan bidang singgung dan persamaan garis normal yang melalui T. 2. Idem, persamaan z = x
3
– 2xy + y
2
dan titik T 1, – 1, 4 3. Idem, persamaan z =
2 2
y x
+
dan titik T 4, – 3, 5 4. Idem, persamaan z =
2 2
x y
y x
−
dan titik T 1, – 1, 2 5. Idem, persamaan z =
2
y x
dan titik T 2, – 1, 2
3.6 MENENTUKAN JENIS TITIK EKSTRIM DENGAN TURUNAN PARSIAL TINGKAT DUA
