tan α
= θ
+ θ
− θ
+ θ
θ θ
cos sin
r sin
cos r
d dr
d dr
= θ
θ +
θ −
θ θ
+ θ
cos cos
2 sin
r sin
cos 2
cos r
untuk 3, π
6, didapat tan
α =
6 cos
6 cos
2 6
sin 3
6 sin
6 cos
2 6
cos 3
π π
+ π
− π
π +
π =
3 .
3 .
2 .
3 .
3 .
2 3
. 3
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
+ −
+
= 2
3 2
3 2
1 2
3
3 3
+ −
+
tan α
= ∞
= 3
2 atau
α = 90
o
hasilnya sama
Tugas : tentukan gradien garis singgung
1. r = 1 – cos θ
di θ
= π
2 2. r = cos 3
θ di r = 0
2.8 MENENTUKAN LUAS DALAM KOORDINAT KUTUB
Jika terdapat fungsi r = f θ
dan r = g θ
dipotong dengan dua garis sudut
θ =
α dan
θ =
β , maka akan didapat
luasan R seperti gambar di samping. Adapun luas R dapat dihitung menggunakan rumus
integrasi berikut:
Luas R =
{ }
∫ θ
θ −
θ
β α
d g
f
2 2
2 1
Contoh soal : 1. Hitung luas daerah yang dibatasi grafik r = 3 + 2 sin
θ Jawab:
Grafik fungsi r = 3 + 2 sin θ
adalah sebagai berikut
Karena grafik tersebut simetris, maka cukup dihitung luas dengan batas θ
= 90
o
dan θ
= 270
o
, lalu setelah hasilnya dikalikan 2 didapat luas grafik total. Luas
2 1
R =
{ }
∫ θ
θ −
θ
β α
d g
f
2 2
2 1
= ∫
θ θ
+
o o
270 90
2 2
1
d sin
2 3
= ∫
θ θ
+ θ
+
π π
2 3
2 1
d sin
4 sin
12 9
2 2
1 =
∫
θ θ
− +
θ +
π π
2 3
2 1
d 2
cos 2
2 sin
12 9
2 1
= 2
3 2
2 1
2 sin
2 cos
12 9
π π
θ −
θ +
θ −
θ =
} 2
6 {
2 2
2 9
2 27
2 1
− π
+ −
π −
− π
+ −
π
= 2
1 2
11 2
33
π −
π
= 2
1
π
2 22
=
π
2 11
Luas R = 2 x
π
2 11
= 11 π
satuan luas
2. Hitung luas daerah yang terletak di dalam r = 3 sin θ
dan di luar r = 2 – sin θ
θ r
θ r
o
3 210
o
2 30
o
4 240
o
1,27 60
o
4,73 270
o
1 90
o
5 300
o
1,27 120
o
4,73 330
o
2 150
o
4 360
o
3 180
o
3
P
r = g θ
r = f θ
O α
β K
L
Q
Luasan R θ
= α
θ =
β
90
o
o
30
o
150
o
180
o
210
o
270
o
330
o
Daerah yang akan dihitung luasnya
60
o
120
o
240
o
300
o
r = 3 sin θ
Daerah yang dicari luasnya
30
o
60
o
90
o
120
o
150
o
Jawab : r = 3 sin
θ r = 2 – sin
θ .
Catatan : untuk fungsi r = 3 sin θ
, nilai r untuk sudut θ
210
o
s.d. 330
o
tidak digambar karena bertanda negatip Luas R =
{ }
∫ θ
θ −
θ
β α
d g
f
2 2
2 1
= 2.
{ }
∫ θ
θ −
− θ
o o
90 30
2 2
2 1
d sin
2 sin
3
=
{ }
∫ θ
θ −
θ +
− θ
π π
2 1
6 1
d sin
sin 4
4 sin
9
2 2
=
{ }
∫ θ
− θ
+ θ
π π
2 1
6 1
d 4
sin 4
sin 8
2
=
{ }
∫ θ
− θ
+ θ
π π
2 1
6 1
d 1
sin sin
2 4
2
=
{ }
∫ θ
− θ
+ θ
−
π π
2 1
6 1
d 1
sin 2
cos 1
4
= 4 –
2 1
sin 2 θ
– cos θ
2 6
π π
= 4 {0 – 0 – –
3
4 1
–
3
2 1
=
3 3
satuan luas Tugas:
Hitung luas daerah yang dibatasi kurva berikut, dan gambarkan grafiknya 1. r = 2 + 2 cos
θ .
6. r = 2 + cos θ
. 2. r = 2 – sin
θ .
7. didalam r = 1 + cos θ
dan diluar r = 1 3. r = 2 + sin
θ .
8. r = sin 2 θ
di kuadran pertama 4. r
2
= a
2
cos 2 θ
. 9. irisan antara r = 3 cos
θ dan r = 1 + cos
θ 5. r = a cos 3
θ .
10. di luar r = 2 + 2 cos θ
dan di dalam r = 3
2.9 Sudut Perpotongan antara Dua Garis Singgung Kurva
