BAB I FUNGSI TRANSEDEN
1.1
PENDAHULUAN
Salah satu fungsi non aljabar adalah fungsi transeden. Fungsi transeden mencakup antara lain fungsi logaritma, fungsi eksponen, fungsi trigonometri, dan fungsi hiperbolik
1.2 FUNGSI LOGARITMA NATURAL
Bila diberikan suatu fungsi fx = x
n
, maka perhitungan integral dari fungsi tersebut secara umum adalah: ∫
+ =
+ 1
n n
x 1
n 1
dx x
+ C untuk n ≠
– 1 Namun integrasi tersebut tidak berlaku untuk n = – 1. Artinya,
x 1
tidak dapat diintegrasikan dengan rumus seperti di atas. Perhatikan bentuk logaritma natural : ln x =
x log
e
dimana : e =
k 1
k n
n
k 1
lim n
1 1
lim +
= +
→ ∞
→ = 2,7182818284589…….
bilangan e adalah irasional dan tak terukur
a. Menentukan turunan fungsi logaritma natural
Untuk mencari turunan fungsi logaritma natural y = ln x dapat dilakukan sebagai berikut:
x x
ln x
x ln
lim dx
dy
x
∆ −
∆ +
=
→ ∆
x x
x ln
x 1
lim
x
∆ +
∆ =
→ ∆
x x
1 ln
x 1
lim
x
∆ +
∆ =
→ ∆
x x
1 ln
x x
x 1
lim
x
∆ +
∆ =
→ ∆
x x
x
x x
1 ln
x 1
lim
∆ →
∆
∆ +
=
x x
x
x x
1 ln
lim x
1
∆ →
∆
∆ +
=
misalkan k
x x
= ∆
sehingga k
1 x
x =
∆ dan
x x
x x
1 ∆
∆ +
=
k 1
k 1
+ dan untuk
∆ x
→ 0 maka k
→ 0, sehingga
x x
x
x x
1 lim
∆ →
∆
∆ +
= k
1 k
k 1
lim +
→ = e
Dengan demikian dx
dy x
x x
x x
1 ln
lim x
1
∆ →
∆
∆ +
=
= x
1 ln e =
x 1
Jadi: jika y = ln x maka turunannya
dx dy
= x
1 Secara umum, jika y = ln u maka turunannya
dx dy
= dx
du u
1 Aturan dalam logaritma natural mirip logaritma biasa, yaitu:
a. ln ab = ln a + ln b c. ln a
b
= b ln a b. ln
b a
= ln a – ln b d. ln e = 1
Contoh soal: Tentukan turunan dari 1. y = ln x
2
– 1 3. y = ln x – 1
2
2. y = ln {2x
2
4x – 1} 4. y = ln
1 x
x +
Jawab: 1. y = ln x
2
– 1 misal u = x
2
– 1, maka dx
du = 2x
y = ln u, maka dx
dy =
dx du
u 1
= x
2 1
x 1
2 −
= 1
x x
2 2
− 2. y = ln {2x
2
4x – 1} misal u = 2x
2
4x – 1, maka dx
du = 4x4x – 1 + 2x
2
. 4 = 24 x
2
– 4x Jadi
dx dy
=
x 4
x 24
1 x
4 x
2 1
2 2
− −
= 1
x 4
x 1
x 6
2 −
−
Tujuan Instruksional Khusus: Mahasiswa memahami fungsi transeden, yaitu fungsi logarima natural, fungsi eksponen, fungsi inversi
trigonometri, fungsi hiperbolik, dan fungsi inversi hiperbolik, serta cara mendiferensialkan dan mengintegralkan fungsi tersebut agar mampu menyelesaikan persoalan berkaitan dengan materi tersebut
3. y = ln x – 1
2
= 2 ln x – 1 Jadi dx
dy =
1 x
2 −
4. y = ln 1
x x
+ misal u =
1 x
x +
maka dx
du =
2 2
1 x
1 1
x x
1 x
+ =
+ −
+
Jadi dx
dy =
2
1 x
1 x
1 x
+ +
= 1
x x
1 +
Tugas: Tentukan turunan dari: 1. y = ln {4x
2
+ 3 2x – 1} 6. y = ln cos
2
x 2. y = ln x
3
+ 2 x
2
+ 3 7. y = x
2
– 2 ln sin x 3. y = ln
2 4
4 x
3 x
− 8. xy + y ln x – ln y = 0
4. y = {ln x
3
– 4
2
}
3
9. xy ln y + ln x = 1 5. y = ln
3 x
x
3
+
10. y =
2
x 2
x ln
b. Diferensiasi menggunakan logaritma natural Jika diketahui suatu fungsi y = fx, maka diferensiasi secara logaritmik adalah dengan membuat kedua
ruas menjadi fungsi logaritma natural, sehingga menjadi ln y = ln fx. Kedua ruas lalu diturunkan menjadi:
x f
x f
1 dx
dy y
1 =
diperoleh
x f
x f
y dx
dy =
Contoh soal: Tentukan turunan dari
1. y = x
3
+ 1
7
2 – x
2 3
2. y =
3 2
2
1 x
x 1
+ −
Jawab: 1. y = x
3
+ 1
7
2 – x
2 3
kedua ruas dijadikan fungsi logaritma natural ln y = ln
3 2
7 3
x 2
1 x
− +
ln y = 7 ln x
3
+ 1 + 3 ln 2 – x
2
kedua ruas diturunkan, diperoleh dx
dy y
1 =
1 x
x 3
7
3 2
+ +
2
x 2
x 2
3 −
−
sehingga dx
dy = y
1 x
x 3
7
3 2
+ +
2
x 2
x 2
3 −
− =
3 2
7 3
x 2
1 x
− +
{ 1
x x
21
3 2
+ +
2
x 2
x 6
− −
} =
3 2
7 3
x 2
1 x
− +
{
x 2
1 x
x 6
x 6
x 21
x 42
2 3
4 4
2
− +
− −
−
} =
2 2
6 3
x 2
1 x
− +
3x – 9x
3
+ 14x – 2 2. y =
3 2
2
1 x
x 1
+ −
kedua ruas dijadikan fungsi logaritma natural ln y = 1
x ln
3 2
x 1
ln 2
1
2
+ −
− kedua ruas dikalikan 6, menjadi 6 ln y =
1 x
ln 4
x 1
ln 3
2
+ −
− lalu kedua ruas diturunkan
dx dy
y 6
=
1 x
4 x
1 x
2 3
2
+ −
− −
→ dx
dy =
6 y
1 x
4 x
1 x
2 3
2
+ −
− −
dx dy
= 6
1
3 2
2
1 x
x 1
+ −
1 x
x 1
x 4
4 x
6 x
6
2 2
2
+ −
+ −
− −
= 6
1
3 2
2
1 x
x 1
+ −
1 x
x 1
4 x
6 x
2
2 2
+ −
− −
−
dx dy
= 3
1
3 2
2
1 x
x 1
+ −
1 x
x 1
1 x
2 x
2
+ −
+ +
−
= 2
3 2
x 1
1 x
3 2
x −
+ +
−
Tugas: Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut 1.
1 x
1 x
y
2 2
− +
= 3.
3 2
2 2
2
5 x
3 x
3 x
x y
+ −
− =
2. 4
x 1
x y
3 3
2
− +
= 4. y =
2 2
2
x 1
x 1
x +
−
c. Diferensiasi Fungsi y =