BAB II SISTEM KOORDINAT KUTUB
2.1 FUNGSI DALAM BENTUK PARAMETER
Suatu fungsi y = fx yang dinyatakan dalam bentuk kartesian seringkali diubah menjadi bentuk parameter. Parameter adalah variabel perantara yang menghubungkan variabel y dan variabel x. Jika
sebagai parameter digunakan variabel t maka fungsi y = fx dapat diubah menjadi x = f
1
t dan y = f
2
t yang disebut sebagai persamaan dalam bentuk parameter. Dalam hal ini, t = variabel bebas,
sedangkan x dan y menjadi variabel tidak bebas. Contoh:
Persamaan lingkaran berjari-jari a dalam sistem kartesian berbentuk x
2
+ y
2
= a
2
. Jika diubah kedalam bentuk parameter t, persamaan tersebut menjadi
x = a cos t y = a sin t
parameter t menyatakan sudut yang diapit oleh sumbu x positip dan jari-jari OP
Sebaliknya, bentuk parameter pun dapat diubah ke dalam bentuk kartesian dengan mengeliminir parameternya. Misal: persamaan parameter x = a cos t dan y = b sin t dimana 0
≤ t
≤ 2
π akan diubah
menjadi persamaan kartesian, maka persamaan itu diubah menjadi cos t = a
x dan sin t =
b y
. lalu dimasukkan ke dalam persamaan cos
2
t + sin
2
t = 1, sehingga diperoleh 1
b y
a x
2 2
= +
, pers. elips dengan sumbu panjang 2a dan sumbu pendek 2b dan berpusat di 0, 0 Namun, terkadang bentuk parameter sulit diubah karena parameternya tidak dapat dieksplisitkan.
Misalnya x = t
2
+ t + 1 y = 3 t
3
+ t
2
– 4 Turunan untuk fungsi parameter adalah
dx dy
= dt
dy dx
dt
2.2 SISTEM KOORDINAT KUTUB DAN KARTESIAN
Untuk menyatakan kedudukan suatu titik P pada bidang dapat dinyatakan dengan sistem koordinat kartesian, dimana kedudukan dinyatakan dengan absis yaitu jarak dari P ke sumbu y dan ordinat yaitu
jarak P ke sumbu x. Namun, kedudukan titik P pun dapat dinyatakan dengan sistem koordinat kutub polar berdasarkan jarak r dan sudut
θ , dimana r = jarak dari P ke O dan
θ = sudut dari OX ke OP. Untuk
θ 0 berlawanan arah jarum jam, sedangkan untuk
θ 0 searah jarum jam.
2.3 KORELASI KOORDINAT KUTUB DAN KARTESIAN
Korelasi antara sistem koordinat kartesian dan koordinat kutub dinyatakan sebagai berikut: Berdasarkan gambar di samping diperoleh:
x = r cos θ
atau r = 2
2
y x
+
y = r sin θ
tan θ
= x
y r dalam satuan panjang dan
θ dalam satuan radian
Catatan: 2 π
radian = 360 Dalam sistem koordinat kartesian, suatu titik dapat dinyatakan posisinya hanya dengan suatu pasangan
x, y, namun dalam sistem koordinat kutub, suatu titik dapat dinyatakan posisinya dengan tak berhingga Tujuan Instruksional Khusus:
Mahasiswa memahami pengertian fungsi dalam bentuk parameter dan konsep sistem koordinat kutub dan kartesian, mampu mengubah fungsi dari satu sistem koordinat ke sistem koordinat
lainnya, serta mampu menyelesaikan persoalan berkaitan dengan materi tersebut
Y X
P x,y O
a t
untuk 0 ≤
t ≤
2 π
P x, y x
y X
O Y
r θ
O Y
P r, θ
Sistem Koordinat Kartesian Sistem Koordinat Kutub
X
P x, y
x y
X
O Y
r θ
= P r, θ
banyaknya pasangan, sebab pasangan r, θ
+ 2 n π
dengan n = 0, 1, 2, …… ∞
menyatakan posisi titik yang sama. Demikian pula titik pusat O dapat dinyatakan dengan 0,
θ untuk
θ sebarang.
Jika persamaan dalam sistem kartesian y = fx akan diubah dalam sistem koordinat kutub, substitusikan x = r cos
θ dan y = r sin
θ pada persamaan tersebut. Sebaliknya, jika dari sistem kutub y = fx akan
diubah dalam sistem koordinat kartesian, substitusikan r = 2
2
y x
+
dan tan θ
= x
y pada persamaan
kutub tersebut Contoh :
1. Nyatakan persamaan x
2
+ y
2
– 4x = 0 dalam sistem koordinat kutub Jawab:
Substitusikan x = r cos θ
dan y = r sin θ
dalam persamaan di atas, lalu didapatkan r cos
θ
2
+ r sin θ
2
– 4r cos θ
= 0 r
2
cos
2
θ + sin
2
θ – 4 r cos
θ = 0
r
2
– 4 r cos θ
= 0 atau r r – 4 cos θ
= 0 Berlaku untuk r = 0 atau r – 4 cos
θ = 0
Persamaan r = 0 menyatakan titik 0 titik dipol, sehingga tidak memenuhi persamaan tersebut, sedangkan persamaan r – 4 cos
θ = 0 atau r = 4 cos
θ , jika r = 0 maka
θ =
2 π
, 2
3 π
dan seterusnya. Artinya persamaan r = 4 cos θ
melalui titik 0. Dengan demikian persamaan yang dicari adalah persamaan r = 4 cos
θ ,tersebut
2. Nyatakan persamaan r
2
= θ
dalam sistem koordinat kartesian Jawab :
Substitusikan r = 2
2
y x
+
dan tan θ
= x
y pada persamaan kutub tersebut, didapat
2 2
2
y x
+
= arc tan x
y sehingga x
2
+ y
2
= arc tan x
y adalah persamaan yang dicari.
Tugas: A. Nyatakan persamaan berikut dalam
B. Nyatakan persamaan berikut dalam sistem koordinat kutub
sistem koordinat kartesian 1. x
2
– y
2
– 16 = 0 1. r
2
cos 2 θ
= 10 2. x
3
= 4y
2
2. r
2
= 2 sin 2 θ
3. 1
x x
2 y
2 +
= 3. r =
θ −
sin 3
2 6
4. x
2
+ y
2
= a
2
untuk a 0 4. r = 2 sin 3
θ 5. x
3
+ y
3
– 3axy = 0 untuk a bilangan real 5. r
2
= cos θ
6. y
2
= 4 x + 1 6. r
2
= 4 cos 2 θ
7. x
2
+ y
2 2
= 4 x
2
– y
2
7. r = θ
− cos
2 3
4 8. 2xy = a
2
untuk a ≠
2.4 MELUKIS SKETSA GRAFIK FUNGSI DALAM PARAMETER