c. Diferensiasi Fungsi y =
a
log x
Fungsi y =
a
log x sama dengan a
y
= x, jika diubah menjadi fungsi ln maka menjadi ln a
y
= ln x →
y ln a = ln x →
y = a
ln x
ln dimana ln a = konstan
Untuk y = a
ln x
ln maka
dx dy
= a
ln x
1 Jadi untuk fungsi y
=
a
log x, turunannya dx
dy =
a ln
x 1
Atau secara umum, Untuk fungsi y
=
a
log u, turunannya dx
dy =
dx du
a ln
u 1
Contoh soal: Tentukan turunan dari 1. y =
2
log x
2
– 1 2. y = log x
4
+ 3x
2
Jawab: 1. y =
2
log x
2
– 1 →
dx dy
=
2 ln
1 x
x 2
2
−
2. y = log x
4
+ 3x
2
→ dx
dy =
10 ln
x 3
x x
6 x
4
2 4
3
+ +
Tugas: Tentukan turunan dari 1. y =
a
log 3x
2
– 5 4. y = log ln x
2. y = 3
2
5 x
2 log
+
5. y = ln log x
3
3. y =
5
log sin
2
x
d. Menentukan integrasi ∫
dx x
1
dan ∫
du u
1 Sebagaimana dijelaskan di muka bahwa untuk fungsi y = ln x, turunannya
x 1
dx dy
= dan untuk fungsi y = ln u, turunannya
dx du
u 1
dx dy
= , maka untuk integrasinya adalah kebalikannya, yaitu:
∫ +
=
C x
ln dx
x 1
atau secara umum ∫
+ =
C u
ln du
u 1
Contoh soal: Tentukan integrasi dari 1.
dx 1
x 2
1
∫ +
2.
dx 1
x 3
x 3
x 2
2 ∫
+ +
+ Jawab:
1.
dx 1
x 2
1
∫ +
misal u = 2x + 1 maka du = 2 dx atau dx =
2 1
du, sehingga
dx 1
x 2
1
∫ +
= ∫
du 2
1 u
1 =
2 1
∫ du u
1 =
2 1
ln u + C =
2 1
ln 2x + 1 + C 2.
dx 1
x 3
x 3
x 2
2 ∫
+ +
+ , misal u = x
2
+ 3x + 1, maka du = 2x + 3 dx, sehingga
dx 1
x 3
x 3
x 2
2 ∫
+ +
+ =
∫
u du
= ln u + C = ln x
2
+ 3x + 1 + C Tugas : Tentukan integrasi dari:
1. ∫
dx x
tan
4. ∫
dx x
cot
2. ∫
− +
3 x
2 x
dx
5. ∫
+ +
x 6
x 5
x dx
2 3
3. ∫
− +
+
dx 7
x 4
x 3
3 x
2
2 6.
∫ +
+
dx 2
x 3
x
1.3 FUNGSI EKSPONEN
Fungsi eksponen adalah inversi dari fungsi logaritma natural, yang didefinisikan sebagai: y = e
x
jika dan hanya jika x = ln y Grafik y = e
x
dan y = ln x simetris terhadap y = x Fungsi eksponen adalah inversi dari fungsi logaritma natural,
dan sebaliknya.
Teorema: Jika a dan b adalah bilangan real maka berlaku: e
a + b
= e
a
. e
b
e
a – b
= e
a
e
b
e
ab
= e
a b
= e
b a
Jika a sebarang bilangan real positip dan x adalah bilangan real maka: a
x
= e
x ln a
sehingga ln a
x
= x ln a Fungsi eksponen ada 2 jenis, yaitu:
1. y = e
x
atau y = e
u
2. y = a
x
atau y = a
u
Catatan e adalah singkatan dari nama seorang ahli matematika dan fisika berkebangsaan Swiss, Leonhard Euler.
Bilangan ini adalah bilangan transeden, artinya tidak bisa dinyatakan sebagai akar dari suatu polinomial dengan koefisien polinomial berupa bilangan bulat.
a. Turunan dan integrasi fungsi y = e
Kategori