Jawab: a.
x z
∂ ∂
= 3x
2
+ 2xy + y
2
maka T
x z
∂ ∂
= 3 + 2 + 1 = 6
y z
∂ ∂
= x
2
+ 3y
2
+ 2xy maka
T
y z
∂ ∂
= 1 + 3 + 2 = 6 maka persamaan bidang singgung:
y y
y z
x x
x z
z z
o T
o T
o
−
∂
∂ +
−
∂
∂ =
− z – 5 = 6 x – 1 + 6 y – 1 maka z = 6x + 6y – 7
b. Persamaan garis normal : X =
N t
z ,
y ,
x o
o o
+ N = 1, 0,
T
x z
∂ ∂
X 0, 1, T
y z
∂ ∂
= 1, 0, 6 X 0, 1, 6
=
6 1
6 1
j j
i
= – 6i – 6j + k = – 6, – 6, 1 Jadi
X
= 1, 1, 5 + t – 6, – 6, 1 dengan t = parameter Tugas:
1. Diketahui persamaan z =
x y
x
+ dan titik T 1, 1, 2 terletak pada permukaan tersebut.
Tentukan persamaan bidang singgung dan persamaan garis normal yang melalui T. 2. Idem, persamaan z = x
3
– 2xy + y
2
dan titik T 1, – 1, 4 3. Idem, persamaan z =
2 2
y x
+
dan titik T 4, – 3, 5 4. Idem, persamaan z =
2 2
x y
y x
−
dan titik T 1, – 1, 2 5. Idem, persamaan z =
2
y x
dan titik T 2, – 1, 2
3.6 MENENTUKAN JENIS TITIK EKSTRIM DENGAN TURUNAN PARSIAL TINGKAT DUA
Jika titik T x , y
, z adalah titik stasioner dari fungsi z = f x, y dan berlaku
T
x z
∂ ∂
= 0 dan T
y z
∂ ∂
= 0 serta diskriminan fungsi f =
∆ , dimana
∆ =
2 2
x f
∂ ∂
2 2
y f
∂ ∂
– 2
2
y x
f
∂
∂ ∂
maka berlaku ketentuan sebagai berikut: 1. Jika di T berlaku
∆ 0, dan
2 2
x f
∂ ∂
0 atau 2
2
y f
∂ ∂
0, maka T adalah titik maksimum 2. Jika di T berlaku
∆ 0, dan
2 2
x f
∂ ∂
0 atau 2
2
y f
∂ ∂
0, maka T adalah titik minimum 3. Jika di T berlaku
∆ 0, maka T bukan titik ekstrim
4. Jika di T berlaku ∆
= 0, maka tidak dapat ditarik kesimpulan mengenai T Contoh : Tentukan titik-titik ekstrim dan jenisnya dari persamaan z = x
2
+ y
2
Jawab: Hitung turunan parsialnya, yaitu: x
z ∂
∂ = 2x
x y
z
2
∂ ∂
∂
= 0 2
2
x z
∂ ∂
= 2
y z
∂ ∂
= 2y
y x
z
2
∂ ∂
∂
= 0 2
2
y z
∂ ∂
= 2
∆ =
2 2
x f
∂ ∂
2 2
y f
∂ ∂
– 2
2
y x
f
∂
∂ ∂
= 2 . 2 – 0 = 4 0 Titik stasioner didapat dari
x z
∂ ∂
= 0 dan
y z
∂ ∂
= 0, diperoleh 2x = 0 atau x = 0 dan 2y = 0 atau y = 0, sedangkan z = x
2
+ y
2
= 0 + 0 = 0. Jadi titik stasioner 0, 0, 0. Tentukan jenis titik stasioner ini, maksimum atau minimum. Di titik 0, 0, 0 diperoleh
∆ = 4 0,
2 2
x z
∂ ∂
= 2 0 maka sesuai ketentuan di atas, disimpulkan titik tersebut minimum.
Tugas : 1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya jika ada untuk fungsi-fungsi berikut:
a. z = x
3
+ x
2
y – 2y
3
+ 3y
2
d. z = 2x
2
– y
2
+ 20x – 11y b. z = x
3
+ y
3
+ x
2
– 5y
2
– x + 3y e. z = 4xy
2
– 2x
2
y – x c. z = x
2
+ y
2
+ 3xy 2. Akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup atas dengan volume 108 cm
3
. Berapa ukuran kotak tersebut agar luas permukaannya minimum?
3.7 TURUNAN PARSIAL FUNGSI PARAMETER
Jika diketahui suatu fungsi z = f x, y dimana x = ft dan y = ft maka turunan parsial z terhadap parameter t adalah:
t z
∂ ∂
= x
z ∂
∂ .
t x
∂ ∂
+
y z
∂ ∂
. t
y ∂
∂ Tugas :
1. Tentukan t
z ∂
∂ jika
a. z = x
2
+ 3xy + 5y
2
, x = sin t, dan y = cos t b. z = ln x
2
+ y
2
, x = e
-t
, dan y = e
t
2. Jika pada suatu kerucut berlaku bahwa tingginya berkurang dengan kecepatan 0,2 cmdetik, jari-jari bertambah dengan kecepatan 0,3 cmdetik. Hitung kecepatan berubahnya volume kerucut pada saat
tingginya 15 cm dan jari-jari 10 cm. Petunjuk : Volume kerucut v =
y x
2 3
1
π
, dimana x = jari-jari lingkaran alas kerucut dan y = tinggi kerucut.
Kecepatan berubahnya volume =
t V
∂ ∂
= x
V ∂
∂ .
t x
∂ ∂
+
y V
∂ ∂
. t
y ∂
∂
3.8 DIFERENSIAL TOTAL
