BAB I FUNGSI TRANSEDEN Tujuan Instruksional Khusus

DIKTAT BAHAN KULIAH MATEMATIKA II

MAT 117 BOBOT 3(3-0) SEMESTER II

OLEH YOHANNES

NIP. 195204071986031001

JURUSAN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS LAMPUNG 2012

DAFTAR ISI

Halaman

BAB I FUNGSI TRANSEDEN ... …………..………...….... 1

1.1 Pendahuluan ...………. 1

1.2 Fungsi Logaritma Natural ...………...….…………. 1

a. Menentukan Turunan Fungsi Logaritma Natural …...….…………. 1

b. Diferensiasi Menggunakan Logaritma Natural …...….…………. 2

c. Diferensiasi Fungsi y = alog x .………...….…………. 3

d. Menentukan integrasi

∫

_x1

dx

dan

∫

_u1

du

…...……...….…………. 3

a. Turunan dan Integrasi fungsi y = ex .………...….…………. 4

b. Turunan dan Integrasi fungsi y = ax .………...….…………. 5

c. Turunan fungsi y = xx dan f(x) = g(x)h(x) .………...….…………. 5

1.4 Fungsi Inversi Trigonometri ...………...….…………. 7

a. Turunan Fungsi y = arc sin x. …...………...….…………. 7

b. Turunan Fungsi y = arc cos x. …...………...….…………. 7

c. Turunan Fungsi y = arc tan x. …...………...….…………. 7

d. Turunan Fungsi y = arc cot x. …...………...….…………. 8

e. Turunan Fungsi y = arc sec x. …...………...….…………. 8

f. Turunan Fungsi y = arc csc x. …...………...….…………. 8

1.5 Fungsi Hiperbolik ...……….. 9

1.5.1 Pengertian ...……….. 9

1.5.2 Turunan Fungsi Hiperbolik …...………...….…………. 10

1.5.3 Integrasi Fungsi Hiperbolik …...………...….…………. 11

1.6 Fungsi Inversi Hiperboik dan Turunannya ………...….…………. 11

BAB II SISTEM KOORDINAT KUTUB ...………. 13

2.1 Fungsi dalam Bentuk Parameter ………...….…………. 13

2.2 Sistem Koordinat Kutub dan Kartesian ……….….……….… 13

2.3 Korelasi Koordinat Kutub dan Kartesian ……….….……….… 13

2.4 Melukis Sketsa Grafik Fungsi dalam Parameter ……… 14

2.5 Melukis Sketsa Grafik Fungsi dalam Koordinat Kutub ……… 15

a. Melukiskan Kedudukan Titik ………...……..……. 15

b. Melukiskan Grafik Fungsi ………...……..……. 15

2.6 Perpotongan Grafik Fungsi ………...……..……. 16

2.7 Menentukan Gradien Garis Singgung Kurva Fungsi ...……..……. 17

2.8 Menentukan Luas dalam Koordinat Kutub ...……..……. 18

2.9 Sudut Perpotongan antara Dua Garis Singgung Kurva ...……..……. 19

2.10 Turunan Panjang Busur ………...……..……. 19

BAB III KALKULUS FUNGSI DENGAN BEBERAPA VARIABEL ..……. 20

3.1 Fungsi Dua Variabel ………. 20

3.2 Arti Geometri Fungsi Dua Variabel dalam Ruang 3 Dimensi ..……… 20

3.3 Turunan Parsial Fungsi Dua Variabel ..……… 22

3.4 Turunan Parsial Tingkat Dua atau Lebih ..……… 23

3.5 Bidang Singgung dan Garis Normal ………..………. 23

3.6 Menentukan Jenis Titik Ekstrim dengan Turnanan Parsial Tingkat Dua ………...……… 24

3.7 Turunan Parsial Fungsi Parameter ………. 25

3.8 Diferensial Total ………...……...……….. 25

BAB I

FUNGSI TRANSEDEN

1.1 PENDAHULUAN

Salah satu fungsi non aljabar adalah fungsi transeden. Fungsi transeden mencakup antara lain fungsi logaritma, fungsi eksponen, fungsi trigonometri, dan fungsi hiperbolik

1.2 FUNGSI LOGARITMA NATURAL

Bila diberikan suatu fungsi f(x) = xn, maka perhitungan integral dari fungsi tersebut secara umum adalah: ∫

+ = n+1

n _x

1 n

1 dx

x + C untuk n ≠ – 1

Namun integrasi tersebut tidak berlaku untuk n = – 1. Artinya, x 1

tidak dapat diintegrasikan dengan rumus seperti di atas. Perhatikan bentuk logaritma natural : ln x = elogx

dimana : e = 1/k

0 k n

n n) lim(1 k)

1 1 (

lim + = +

→ ∞

→ = 2,7182818284589…….

bilangan e adalah irasional dan tak terukur a. Menentukan turunan fungsi logaritma natural

Untuk mencari turunan fungsi logaritma natural y = ln x dapat dilakukan sebagai berikut:

x x ln ) x x ( ln lim dx dy

0

x ∆

− ∆ + =

→

∆ x )

x x ( ln x 1 lim

0 x

∆ + ∆

= →

∆ x )

x 1 ( ln x 1 lim

0 x

∆ + ∆

= → ∆

) x

x 1 ( ln x x x 1 lim

0 x

∆ + ∆

= → ∆

x / x 0

x x )

x 1 ( ln x 1

lim ∆

→ ∆

∆ +

= x/ x

0

x x )

x 1 ( ln lim x

1 _∆

→ ∆

∆ + =

misalkan k x

x = ∆

sehingga k 1 x x

=

∆ dan

x / x ) x

x 1

( +∆ ∆ = (1+k)1/k dan untuk ∆x → 0 maka k → 0, sehingga x/ x

0

x x )

x 1 (

lim ∆

→ ∆

∆

+ = 1/k

0 klim→ (1+k)

= e

Dengan demikian dx

dy x/ x

0

x x )

x 1 ( ln lim x

1 _∆

→ ∆

∆ +

= =

x 1

ln e = x 1

Jadi: jika y = ln x maka turunannya dx dy

= x 1

Secara umum, jika y = ln u maka turunannya dx dy

= dx du u 1

Aturan dalam logaritma natural mirip logaritma biasa, yaitu: a. ln (ab) = ln a + ln b c. ln ab = b ln a b. ln

b a

= ln a – ln b d. ln e = 1 Contoh soal:

Tentukan turunan dari 1. y = ln (x2 – 1) 3. y = ln (x – 1)2 2. y = ln {2x2 (4x – 1)} 4. y = ln

1 x

x + Jawab:

1. y = ln (x2 – 1) misal u = x2 – 1, maka dx du

= 2x y = ln u, maka

dx dy

= dx du u 1

= 2x

1 x

1

2₋ = _{x 1}

x 2 2 ₋ 2. y = ln {2x2 (4x – 1)} misal u = 2x2 (4x – 1), maka

dx du

= 4x(4x – 1) + 2x2 . 4 = 24 x2 – 4x Jadi

dx dy

= (24x 4x)

) 1 x 4 ( x 2

1 2

2 ₋ − = _{x(4x 1)}

) 1 x 6 ( 2

− − Tujuan InstruksionalKhusus:

Mahasiswa memahami fungsi transeden, yaitu fungsi logarima natural, fungsi eksponen, fungsi inversi trigonometri, fungsi hiperbolik, dan fungsi inversi hiperbolik, serta cara mendiferensialkan dan mengintegralkan fungsi tersebut agar mampu menyelesaikan persoalan berkaitan dengan materi tersebut

3. y = ln (x – 1)2 = 2 ln (x – 1) Jadi dx dy = 1 x 2 − 4. y = ln

1 x

x

+ misal u = x 1 x

+ maka dx du

=

2 2 _{(x 1)}

1 ) 1 x ( x ) 1 x ( + = + − + Jadi dx dy = 2 ) 1 x ( 1 x 1 x + + = ) 1 x ( x 1 + Tugas: Tentukan turunan dari:

1. y = ln {(4x2 + 3) (2x – 1)} 6. y = ln cos2x 2. y = ln (x3 + 2) (x2 + 3) 7. y = (x2 – 2) ln sin x 3. y = ln

2 4 ) 4 x 3 ( x

− 8. xy + y ln x – ln y = 0

4. y = {ln (x3 – 4)2}3 9. xy (ln y + ln x) = 1 5. y = ln x(x3+3) 10. y = (lnx2)x2 b. Diferensiasi menggunakan logaritma natural

Jika diketahui suatu fungsi y = f(x), maka diferensiasi secara logaritmik adalah dengan membuat kedua ruas menjadi fungsi logaritma natural, sehingga menjadi ln y = ln f(x). Kedua ruas lalu diturunkan menjadi:

) x ( ' f ) x ( f 1 dx dy y 1

= diperoleh

) x ( f ) x ( ' f y dx dy = Contoh soal:

Tentukan turunan dari

1. y = (x3 + 1)7 (2 – x2)3 2. y =

3 2 2 ) 1 x ( x 1 + − Jawab:

1. y = (x3 + 1)7 (2 – x2)3 kedua ruas dijadikan fungsi logaritma natural ln y = ln (x3+1)7(2−x2)3 ln y = 7 ln (x3 + 1) + 3 ln (2 – x2) kedua ruas diturunkan, diperoleh

dx dy y 1 = 1 x ) x 3 ( 7 3 2

+ + _{2 x}2 ) x 2 ( 3 − − sehingga dx dy

= y ( 1 x ) x 3 ( 7 3 2

+ + _{2 x}2 ) x 2 ( 3 − −

) = (x3+1)7(2−x2)3{ 1 x x 21 3 2

+ + _{2 x}2 x 6 − −

}

= (x3+1)7(2−x2)3{

) x 2 ( ) 1 x ( x 6 x 6 x 21 x 42 2 3 4 4 2 − + − − −

} = (x3+1)6(2−x2)2 3x (– 9x3 + 14x – 2)

2. y =

3 2 2 ) 1 x ( x 1 + −

kedua ruas dijadikan fungsi logaritma natural ln y = ln(x 1) 3 2 ) x 1 ( ln 2 1 ₂ + − −

kedua ruas dikalikan 6, menjadi 6 ln y = 3ln(1−x2)−4ln(x+1) lalu kedua ruas diturunkan

dx dy y 6 = 1 x 4 x 1 ) x 2 ( 3

2 − +

− − _→ dx dy =

6

y

( 1 x 4 x 1 ) x 2 ( 3

2 − +

− − ) dx dy = 6 1 3 2 2 ) 1 x ( x 1 + − ( ) 1 x ( ) x 1 ( x 4 4 x 6 x 6 2 2 2 + − + − − − ) = 6 1 3 2 2 ) 1 x ( x 1 + − ( ) 1 x ( ) x 1 ( 4 x 6 x 2 2 2 + − − − − ) dx dy = 3 1 3 2 2 ) 1 x ( x 1 + − ( ) 1 x ( ) x 1 ( ) 1 x )( 2 x ( 2 ₊ − + + − ) = 2 3 ₂ x 1 ) 1 x ( 3 ) 2 x ( − + + −

Tugas: Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut

1. 1 x 1 x y 2 2 − +

= 3. 3

2 2 2 2 5 x 3 x ) 3 x ( x y + − − = 2. 4 x 1 x y 3 3 ₂ − +

= 4. y =

2 2 2 x 1 ) x 1 ( x + −

c. Diferensiasi Fungsi y = alog x

Fungsi y = alog x sama dengan ay = x, jika diubah menjadi fungsi ln maka menjadi ln ay = ln x → y ln a = ln x → y =

a ln

x ln

dimana ln a = konstan

Untuk y = a ln

x ln

maka dx dy

= a ln x

1

Jadi untuk fungsi y = alog x, turunannya dx dy

= a ln x

1 Atau secara umum,

Untuk fungsi y = alog u, turunannya dx dy

=

dx du a ln u

1

Contoh soal: Tentukan turunan dari

1. y = 2 log (x2 – 1) 2. y = log (x4 + 3x2) Jawab:

1. y = 2 log (x2 – 1) → dx dy

=

2 ln ) 1 x (

x 2

2₋

2. y = log (x4 + 3x2) → dx dy

=

10 ln ) x 3 x (

x 6 x 4

2 4

3 +

+ Tugas: Tentukan turunan dari

1. y = alog (3x2 – 5) 4. y = log (ln x)

2. y = log3 (2x+5)2 5. y = ln (log x)3 3. y = 5 log sin2 x

d. Menentukan integrasi ∫ dx x 1

dan ∫ du u 1

Sebagaimana dijelaskan di muka bahwa untuk fungsi y = ln x, turunannya x 1 dx dy

=

dan untuk fungsi y = ln u, turunannya

dx du u 1 dx dy

= , maka untuk integrasinya adalah kebalikannya, yaitu:

∫ dx=lnx+ C

x 1

atau secara umum ∫ du=lnu+ C u

1

Contoh soal: Tentukan integrasi dari

1. dx

1 x 2

1

∫

+ 2. _{x 3x 1}dx

3 x 2

2 ∫

+ +

+

Jawab:

1. dx

1 x 2

1

∫

+ misal u = 2x + 1 maka du = 2 dx atau dx = 2 1

du, sehingga

dx 1 x 2

1

∫

+ = ∫ 2du 1 u 1

=

2 1

∫ du

u 1

=

2 1

ln u + C =

2 1

ln (2x + 1) + C

2. dx

1 x 3 x

3 x 2

2 ∫

+ +

+

, misal u = x2 + 3x + 1, maka du = (2x + 3) dx, sehingga

dx 1 x 3 x

3 x 2

2 ∫

+ +

+

=

∫

u

du

= ln u + C = ln (x2 + 3x + 1) + C Tugas : Tentukan integrasi dari:

1. ∫tanxdx 4. ∫cot xdx

2. ∫

− +2)(x 3) x

( dx

5. ∫

+ +5x 6x x

dx

2 3 3. ∫

− +

+

dx 7 x 4 x 3

3 x 2

2 6. ∫ +

+

dx 2 x

3 x

1.3 FUNGSI EKSPONEN

Fungsi eksponen adalah inversi dari fungsi logaritma natural, yang didefinisikan sebagai: y = ex jika dan hanya jika x = ln y

Grafik y = ex dan y = ln x simetris terhadap y = x

Fungsi eksponen adalah inversi dari fungsi logaritma natural, dan sebaliknya.

Teorema: Jika a dan b adalah bilangan real maka berlaku: ea + b = ea . eb

ea – b = ea / eb eab = (ea)b = (eb)a

Jika a sebarang bilangan real positip dan x adalah bilangan real maka: ax = ex ln a sehingga ln ax = x ln a

Fungsi eksponen ada 2 jenis, yaitu:

1. y = ex atau y = eu 2. y = ax atau y = au Catatan

e adalah singkatan dari nama seorang ahli matematika dan fisika berkebangsaan Swiss, Leonhard Euler. Bilangan ini adalah bilangan transeden, artinya tidak bisa dinyatakan sebagai akar dari suatu polinomial dengan koefisien polinomial berupa bilangan bulat.

a. Turunan dan integrasi fungsi y = ex

Fungsi y = ex diubah menjadi fungsi logaritma natural yaitu

ln y = ln ex → ln y = x ln e → ln y = x. Jika fungsi tersebut diturunkan maka didapat, 1

dx dy y 1

= atau = dx dy

y = ex

Jadi y = ex turunannya adalah = dx dy

ex y = eu turunannya adalah =

dx dy

eu dx du

∫ex dx = ex + C atau ∫eu du = eu + C

Contoh Soal :

1. Tentukan turunan dari x2 1

e

y=

Jawab: misal u = 2 x

1

maka

3 x

2 dx du

− =

= dx dy

eu dx du

= x2 1 e . (

3 x

2 − ) =

3 x e 2 x2

1 −

2. Hitung ∫ dx x e x

Jawab: misal u = x maka du =

x 2

1

dx atau dx = 2 x du = 2 u du

∫ dx

x e x

= ∫ u eu

2u du = 2 ∫eu du = 2 eu + C = 2 e x + C

Tugas: Tentukan turunan dari fungsi berikut

1. y = ex2 4. y = e−xsin 2x

2. y = ex2lnx 5. y = e−x ln x 3. y =

x x

x x

e e

e e

− − +

− _{6. y =}

ax ax

ax ax

e e

e e

− − + −

y = ln x y = ex

b. Turunan dan integrasi fungsi y = ax

Fungsi y = ax diubah menjadi fungsi logaritma natural yaitu ln y = ln ax → ln y = x ln a. Jika fungsi tersebut diturunkan maka didapat,

= dx dy y 1

ln a atau = dx dy

y ln a = ax ln a

Jadi y = ax turunannya adalah = dx dy

ax ln a y = au turunannya adalah =

dx dy

au ln a dx du

∫ax dx = a ln

ax

+ C atau ∫au du = a ln

au + C

Contoh soal:

1. Tentukan turunan dari y = 24x−1 2. Hitung ∫ 103xdx

Jawab:

1. y = 24x−1 maka turunannya = dx

dy _{4x 1}

2 − ln 2 . 4 = 24x+1 ln 2 2. ∫ 103xdx= ∫103x/2 dx, misal u =

2 x 3

maka 2 3 dx du ₌

atau dx = 3 2

du, maka

∫ 103xdx= ∫10 du 3

2 _u

= 10 ln

10 3

2 u

+ C = 10 ln 10 3

2 2

x 3

+ C =

10 ln 3

10

2 3x

+ C

Tugas: Tentukan turunan dari

1. y = 5 x 3. y =

1 2

1 2

x x

+ −

2. y = x2 3x 4. Y = (4x2−3x)3x2 c. Turunan fungsi y = xx dan f(x) = g(x)h(x)

Ada perbedaan antara fungsi pangkat dan fungsi eksponen, yaitu:

Fungsi pangkat : y = xa atau y = ua dimana bilangan pokok x atau u adalah variabel dan bilangan pangkat a tetap

Fungsi eksponen : y = ex atau y = eu dan y = ax atau y = au dimana bilangan pokok e atau a tetap dan bilangan pangkat x atau u adalah variabel

Namun, fungsi y = xx dan f(x) = g(x)h(x) bukanlah fungsi pangkat maupun eksponen, sebab bilangan pokok dan bilangan eksponen adalah variabel. Oleh karena itu, turunan untuk fungsi ini tidak boleh

menggunakan turunan untuk fungsi pangkat maupun eksponen. Untuk menurunkannya kedua ruas harus dijadikan logaritma natural.

Contoh soal: Tentukan turunan fungsi berikut 1. y = xx

Jawab: Ubah menjadi logaritma natural ln y = x ln x, turunkan x

x x ln dx dy y 1

+

= = ln x + 1 Jadi y(lnx 1) x (lnx 1) dx

dy _x

+ =

+ =

2. y = xx2−2x → ln y = (x2 – 2x) ln x diturunkan x

1 ) x 2 x ( x ln ) 2 x 2 ( dx dy y

1 ₂

− + −

=

= dx

dy _x2 _2x

Tugas: Tentukan turunan dari

1. y = (x2+1)sinx 4. y = 3 x 7. y = 53x−4 10. y = xe+ex

2. y =

2 x

e

x − 5. y = (x2−3)x+1 8. y = xlnx

3. y = (2x−1)x2+4 6. y = (lnx2)2x+3 9. y = (x2+1)10+10x2+1 Contoh soal esai:

1. Dalam suatu kondisi tertentu, laju pertumbuhan bakteri dinyatakan sebanding dengan jumlah bakteri yang ada. Jika ada 1000 bakteri saat ini, lalu 12 menit kemudian bertumbuh menjadi 2000 bakteri. Berapa lamakah bakteri tersebut menjadi 1.000.000?

Jawab:

Misal A = jumlah bakteri saat t, t = waktu, k = konstanta, dan dt dA

= laju pertumbuhan bakteri, maka laju pertumbuhan bakteri dinyatakan sebagai

dt dA

= k.A atau A dA

= k dt. Kedua ruas diintegralkan menjadi:

∫ =

∫ kdt

A dA

menghasilkan ln A = kt + C1 atau A = _ekt+C1 _{= e}kt _eC1 Jika _eC1 _{= C, didapat persamaan A = C e}kt

Untuk t = 0 dan A = 1000, maka 1000 = C.e0, didapat C = 1000 Untuk t = 12, A = 2000, dan C = 1000, maka

2000 = 1000.e12 k sehingga e12 k = 2 → 12k = ln 2 → k = 12

2 ln

= 0,05776 Jadi untuk A = 1.000.000, C = 1.000, dan k = 0,05776,

1.000.000 = 1.000 e0,05776t → e0,05776t = 1000 → 0,05776 t = ln 1000

t =

05776 , 0

1000 ln

= 119, 6. Jadi waktu yang diperlukan = 119, 6 menit

2. Sebatang besi panjangnya L meter pada suhu t dengan persamaan L = 60 e0,0001t. Hitung pertambahan panjang batang besi tersebut jika suhunya berubah dari 00 menjadi 250. Jawab:

L = 60 e0,0001t turunannya adalah dt dL

= 60 e0,0001t. 0,0001 Jadi perubahan panjang terhadap suhu dL = 0,006 e0,0001t dt Diketahui t1 = 00 , t2 = 250, maka dt = 250 – 00 = 250, maka dL = 0,006 e0,0001x0 25 = 0,150 meter

Tugas:

Laju pertumbuhan penduduk di suatu kota dinyatakan sebanding dengan jumlahnya pada setiap saat. Jika jumlah penduduk bertambah dari 40.000 menjadi 60.000 dalam 40 tahun, kapankan jumlah penduduk mencapai 100.000?

1.4 FUNGSI INVERSI TRIGONOMETRI

Definisi untuk fungsi inversi trigonometri sebagai berikut:

a. y = arc sin x jika dan hanya jika x = sin y untuk – π/2 ≤ y ≤ π/2 b. y = arc cos x jika dan hanya jika x = cos y untuk 0 ≤ y ≤ π c. y = arc tan x jika dan hanya jika x = tan y untuk – π/2 < y < π/2 d. y = arc cot x jika dan hanya jika x = cot y untuk 0 < y < π

e. y = arc sec x jika dan hanya jika x = sec y untuk – π ≤ y ≤ – π/2, 0 ≤ y < π/2 f. y = arc csc x jika dan hanya jika x = csc y untuk – π ≤ y ≤ – π/2, 0 < y ≤ π/2 Catatan:

arc cot x = 1/2 π – arc tan x untuk x = bilangan real arc sec x = arc cos (1/ x) untuk | x | ≥ 1

arc csc x = arc sin (1/ x) untuk | x | ≥ 1 Contoh soal:

Buktikan arc cos x = 1/2 π – arc sin x untuk | x| ≤ 1

Jawab: misal w = 1/2 π – arc sin x maka arc sin x = 1/2 π – w

a. Turunan Fungsi y = arc sin x

Bentuk y = arc sin x diubah menjadi x = sin y, lalu kedua ruas diturunkan menjadi dx = cos y dy atau

y cos

1 dx dy

= Menurut rumus sin2y + cos2 y = 1 atau cos2y = 1 – sin2y.

x = sin y maka cos2y = 1 – sin2y = 1 – x2 dan cos y = 1−x2 maka,

y cos

1 dx dy

= =

2 x 1

1 − Jadi: y = arc sin x turunannya adalah =

dx dy

2 x 1

1 − Secara umum y = arc sin u turunannya adalah =

dx dy

dx du u 1

1 2 −

b. Turunan Fungsi y = arc cos x

Karena arc cos x = 1/2 π – arc sin x, maka bentuk y = arc cos x dapat diubah menjadi y = 1/2 π – arc sin x, lalu kedua ruas diturunkan menjadi =

dx dy

–

2 x 1

1 −

Jadi: y = arc cos x turunannya adalah = dx dy

–

2 x 1

1 − Secara umum y = arc cos u turunannya adalah =

dx dy

–

dx du u 1

1 2 −

c. Turunan Fungsi y = arc tan x

Bentuk y = arc tan x diubah menjadi x = tan y, kedua ruas diturunkan menjadi dx = sec2 y dy atau

y sec

1 dx dy

2

= Menurut rumus sec2y = 1 + tan2 y = 1 + x2 , sehingga

y sec

1 dx dy

2

= =

2 x 1

1 + Jadi: y = arc tan x turunannya adalah =

dx dy

2 x 1

1 + Secara umum y = arc tan u turunannya adalah =

dx dy

dx du u 1

1 2 +

d. Turunan Fungsi y = arc cot x

Bentuk y = arc cot x diubah menjadi x = cot y, lalu kedua ruas diturunkan menjadi dx =

y sin

1

2

− dy atau sin y

dx

dy _{= − 2}

Perhatikan segitiga di samping x = cot y atau cot y = 1 x

maka sin y =

1 x

1

2₊ atau _{x 1}

1 y sin

2 2

+ =

Jadi: y = arc cot x turunannya adalah = dx dy

– 1 x

1 2₊ Secara umum y = arc cot u turunannya adalah =

dx dy

–

dx du 1 u

1 2₊

e. Turunan Fungsi y = arc sec x

Bentuk y = arc sec x diubah menjadi x = sec y = cos-1y, lalu kedua ruas diturunkan menjadi dx = – cos-2y (– sin y) dy atau

y sin

y cos dx

dy 2

=

Perhatikan segitiga di samping sin y = x

1 x2−

y x 1

1

x2+

y x

1

1 x2−

dan cos y = x 1

maka y sin

y cos2

= 2 x

1

1 x

x

2 ₋ = _{x x 1} 1

2₋

Jadi: y = arc sec x turunannya adalah = dx dy

1 x x

1 2₋ Secara umum y = arc sec u turunannya adalah =

dx dy

1 u u

1

2₋ dx du

f. Turunan Fungsi y = arc csc x

Bentuk y = arc csc x diubah menjadi x = csc y = sin-1y, lalu kedua ruas diturunkan menjadi dx = – sin-2y (cos y) dy atau

y cos

y sin dx

dy 2

− =

Perhatikan segitiga di samping sin y = x 1

dan cos y = x

1 x2−

maka y cos

y sin2

= 2 x

1

1 x

x

2₋ = _{x x 1} 1

2₋

Jadi: y = arc csc x turunannya adalah = dx dy

–

1 x x

1 2₋ Secara umum y = arc csc u turunannya adalah =

dx dy

–

1 u u

1

2₋ dx du

Contoh soal: Tentukan turunan dari 1. y = arc cot 

    

− + x 1

x 1

2. y =

a x sin arc a x a

x 2− 2 + 2 Jawab:

1. Menurut rumus jika y = arc cot u maka = dx dy

–

dx du 1 u

1 2₊ Misal u =

x 1

x 1

− +

maka dx du

=

2 x x 2 1

2 +

− dan u 1

1 2₊ =

1 x 1

x 1

1 2

+      

−

+ = 2(1 x ) x x 2 1

2 2 +

+ −

= dx dy

–

) x 1 ( 2

x x 2 1

2 2 +

+ −

2

x x 2 1

2

+

− = _{1 x}2

1

+ − 2. =

dx

dy _a2_−x2 _{+ x (a x ) ( 2x)}

2

1 2 ₋ 2 −1/2 _{− +}

a 1 ) a x ( 1

1 a

2 2

− = a2−x2 –

2 2

2

x a

x

− +

2 2

2

x a

a

− =

2 2

2 2

x a

) x a ( 2

− −

= 2 a2−x2

Tugas : Tentukan turunan dari

1. y2 sin x + y = arc tan x 5. y = ln ln sec 2x 9. y = arc sin ex 2. y =

2

2 _x

a x

−

– arc sin a x

6. y =

2 2 x

4 x −

+

2 x sec arc 2 1

10. y = arc sin x

3. y = x2 arccos

x 2

7. y = xsin x 11. ln (x+y) = arc tan

y x

4. y = arc tan

x 3

8. y = arc sin (x-1)

y x

1 1 x2−

1.5 FUNGSI HIPERBOLIK 1.5.1 Definisi fungsi hiperbolik 1. Sinus hiperbolik : sinh x =

2 e ex− −x

2. Cosinus hiperbolik : cosh x = 2

e ex+ −x

3. Tangent hiperbolik : tanh x = x cosh

x sinh

=

x x

x x

e e

e e

+ − −

4. Cotangent hiperbolik : coth x = x sinh

x cosh

=

x x

x x

e e

e e

− + −

5. Secant hiperbolik : sech x = x cosh

1 =

x

x _e

e 2

− + 6. Cosecant hiperbolik : csch x =

x sinh

1 =

x

x _e

e 2

− −

Persamaan dasar mirip dengan fungsi trigonometri biasa:

Fungsi Hiperbolik Fungsi Trigonometri

a. tanh x = x coth

1

tan x = x cot

1

b. cosh2 x – sinh2 x = 1 cos2 x + sin2 x = 1 c. 1 – tanh2 x = sech2 x 1 + tan2 x = sec2 x d. 1 – coth2 x = – csch2 x 1 + cot2 x = csc2 x Tugas : Buktikan

1. cosh x + sinh x = ex 6. cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x 2. cosh x – sinh x = e-x 7. sinh 2x = 2 sinh x cosh x 3.

2 1 x cosh x

2 1

sinh2 = − 8. sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y 4. tanh 2x =

x tanh 1

x tanh 2

2

+ 9. cosh (x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y 5.

2 1 x cosh x

2 1

cosh2 = +

1.5.2 Turunan Fungsi Hiperbolik a. Fungsi y = sinh x =

2 e ex− −x

, turunannya dx dy

= 2

e ex+ −x

= cosh x

b. Fungsi y = cosh x = 2

e ex+ −x

, turunannya dx dy

= 2

e ex− −x

= sinh x

c. Fungsi y = tanh x =

x x

x x

e e

e e

+ − −

, turunannya dx dy

=

2 x

x _e

e 2

   

 

+ − = sech 2

x

d. Fungsi y = coth x =

x x

x x

e e

e e

− + −

, turunannya dx dy

=

2 x

x _e

e 2

    

  

−

− ₋ = – csch2 x

e. Fungsi y = sech x =

x

x _e

e 2

−

+ , turunannya dx dy

= –

x

x _e

e 2

−

+ x x

x x

e e

e e

− − + −

= – sech x tanh x

f. Fungsi y = csch x =

x

x _e

e 2

−

− , turunannya dx dy

=

2 x x

x x

) e e (

) e e ( 2

− − −

+ −

= – csch x coth x

– 2 0 ₂ X Y

y = sinh x

0 X Y _{y = cosh}

x

– 1 0

1 X Y

y = tanh x

Secara umum:

a. y = sinh u , turunannya dx dy

= cosh u dx du

b. y = cosh u, turunannya dx dy

= sinh u dx du

c. y = tanh u, turunannya dx dy

= sech2 u dx du

d. y = coth u, turunannya dx dy

= – csch2 u dx du

e. y = sech u, turunannya dx dy

= – sech u tanh u dx du

f. y = csch u, turunannya dx dy

= – csch u coth u dx du

Contoh soal: Tentukan turunan dari 1. y = tanh (1 – x2) Jawab :

dx dy

= – 2x sech2(1 – x2) 2. y = ln (sinh x) Jawab :

dx dy

= x sinh

x cosh

= coth x

3. y = tanh ( 5

1 x 4 +

) Jawab : dx dy

= )

5 1 x 4 ( h sec 5

4 ₂ +

Tugas : Tentukan turunan dari

1. y = x sech x2 4. y = csch2 (x2 + 1)

2. y = ln cosh x 5. y = a cosh

a x

3. y =

1 x tanh

1 +

1.5.3 Integrasi Fungsi Hiperbolik

Rumus-rumus pokok integrasi fungsi hiperbolik a. sinh u du = cosh u + C

b. cosh u du = sinh u + C c. tanh u du = ln | cosh u | + C d. coth u du = ln | sinh u | + C e. sech2u du = tanh u + C f. csch2u du = – coth u + C g. sech u tanh u du = – sech u + C h. csch u coth u du = – csch u + C Contoh soal : Hitung integral berikut 1. ∫sechx dx = ∫

x cosh

dx = ∫

x cosh

dx x cosh

2 = ∫_{1+sinh x} dx x cosh

2 misal u = sinh x maka du = cosh x dx, sehingga = ∫

+_u2 1

du

= arc tan u + C = arc tan (sinh x) + C

2. ∫excosh xdx = )dx 2

e e ( e

x x

x + −

∫ = ∫(e +1)dx

2 1 _2x

=

2 1 e 4 1 _2x

+ + C Tugas : Hitung integral berikut

1. ∫ xdx

2 1

cosh3 4. ∫x2 sinh xdx

2. ∫sech4x dx 5. ∫exsinh xdx

1.6 FUNGSI INVERSI HIPERBOLIK 1. Jika y = arc sinh u maka turunannya

dx du 1 u

1 dx

dy

2₊ =

2. Jika y = arc cosh u maka turunannya

dx du 1 u

1 dx

dy

2₋ =

3. Jika y = arc tanh u maka turunannya

dx du u 1

1 dx dy

2 −

= dimana u2 < 1

4. Jika y = arc coth u maka turunannya

dx du u 1

1 dx dy

2 −

= dimana u2 > 1

5. Jika y = arc sech u maka turunannya

dx du u 1 u

1 dx

dy

2 −

= dimana 0 < u < 1

6. Jika y = arc csch u maka turunannya

dx du u 1 u

1 dx

dy

2 + −

= dimana u ≠ 0

Integrasi yang berkaitan dengan fungsi hiperbolik inversi 7. ∫

+ 2

2 _a

u du

= arc sinh a u

+ C

8. ∫

− 2

2 _a

u du

= arc cosh a

u _{+ C dimana 0 < a < u}

9. ∫ − 2

2 _u

a du

= a 1

arc tanh a u

+ C dimana u2 < a2

10. ∫ − 2

2 _a

u du

= – a 1

arc coth a u

+ C dimana u2 > a2

Contoh soal :

1. Buktikan jika y = arc sinh u, turunannya

dx du 1 u

1 dx

dy

2₊ =

Bukti: Misal u = sinh y, maka

dx dy y cosh dx du

= atau

dx du y cosh

1 dx dy

=

cosh2y = 1 + sinh2y = 1 + u2 maka cosh y = 1+u2 = u2+1

Jadi

dx du 1 u

1 dx

dy

2₊

= terbukti

2. Buktikan∫

+ 2

2 _a

u du

= arc sinh a u

+ C

Bukti : misal u = a sinh p maka du = a cosh p dp dan u2+a2 = a2sinh2p+a2 = a cosh p

∫

+ 2

2 _a

u du

= ∫

p cosh a

dp p cosh a

= ∫dp = p + C = arc sinh a u

+ C terbukti

Tugas :

1. Buktikan turunan fungsi inversi hiperbolik no 2 – 6 di atas. 2. Buktikan persamaan 8 – 10 5. Hitung∫

−_x2 1 x

dx

3. Hitung ∫

−25 x 9

dx

2 6. Hitung ∫

+9 x

dx 2

4. Hitung x2+4 dx 7. Hitung ∫

−9x 4

BAB II

SISTEM KOORDINAT KUTUB

2.1 FUNGSI DALAM BENTUK PARAMETER

Suatu fungsi y = f(x) yang dinyatakan dalam bentuk kartesian seringkali diubah menjadi bentuk parameter. Parameter adalah variabel perantara yang menghubungkan variabel y dan variabel x. Jika sebagai parameter digunakan variabel t maka fungsi y = f(x) dapat diubah menjadi x = f1(t) dan y = f2(t) yang disebut sebagai persamaan dalam bentuk parameter. Dalam hal ini, t = variabel bebas, sedangkan x dan y menjadi variabel tidak bebas.

Contoh:

Persamaan lingkaran berjari-jari a dalam sistem kartesian berbentuk x2 + y2 = a2. Jika diubah kedalam bentuk parameter t, persamaan tersebut menjadi

x = a cos t y = a sin t

parameter t menyatakan sudut yang diapit oleh sumbu x positip dan jari-jari OP

Sebaliknya, bentuk parameter pun dapat diubah ke dalam bentuk kartesian dengan mengeliminir parameternya. Misal: persamaan parameter x = a cos t dan y = b sin t dimana 0 ≤ t ≤ 2π akan diubah menjadi persamaan kartesian, maka persamaan itu diubah menjadi cos t =

a x

dan sin t = b y

. lalu dimasukkan ke dalam persamaan cos2 t + sin2 t = 1, sehingga diperoleh

1 b y a x2 2

=

+ , pers. elips dengan sumbu panjang 2a dan sumbu pendek 2b dan berpusat di (0, 0)

Namun, terkadang bentuk parameter sulit diubah karena parameternya tidak dapat dieksplisitkan. Misalnya

x = t2 + t + 1 y = 3 t3 + t2 – 4

Turunan untuk fungsi parameter adalah dx dy

= dt dy

dx dt

2.2 SISTEM KOORDINAT KUTUB DAN KARTESIAN

Untuk menyatakan kedudukan suatu titik P pada bidang dapat dinyatakan dengan sistem koordinat kartesian, dimana kedudukan dinyatakan dengan absis yaitu jarak dari P ke sumbu y dan ordinat yaitu jarak P ke sumbu x. Namun, kedudukan titik P pun dapat dinyatakan dengan sistem koordinat kutub (polar) berdasarkan jarak r dan sudut θ, dimana r = jarak dari P ke O dan θ = sudut dari OX ke OP. Untuk θ > 0 berlawanan arah jarum jam, sedangkan untuk θ < 0 searah jarum jam.

2.3 KORELASI KOORDINAT KUTUB DAN KARTESIAN

Korelasi antara sistem koordinat kartesian dan koordinat kutub dinyatakan sebagai berikut: Berdasarkan gambar di samping diperoleh:

x = r cos θ atau r = x2+y2

y = r sin θ tan θ = x y

r dalam satuan panjang dan θ dalam satuan radian Catatan: 2π radian = 3600

Dalam sistem koordinat kartesian, suatu titik dapat dinyatakan posisinya hanya dengan suatu pasangan (x, y), namun dalam sistem koordinat kutub, suatu titik dapat dinyatakan posisinya dengan tak berhingga

Tujuan Instruksional Khusus:

Mahasiswa memahami pengertian fungsi dalam bentuk parameter dan konsep sistem koordinat kutub dan kartesian, mampu mengubah fungsi dari satu sistem koordinat ke sistem koordinat lainnya, serta mampu menyelesaikan persoalan berkaitan dengan materi tersebut

Y

X P (x,y)

O a

t

untuk 0 ≤ t ≤ 2π

P (x, y) x

y X

O

Y

r θ O

Y P (r, θ)

Sistem Koordinat Kartesian Sistem Koordinat Kutub X

P (x, y)

x

y X

O

Y r

θ

banyaknya pasangan, sebab pasangan (r, θ + 2 nπ) dengan n = 0, 1, 2, …… ∞ menyatakan posisi titik yang sama. Demikian pula titik pusat O dapat dinyatakan dengan (0, θ) untuk θ sebarang.

Jika persamaan dalam sistem kartesian y = f(x) akan diubah dalam sistem koordinat kutub, substitusikan x = r cos θ dan y = r sin θ pada persamaan tersebut. Sebaliknya, jika dari sistem kutub y = f(x) akan diubah dalam sistem koordinat kartesian, substitusikan r = x2+y2dan tan θ =

x y

pada persamaan kutub tersebut

Contoh :

1. Nyatakan persamaan x2 + y2 – 4x = 0 dalam sistem koordinat kutub Jawab:

Substitusikan x = r cos θ dan y = r sin θ dalam persamaan di atas, lalu didapatkan (r cos θ)2 _{+ (r sin θ)}2 _{– 4(r cos θ) = 0}

r2 (cos2 θ + sin2 θ) – 4 r cos θ = 0

r2 – 4 r cos θ = 0 atau r (r – 4 cos θ) = 0 Berlaku untuk r = 0 atau r – 4 cos θ = 0

Persamaan r = 0 menyatakan titik 0 (titik dipol), sehingga tidak memenuhi persamaan tersebut, sedangkan persamaan r – 4 cos θ = 0 atau r = 4 cos θ, jika r = 0 maka θ =

2 π_,

2

3π _{dan seterusnya. Artinya persamaan r = 4 cos θ melalui titik 0. Dengan demikian} persamaan yang dicari adalah persamaan r = 4 cos θ,tersebut

2. Nyatakan persamaan r2 = θ dalam sistem koordinat kartesian Jawab :

Substitusikan r = x2+y2 dan tan θ =

x y

pada persamaan kutub tersebut, didapat 2

2

2 _{y )}

x

( + = arc tan

x y

sehingga x2 + y2 = arc tan x y

adalah persamaan yang dicari. Tugas:

A. Nyatakan persamaan berikut dalam B. Nyatakan persamaan berikut dalam sistem koordinat kutub sistem koordinat kartesian

1. x2 – y2 – 16 = 0 1. r2 cos 2θ = 10

2. x3 = 4y2 2. r2 = 2 sin 2θ

3.

1 x

x 2 y

2₊

= 3. r =

θ −3sin 2

6

4. x2 + y2 = a2 untuk a > 0 4. r = 2 sin 3θ 5. x3 + y3 – 3axy = 0 untuk a bilangan real 5. r2 = cos θ

6. y2 = 4 (x + 1) 6. r2 = 4 cos 2θ

7. (x2 + y2 )2 = 4 (x2 – y2 ) 7. r =

θ −2cos 3

4

8. 2xy = a2 untuk a ≠ 0

2.4 MELUKIS SKETSA GRAFIK FUNGSI DALAM PARAMETER

Untuk melukiskan fungsi parameter x = f(t), y = g(t), masukkan nilai variabel bebas t ke dalam persamaan untuk mendapatkan nilai masing-masing variabel tidak bebas x dan y. Plotkan nilai x dan y tersebut ke dalam sistem koordinat XY, lalu hubungkan titik-titik hasil ploting tersebut. Hasilnya grafik yang dicari. Contoh:

Gambarkan grafik fungsi x = 2t, y = 3 t2 + 1 untuk – ∞ < t < ∞ Jawab:

Tabel hitungan parameter sebagai berikut

2.5 MELUKIS SKETSA GRAFIK FUNGSI DALAM KOORDINAT KUTUB

t x y (x, y)

0 0 1 (0, 1)

1 2 4 (2, 4)

2 4 13 (4, 13)

– 1 – 2 4 (– 2, 4)

– 2 – 4 13 (– 4, 13) – 4 0 4

(0, 1) (2, 4)

(4, 13) (–4, 13)

(–2, 4)

a. Melukiskan kedudukan titik

Untuk melukiskan kedudukan suatu titik dalam koordinat kutub, misalkan titik P (2,

3

π

), lakukan langkah berikut:

o Buat lingkaran dengan jari-jari 2 satuan. Pusat lingkaran merupakan titik nol

o Ukurkan sudut sebesar

3

π

= 600 dari arah sumbu X positip berlawanan arah jarum jam. Jika sudutnya negatip, arahnya searah jarum jam.

o Tarik garis bersudut 600 tersebut memotong lingkaran di titik P. P adalah titik yang dimaksud.

b. Melukis grafik fungsi

Untuk melukisseperti sin θ, cos θ, dan lain-lain, sebaiknya disiapkan gambar seperti di samping. Perhatikan :

Harga jarak r harus bernilai positip atau nol (r ≥ 0). Nilai r bertanda negatip tidak digambarkan. Langkahnya adalah:

o Buatlah tabel hitungan dengan menghitung variabel r berdasarkan variabel θ (gunakan beberapa

sudut istimewa, 0o, 30o, 45o, 60o, 90o, 120o, ………360o).

o Buatlah beberapa lingkaran dengan pusat sama berdasarkan jari-jari r hasil hitungan.

o Tarik garis sesuai dengan sudut-sudut istimewa, seperti gambar di atas.

o Posisi titik yang sesuai dengan besar nilai koordinat (r, θ) diberi tanda. o Hubungkan titik-titik hasil plot tadi, diperoleh grafik yang dicari. Contoh :

1. Gambarkan grafik fungsi r = 1 – 2 cos θ Jawab:

Tabel hitungan koordinat polar

Catatan: sudut 0o, 30o, 330o, dan 360o tidak diplotkan karena r bernilai negatip 2. Gambarkan grafik fungsi r = θ untuk θ ≥ 0

Jawab:

Tabel hitungan koordinat polar

Tugas : Gambarkan grafik fungsi

θ r θ r

0o – 1 210o 1 +

3

30o 1 –

3

240o 2

60o 0 270o 1

90o 1 300o 0

120o 2 330o 1 –

3

150o 1 +

3

360o – 1

180o 3

θ r θ r

0o 0 210o 7π/6 = 3,67

30o π/6 = 0,52 240o 4π/3 = 4,19 60o π/3 = 1,05 270o 3π/2 = 4,71 90o π/2 = 1,57 300o 5π/3 = 5,24 120o 2π/3 = 2,09 330o 11π/6 = 5,76 150o 5π/6 = 2,62 360o 2π = 6,28 180o π = 3,14

P (2,

3 π

)

X Y

O 60o

2

0 90o

180o

270o

30o 45o 60o

0o

60

o

90o 120o

180o

270o

240o ₃₀₀o

30o

330o 210o

150o

Grafik yang dicari

1 2 1+ 3

3

0o 30o

60o 90o

120o

150o

180o

210o

240o

270o

300o

330o

1. r = a(1 – sin θ) untuk a > 0 8. r = 3 cos 2 θ

2. r = 3 + 2 sin θ 9. r = 3 + 3 cos θ

3. r = 4 cos 2θ 10. r = 2 + 2 sin θ

4. r cos θ = 4 11. r = 4 – 4 cos θ

5. r = 2 sin θ 12. r2 = 4 cos 2θ

6. r = 2 sin 3 θ 13. r2 = 9 sin 2θ

7. r θ = 1 14. r = 3 – 2 sin θ

2.6 PERPOTONGAN GRAFIK FUNGSI

Jika terdapat dua fungsi f = f(θ) dan r = g(θ) yang saling berpotongan, untuk mendapatkan titik

perpotongannya dapat dilakukan dengan membuat persamaan: f(θ) = g(θ), lalu tentukan harga θ dan r. Untuk mendapatkan harga θ, perlu diperhatikan rumus-rumus persamaan geometris berikut, dimana k = bilangan bulat

1. Jika sin xo = sin po maka x1 = po + k.360o dan x2 = (180o – po) + k.360o 2. Jika cos xo = cos po maka x = ± po + k.360o

3. Jika tan xo = tan po maka x = po + k.180o 4. Jika cot xo = cot po maka x = po + k.180o Contoh soal:

1. Jika sin 2x = 2 2

1 _{, tentukan harga x untuk 0}o _{≤ x ≤ 360}o Jawab: Karena sin 2x = sin 45o maka

a. 2x = 45o + k.360o atau x = 22,5o + k.180o sehingga untuk k = 0 didapat x = 22,5o, dan untuk k = 1 didapat x = 22,5o + 180o = 202,5o

b. 2x = (180o – 45o) + k.360o atau 2x = 135 o + k.360o atau x = 67,5o + k.180o sehingga untuk k = 0 didapat x = 67,5o dan untuk k = 1 didapat x = 67,5o + 180o = 247,5o

Jadi himpunan harga x = { 22,5o, 67,5o, 202,5o, 247,5o} 2. Jika

2 1 x

cos = , tentukan x untuk 0o ≤ x ≤ 360o Jawab: Karena cos x = cos 60o maka

a. x = 60o + k.360o sehingga untuk k = 0 didapat x = 60o

b. x = – 60o + k.360o sehingga untuk k = 1 didapat x = – 60o + 360o = 300o Jadi himpunan harga x = {60o, 300o}

3. Tentukan titik potong kurva r = 2 – 2 cos θ dan kurva r = 2 cos θ. Gambarkan kedua grafik tersebut.

Jawab: 2 – 2 cos θ = 2 cos θ atau

2 1

cosθ= sehingga didapat θ = 60o dan θ = 300o Untuk θ = 60o _{didapat r = 1 dan untuk θ = 300}o

didapat r = 1 pula. Jadi titik potongnya terletak di (1, 60o) dan (1, 300o)

r = 2 – 2 cos θ r = 2 cos θ

Catatan : pada kurva r = 2 cos θ, nilai r untuk sudut 120o, 180o, dan 240o tidak digunakan

karena bertanda negatip Tugas :

1. Jika sin 2x = cos x, tentukan harga x untuk 0o ≤ x ≤ 360o 2. Jika tan 2x = tan 30o, tentukan harga x untuk 0o ≤ x ≤ 180o 3. Jika cos 3x = sin x, tentukan harga x untuk 0o ≤ x ≤ 360o 4. Tentukan titik potong kurva r2 cos θ = 2 dan kurva r2 = 4. 5. Tentukan titik potong kurva r = 2 sin 2θ dan kurva r = 1. 6. Tentukan titik potong kurva r cos θ = 2 dan kurva r = 4 sin θ 7. Tentukan titik potong kurva r = a cos θ dan kurva r = a sin θ 2.7 MENENTUKAN GRADIEN GARIS SINGGUNG KURVA FUNGSI

θ r θ r

0o 0 0o 2

60o 1 60o 1

90o 2 90o 0

120o 3 120o – 1 *

180o 4 180o – 2 *

240o 3 240o – 1 *

270o 2 270o 0

300o 1 300o 1

360o 0 360o 2

Grafik kurva r = 2 – 2 cos θ

Grafik kurva r = 2 cos θ

0o 60o

90o 120o

180o

240o

270o

300o (1, 60o)

Dalam fungsi y = f(x) pada sistem kartesian, gradien garis singgung di suatu titik P pada fungsi tersebut dinyatakan dengan hasil turunannya

dx dy

di P.

Namun dalam sistem koordinat, tidak demikian, sebab turunan

dr

d

θ

di P bukan menyatakan gradien garis singgung di titik P tersebut. Perhatikan gambar berikut.

Titik P(r, θ) dan R(r+∆r, θ+∆θ) terletak pada fungsi f = f(θ) ∆θ = sudut antara garis OP dan OR

OR = r + ∆r

tan α = gradien garis singgung di P Berdasarkan gambar didapat: α = θ + ψ

Jadi tan α = tan (θ + ψ) atau

θ ψ − θ + ψ = α tan tan 1 tan tan

tan adalah rumus gradien garis singgung

Berdasarkan gambar didapat persamaan:

SR PS tanβ=

PS = r sin ∆θ sedangkan SR = OR – OS = r + ∆r – r cos ∆θ = r (1 – cos ∆θ) + ∆r sehingga r ) cos 1 ( r sin r tan ∆ + θ ∆ − θ ∆ =

β =

r sin 2 r cos sin r 2 2 1 2 2 1 2 1 ∆ + θ ∆ θ ∆ θ ∆ = θ ∆ ∆ + θ ∆ sin r tan r r 2 1

Jika ∆θ sangat kecil sehingga mendekati nol, maka PR akan mendekati garis singgung di P, demikian pula sudut β akan mendekati besar sudut ψ, sehingga

tan ψ = β

→ θ

∆lim0tan =

θ ∆ θ ∆ θ ∆ ∆ + θ ∆ → θ ∆ sin r tan r r lim 2 1

0 = ₀ r ₁

r

θ ∆ ∆ + tan ψ =

θ d dr

r

Oleh karena tan ψ dapat dihitung, maka tan α juga dapat ditentukan. Jika persamaan tersebut dimasukkan ke dalam rumus gradien garis singgung, didapat

θ ψ − θ + ψ = α tan tan 1 tan tan

tan =

θ θ − θ θ + θ θ cos sin r 1 cos sin r d dr d dr = θ θ − θ θ θ + θ θ θ θ θ cos sin r cos cos sin cos r d dr d dr d dr d dr

tan α =

θ + θ − θ + θ θ θ cos sin r sin cos r d dr d dr

Contoh soal :

Tentukan gradien garis singgung fungsi kardioda r = 2 + 2 sin θ di titik (3, π/6) Jawab:

Fungsi kardioda r = 2 + 2 sin θ , maka turunannya θ d

dr _{= 2 cos θ}

Di titik (3, π/6) menjadi θ d dr

= 2 cos (π/6) = 3 Jadi tan ψ =

θ d dr

r

= 3

3 3

= dan tan θ = tan (π/6) = 3 3 1

Dengan demikian gradien garis singgung

θ ψ − θ + ψ = α tan tan 1 tan tan

tan =

3 . 3 1 3 3 3 1 3 1 − + = 1 1 3 3 4

− = 0 3 3 4

= ∞ atau α = 90o

atau dengan persamaan kedua (tanpa menghitung tan ψ)

P(r, θ) S β ψ α θ ∆θ r

r + ∆r

r = f(θ)

R(r+∆r, θ+∆θ)

O

tan α =

θ +

θ −

θ +

θ θ θ

cos sin

r

sin cos

r

d dr

d dr

=

θ θ +

θ −

θ θ +

θ

cos cos 2 sin r

sin cos 2 cos

r _{untuk (3, π/6), didapat}

tan α =

6 / cos 6 / cos 2 6 / sin 3

6 / sin 6 / cos 2 6 / cos 3

π π

+ π −

π π

+

π ₌

3 . 3 . 2 . 3

. 3 . 2 3 . 3

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2

1 + −

+

=

2 3 2 3

2 1 2

3 _{3 3}

+ −

+

tan α = =∞ 0

3 2

atau α = 90o

(hasilnya sama) Tugas : tentukan gradien garis singgung 1. r = 1 – cos θ di θ = π/2

2. r = cos 3 θ di r = 0

2.8 MENENTUKAN LUAS DALAM KOORDINAT KUTUB

Jika terdapat fungsi r = f(θ) dan r = g(θ) dipotong dengan dua garis sudut θ = α dan θ = β, maka akan didapat luasan R seperti gambar di samping.

Adapun luas R dapat dihitung menggunakan rumus integrasi berikut:

Luas R = β∫

{

θ − θ

}

θ α f( ) g( ) d

2 2

2 1

Contoh soal :

1. Hitung luas daerah yang dibatasi grafik r = 3 + 2 sin θ Jawab:

Grafik fungsi r = 3 + 2 sin θ adalah sebagai berikut

Karena grafik tersebut simetris, maka cukup dihitung luas dengan batas θ = 90o dan θ = 270o

, lalu setelah hasilnya dikalikan 2 didapat luas grafik total. Luas

2

1 _{R =} β_∫

{

_{θ − θ}

}

_θ

α

d ) ( g ) (

f 2 2

2

1 _{= ∫ + θ θ}

o o 270

90

2 2

1 _{(3 2sin ) d}

= ∫ + θ+ θ θ

π π 2 3

2 1

d ) sin 4 sin 12 9

( 2

2

1 _{= ∫}π _{+ θ+ − θ θ}

π 2 3

2 1

d ) 2 cos 2 2 sin 12 9 (

2 1

= 3 /2

2 / 2

1_{(9 12cos 2 sin2 )} π π θ − θ + θ −

θ = 0) ( 0 0)}

2 6 0 {(

2 2 2

9 2

27 2

1 _{π− + π− − π− + π−}

= 2

1 _{( )}

2 11 2

33_{π− π =} 2

1 _π

2

22 _{= π} 2 11 Luas R = 2 x π

2

11 _{= 11 π satuan luas}

2. Hitung luas daerah yang terletak di dalam r = 3 sin θ dan di luar r = 2 – sin θ

θ r θ r

0o 3 210o 2

30o 4 240o 1,27

60o 4,73 270o 1

90o 5 300o 1,27

120o 4,73 330o 2

150o 4 360o 3

180o 3

P

r = g(θ)

r = f(θ) O

α β

K L

Q

Luasan R

θ = α θ = β

90o

0o 30o 150o

180o

210o

270o

330o

Daerah yang akan dihitung luasnya 60o

120o

240o 300o

r = 3 sin θ

Daerah yang dicari luasnya

30o

60o 90o

120o

Jawab :

r = 3 sin θ r = 2 – sin θ .

Catatan : untuk fungsi r = 3 sin θ, nilai r untuk sudut θ 210o s.d. 330o tidak digambar karena bertanda negatip

Luas R = β∫

{

θ − θ

}

θ α f( ) g( ) d

2 2

2

1 _{= 2. ∫}

{

_{θ − − θ}

}

_θ

o o 90 30

2 2

2

1 _{(3sin ) (2 sin ) d}

= ∫

{

θ− + θ− θ

}

θ

π π

2 1

6 1

d sin sin 4 4 sin

9 2 2 = ∫

{

θ+ θ−

}

θ

π π 2 1

6 1

d 4 sin 4 sin

8 2

= ∫

{

θ+ θ−

}

θ

π π 2 1

6 1

d 1 sin sin

2

4 2 = ∫

{

− θ+ θ−

}

θ

π π 2 1

6 1

d 1 sin 2 cos 1 4

= 4 (–

2

1 _{sin 2θ – cos θ} /2

6 / ) π

π = 4 {(0 – 0) – (–4 3

1 _{– 3}

2

1 _{) =}

₃

₃

_{satuan luas}

Tugas:

Hitung luas daerah yang dibatasi kurva berikut, dan gambarkan grafiknya 1. r = 2 + 2 cos θ. 6. r = 2 + cos θ.

2. r = 2 – sin θ. 7. didalam r = 1 + cos θ dan diluar r = 1 3. r = 2 + sin θ. 8. r = sin 2θ di kuadran pertama

4. r2 = a2 cos 2θ. 9. irisan antara r = 3 cos θ dan r = 1 + cos θ 5. r = a cos 3θ. 10. di luar r = 2 + 2 cos θ dan di dalam r = 3 2.9 Sudut Perpotongan antara Dua Garis Singgung Kurva

Dua garis singgung kurva berpotongan di titik P (r, θ) membentuk sudut ϕ.

Besar sudut ϕ tsb dapat dihitung berdasarkan persamaan

2 1

2 1

tan tan 1

tan tan

tan

ψ ψ +

ψ − ψ = ϕ

dimana ψ1 danψ2 adalah sudut-sudut antara radius vektor OP dan garis singgung di titik P pada kurva bersangkutan.

2.10 Turunan Panjang Busur

Turunan panjang busur diberikan oleh persamaan 2 2 d

ds ₎

d dr ( r

θ + =

θ dengan pengertiannya, bahwa jika θ bertambah maka s juga akan bertambah. Diperoleh: θ

θ +

= ) d

d dr ( r

ds 2 2

θ r θ r

0o 0 0o 2

30o 1,5 30o 1,5

60o 2,6 60o 1,13

90o 3 90o 1

120o 2,6 120o 1,13 150o 1,5 150o 1,5

180o 0 180o 2

210o -1,5 210o 2,5 240o -2,6 240o 2,87

270o -3 270o 3

300o -2,6 300o 2,87 330o -1,5 330o 2,5

360o 0 360o 2

Kurva K1 Kurva K2

P

ϕ θ

BAB III

KALKULUS FUNGSI DENGAN BEBERAPA VARIABEL

3.1 FUNGSI DUA VARIABEL

Fungsi dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan : F(x, y, z) = 0 disebut persamaan implisit, dan

z = f(x, y) disebut persamaan eksplisit Definisi:

Suatu variabel z dalam persamaan z = f(x, y) yang tergantung dari dua variabel x dan y dikatakan merupakan fungsi dua variabel jika untuk setiap pasangan (x, y) ada tepat satu nilai z sehingga memenuhi persamaan tersebut. z disebut variabel tidak bebas, sedangkan x dan y disebut variabel bebas.

Contoh

Selidiki apakah persamaan berikut merupakan fungsi dua variabel. a. x + y z

3 1 2

1 _{+ – 1 = 0} b. x2 + y2 + z2 – 4 = 0 Jawab

a. Persamaan x + y z 3 1 2

1 _{+ – 1 = 0 dapat diubah menjadi z = 3 (1 – x –} 2 1 _y)

Untuk setiap pasangan (x, y) hanya menghasilkan satu nilai z yang memenuhi persamaan tersebut. Jadi, persamaan tersebut merupakan fungsi dua variabel.

b. Persamaan x2 + y2 + z2 – 4 = 0 bila dieksplisitkan berubah menjadi z = ± 4−x2−y2 maka untuk setiap pasangan (x, y) terdapat 2 nilai z yang memenuhi.

Jadi, persamaan itu bukanlah fungsi dua variabel.

Tetapi, persamaan z = 4−x2−y2 adalah fungsi dua variabel sebab setiap pasangan (x, y) hanya menghasilkan satu nilai z.

3.2 ARTI GEOMETRI FUNGSI DUA VARIABEL DALAM RUANG 3 DIMENSI

Persamaan z = f(x, y) atau F(x, y, z) = 0 bila dilukiskan pada ruang 3 dimensi dengan sistem koordinat XYZ, umumnya berbentuk permukaan.

Untuk melukiskan suatu permukaan, perlu diperhatikan 4 hal, yaitu: 1. Daerah definisi dan rentang fungsi f tersebut.

2. Sifat simetri fungsi f tersebut.

3. Kurva perpotongan dengan bidang koordinat (XOY, XOZ, dan YOZ) dengan memasukkan • nilai z = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang XOY • nilai y = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang XOZ • nilai x = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang YOZ

4. Perpotongan dengan bidang lainnya, misalnya dengan bidang sejajar bidang XOY pada jarak z0 didapat dengan memasukkan z = z0, bidang sejajar bidang XOZ pada jarak y0 didapat dengan memasukkan y = y0, atau bidang sejajar bidang YOZ pada jarak x0

didapat dengan memasukkan x = x0.

Kurva perpotongan biasanya disebut level kurva dan proyeksinya pada bidang koordinat disebut garis kontur.

Contoh soal: Gambarkan permukaan, dimana a, b, dan c positip, dan a = b

a. 4 x2 + y2 = z e. z = y2

b. x2 + y2 + z2 = r2 f. 1

a x b y c z

2 2 2 2 2 2

= − −

c. 1

c z b y a x

2 2 2 2 2 2

= +

+ g.

2 2 2 2 2 2

c z b y a x

= +

d. 1

c z b y a x

2 2 2 2 2 2

= −

+

Tujuan Instruksional Khusus:

Mahasiswa memahami pengertian tentang fungsi dengan beberapa variabel, mampu menentukan turunannya, dan mampu menghitung diferensial total, serta mampu menyelesaikan persoalan berkaitan dengan materi tersebut

Jawab:

a. 4 x2 + y2 = z atau z = 4 x2 + y2 Dalam bentuk z = f(x, y), maka daerah definisi Df adalah bidang XOY. Berdasarkan persamaan tersebut, nilai z akan selalu positip sebab variabel x dan y dalam bentuk kuadrat. Dengan demikian rentang fungsi Rf adalah z ≥ 0. Level kurva didapat dari persamaan 4 x2 + y2 = c dimana c bilangan riel > 0, persamaan ini adalah persamaan elips pada z = c. Untuk y = 0, didapat z = 4 x2 yaitu persamaan parabola pada bidang XOZ. Untuk x = 0, didapat z = y2 yaitu persamaan parabola pada bidang YOZ. Bentuk lukisannya adalah sebagai berikut:

b. Persamaan x2 + y2 + z2 = r2 bukanlah fungsi dua variabel, sebab setiap pasangan (x, y) terdapat 2 nilai z yang memenuhi. Namun, persamaan ini jika dilukiskan merupakan suatu bola dengan pusat di (0, 0, 0) dan jari-jari r. Untuk x = 0, persamaan tersebut memotong bidang YOZ menjadi y2 + z2 = r2 berupa persamaan lingkaran, untuk y = 0 memotong bidang XOZ menjadi x2 + z2 = r2 berupa persamaan lingkaran, dan untuk z = 0 memotong bidang XOY menjadi x2 + y2 = r2 berupa persamaan lingkaran.

Sedangkan (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2 menyatakan persamaan bola dengan pusat di (a, b, c) dan jari-jari r.

c. Persamaan 1

c z b y a x

2 2 2 2 2 2

= +

+ bukan fungsi dua variabel. Perpotongannya dengan bidang koordinat

• XOY, dengan z = 0 adalah 1 b y a x

2 2 2 2

= +

a = b, membentuk persamaan lingkaran • XOZ, dengan y = 0 adalah 1

c z a x

2 2 2 2

= +

• YOZ, dengan x = 0 adalah 1 c z b y

2 2 2 2

= +

keduanya membentuk persamaan elips. Dengan demikian persamaan tersebut dilukiskan berbentuk elipsoida (elips putaran)

d. Perpotongan persamaan 1

c z b y a x

2 2 2 2 2 2

= −

+ dengan bidang:

• XOY, dengan z = 0 adalah 1 b y a x

2 2 2 2

= +

untuk a = b, membentuk persamaan lingkaran • XOZ, dengan y = 0 adalah 1

c z a x

2 2 2 2

= −

• YOZ, dengan x = 0 adalah 1 c z b y

2 2 2 2

= −

keduanya membentuk persamaan hiperbola. Dengan demikian persamaan tersebut dilukiskan berbentuk hiperboloida berdaun satu.

e. Persamaan z = y2 tidak memiliki variabel x, artinya nilai x dapat diambil sembarang. Perpotongan dengan bidang YOZ dengan x = 0 tetap adalah z = y2 yaitu berupa parabola. Permukaannya berbentuk silinder parabolik

Y X

Z

Pada z = c, kurva berbentuk elips

Pada y = 0, z = 4 x2, dan x = 0, z = y2, kurva berbentuk parabola

Permukaan ini disebut paraboloida eliptik

Z

Y

X

(

0, 0, 0)

permukaan bola berpusat di (0, 0, 0)

dengan jari-jari r

Z

Y X (0, 0, 0)

permukaan elipsoida berpusat di (0, 0, 0)

permukaan hiperboloida berdaun satu

Z

Y X

permukaan silinder parabolik Z

Y X

f. Persamaan 1 a x b y c z

2 2 2 2 2 2

= −

− dengan a = b

menghasilkan gambar sebagaimana tercantum di samping.

Jelaskan sendiri penyelesaiannya.

g. Persamaan

2 2 2 2 2 2

c z b y a x

=

+ menghasilkan

gambar sebagaimana di samping. Jelaskan sendiri penyelesaiannya.

3.3 TURUNAN PARSIAL FUNGSI DUA VARIABEL Turunan parsial dari fungsi z = f(x, y) adalah:

T

x z_

     ∂ ∂

= turunan parsial dari fungsi z terhadap x di T(xt, yt, zt) dimana y dianggap konstan

=

h

) y , x ( f ) y , h x ( f

lim o o o o

0 h

− +

→ T y z       ∂ ∂

= turunan parsial dari fungsi z terhadap x di T(xt, yt, zt) dimana x dianggap konstan

=

h

) y , x ( f ) h y , x ( f

lim o o o o

0 h

− + →

Contoh:

Tentukan turunan parsial dari:

a. z = x2 + y2 b. z = xy

Jawab: a.

x z ∂ ∂

=

h

) y x ( } y ) h x {( lim

2 2 2 2 0

h

+ − + +

→ = h

y x y h xh 2 x lim

2 2 2 2 2

0 h

− − + + + → =

h h xh 2 lim

2 0

h

+

→ = hlim→02x+h

= 2x . Dengan cara yang sama diperoleh y z ∂ ∂ _{= 2y}

b. x z ∂ ∂

=

h xy y ) h x ( lim

0 h

− +

→ = h

xy hy xy lim

0 h

− +

→ = y

Dengan cara yang sama diperoleh y z ∂ ∂

= x Tugas:

Tentukan turunan parsial untuk fungsi berikut:

1. z = x2 sin y 4. z = x2 + 3xy + y2 7. z = x cos y – y cos x 2. z = ln x2+y2 5. z = arctan

x y

8. z = xy 3. z =

2

y x

6. z =

2

2 _x

y y

x ₋

9. Diketahui z = x2+y2, buktikan z y z y x z

x =

∂ ∂ + ∂ ∂

10. Diketahui z = ln x2+y2 , buktikan 1 y z y x z

x =

∂ ∂ − ∂ ∂

Y

permukaan hiperboloida berdaun dua

Z

X

permukaaan kerucut eliptik Y Z

3.4 TURUNAN PARSIAL TINGKAT DUA ATAU LEBIH

Turunan parsial tingkat dua fungsi z = f(x, y) terbagi atas 4 macam, yaitu: 1. 2 2 x f ∂ ∂ =       ∂ ∂ ∂ ∂ x f

x 3. x y

f 2 ∂ ∂ ∂ = _      ∂ ∂ ∂ ∂ y f x 2. 2 2 y f ∂ ∂ = _      ∂ ∂ ∂ ∂ y f

y 4. y x

f 2 ∂ ∂ ∂ =       ∂ ∂ ∂ ∂ x f

y catatan : x y

f 2 ∂ ∂ ∂ = x y f 2 ∂ ∂ ∂

Turunan parsial tingkat tiga fungsi z = f(x, y) terbagi atas 8 macam, yaitu: 1. 3 3 x f ∂ ∂ =             ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x f x

x 4. _{x y}

f 2 3 ∂ ∂ ∂ =               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y f x

x 7. _{x y}

f 2 3 ∂ ∂ ∂ =               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y f y x 2. 3 3 y f ∂ ∂ =               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y f y

y 5. _{y x}

f 2 3 ∂ ∂ ∂ =             ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x f y

y 8. _{y x}

f 2 3 ∂ ∂ ∂ =             ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x f x y 3. x y x f 3 ∂ ∂ ∂ ∂ =             ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x f y

x 6. y x y

f 3 ∂ ∂ ∂ ∂ =               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y f x y Contoh

Tentukan semua turunan parsial tingkat dua untuk fungsi: a. z = x sin2y b. z = sin (xy) Jawab:

a. z = x sin2y Turunan parsial pertama x z ∂ ∂

= sin2y dan

y z

∂ ∂

= 2 x sin y cos y = x sin 2y

Turunan parsial kedua 2 2 x z ∂ ∂ = 0, 2 2 y z ∂ ∂

= 2x cos 2y,

y x z 2 ∂ ∂ ∂

= 2 sin y cos y = sin 2y,

dan x y z 2 ∂ ∂ ∂

= sin 2y

b. z = sin (xy) Turunan parsial pertama x z ∂ ∂

= y cos (xy) dan

y z

∂ ∂

= x cos (xy)

Turunan parsial kedua 2 2 x z ∂ ∂

= – y2 sin (xy), 2 2 y z ∂ ∂

= – x2 sin (xy),

y x z 2 ∂ ∂ ∂

= cos (xy) – xy sin (xy), dan

x y z 2 ∂ ∂ ∂

= cos (xy) – xy sin (xy)

Tugas: Tentukan turunan parsial tingkat dua dan tiga untuk semua soal 1 – 8 di muka. 3.5 BIDANG SINGGUNG DAN GARIS NORMAL

Persamaan bidang yang menyinggung fungsi z = f(x, y) di titik T (x0, y0, z0) adalah: ) y y ( y z ) x x ( x z z z _o T o T

o  −

     ∂ ∂ + −       ∂ ∂ = −

Sedangkan, persamaan garis normalnya adalah:

X = (x_o,y_o,z_o)+tN

dimana:

X = vektor garis normal t = parameter

N = (1, 0, T x z_      ∂ ∂

) X (0, 1, T y z       ∂ ∂

X = perkalian cross (silang) vektor Contoh:

Diketahui bidang permukaan z = x3 + x2y + y3 + y2x + 1. Tentukan :

a. Persamaan bidang singgung melalui titik T (1, 1, 5) pada permukaan tersebut. b. Persamaan garis normal

garis normal

bidang

singgun

bidang permukaan z = f(x, y) T (x0, y0, z0)

Jawab: a.

x z ∂ ∂

= 3x2 + 2xy + y2 maka T

x z_

     ∂ ∂

= 3 + 2 + 1 = 6

y z ∂ ∂

= x2 + 3y2 + 2xy maka T y z       ∂ ∂

= 1 + 3 + 2 = 6 maka persamaan bidang singgung:

) y y ( y z ) x x ( x z z

z _o

T o

T

o  −

     ∂ ∂ + −       ∂ ∂ = −

z – 5 = 6 (x – 1) + 6 (y – 1) maka z = 6x + 6y – 7 b. Persamaan garis normal : X = (x_o,y_o,z_o)+tN

N = (1, 0, T

x z

      ∂ ∂

) X (0, 1, T y z       ∂ ∂

= (1, 0, 6) X (0, 1, 6)

=

6 1 0

6 0 1

j j i

= – 6i – 6j + k = (– 6, – 6, 1)

Jadi

X

= (1, 1, 5) + t (– 6, – 6, 1) dengan t = parameter Tugas:

1. Diketahui persamaan z =

x y

x+

dan titik T (1, 1, 2) terletak pada permukaan tersebut. Tentukan persamaan bidang singgung dan persamaan garis normal yang melalui T. 2. Idem, persamaan z = x3 – 2xy + y2 dan titik T (1, – 1, 4)

3. Idem, persamaan z = x2+y2 dan titik T (4, – 3, 5) 4. Idem, persamaan z =

2

2 _x

y y

x

− dan titik T (1, – 1, 2)

5. Idem, persamaan z = 2

y x

dan titik T (2, – 1, 2)

3.6 MENENTUKAN JENIS TITIK EKSTRIM DENGAN TURUNAN PARSIAL TINGKAT DUA

Jika titik T (x0, y0, z0) adalah titik stasioner dari fungsi z = f (x, y) dan berlaku

T

x z

      ∂ ∂

= 0 dan T y z       ∂ ∂

= 0 serta diskriminan fungsi f = ∆, dimana

∆ = 2 2

x f

∂ ∂

2 2

y f

∂ ∂

–

2 2

y x

f

       

∂ ∂

∂

maka berlaku ketentuan sebagai berikut: 1. Jika di T berlaku ∆ > 0, dan

2 2

x f

∂ ∂

< 0 atau 2 2

y f

∂ ∂

< 0, maka T adalah titik maksimum

2. Jika di T berlaku ∆ > 0, dan 2 2

x f

∂ ∂

> 0 atau 2 2

y f

∂ ∂

> 0, maka T adalah titik minimum 3. Jika di T berlaku ∆ < 0, maka T bukan titik ekstrim

4. Jika di T berlaku ∆ = 0, maka tidak dapat ditarik kesimpulan mengenai T Contoh : Tentukan titik-titik ekstrim dan jenisnya dari persamaan z = x2 + y2 Jawab: Hitung turunan parsialnya, yaitu:

x z ∂ ∂

= 2x

x y

z

2 ∂ ∂

∂

= 0

2 2

x z

∂ ∂

= 2

y z

∂ ∂

= 2y

y x

z

2 ∂ ∂

∂

= 0

2 2

y z

∂ ∂

∆ = 2 2 x

f ∂ ∂

2 2

y f

∂ ∂

–

2 2

y x

f

       

∂ ∂

∂

= 2 . 2 – 0 = 4 > 0

Titik stasioner didapat dari x z ∂ ∂

= 0 dan

y z

∂ ∂

= 0, diperoleh 2x = 0 atau x = 0 dan 2y = 0 atau y = 0, sedangkan z = x2 + y2 = 0 + 0 = 0. Jadi titik stasioner (0, 0, 0). Tentukan jenis titik stasioner ini,

maksimum atau minimum. Di titik (0, 0, 0) diperoleh ∆ = 4 > 0, 2 2

x z

∂ ∂

= 2 > 0 maka sesuai ketentuan di atas, disimpulkan titik tersebut minimum.

Tugas :

1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya (jika ada) untuk fungsi-fungsi berikut: a. z = x3 + x2y – 2y3 + 3y2 d. z = 2x2 – y2 + 20x – 11y b. z = x3 + y3 + x2 – 5y2 – x + 3y e. z = 4xy2 – 2x2y – x c. z = x2 + y2 + 3xy

2. Akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup atas dengan volume 108 cm3. Berapa ukuran kotak tersebut agar luas permukaannya minimum? 3.7 TURUNAN PARSIAL FUNGSI PARAMETER

Jika diketahui suatu fungsi z = f (x, y) dimana x = f(t) dan y = f(t) maka turunan parsial z terhadap parameter t adalah:

t z ∂ ∂

= x z ∂ ∂

. t x ∂ ∂

+

y z

∂ ∂

. t y ∂ ∂

Tugas : 1. Tentukan

t z ∂ ∂

jika

a. z = x2 + 3xy + 5y2, x = sin t, dan y = cos t b. z = ln (x2 + y2), x = e-t, dan y = et

2. Jika pada suatu kerucut berlaku bahwa tingginya berkurang dengan kecepatan 0,2 cm/detik, jari-jari bertambah dengan kecepatan 0,3 cm/detik. Hitung kecepatan berubahnya volume kerucut pada saat tingginya 15 cm dan jari-jari 10 cm.

Petunjuk : Volume kerucut v = x2y

3

1_{π , dimana x = jari-jari lingkaran alas kerucut} dan y = tinggi kerucut.

Kecepatan berubahnya volume =

t V

∂ ∂

= x V ∂ ∂

. t x ∂ ∂

+

y V

∂ ∂

. t y ∂ ∂

3.8 DIFERENSIAL TOTAL

Jika z = f (x, y) maka diferensial total dari fungsi tersebut adalah dz = dx

x z

∂ ∂

+ dy

y z

∂ ∂

Artinya, jika pada x terjadi perubahan sebesar dx dan pada y terjadi perubahan sebesar dy maka pada z akan terjadi perubahan sebesar dz sebesar persamaan di atas.

Contoh:

1. Di lapangan akan dibuat empat persegi panjang dengan panjang 421 meter dan lebar 314 meter, namun setelah dipatok dan diukur kembali, diperoleh data baru bahwa panjangnya berubah menjadi 421, 02 meter dan lebarnya menjadi 313,97 meter. Berapa

perubahan (kesalahan) yang terjadi pada luasnya? 2. Tentukan nilai taksiran (4,02)1,1 sampai 3 desimal. Jawab:

1. Luas = panjang x lebar. Misal Luas = L, panjang = x, dan lebar = y, maka L = xy Turunan parsial

x L

∂ ∂

= y = 314 meter dan

y L

∂ ∂

= x = 421 meter Perubahan panjang dx = 421,02 – 421 = 0,02 meter

Perubahan lebar dy = 313,97 – 314 = – 0,03 meter

X

Y

Z volume 108 cm3

dL = dx x L ∂ ∂

+ dy

y L ∂ ∂

= 314 . 0,02 + 421 . (– 0,03) = – 6,35 meter persegi

2. Dari soal ambillah, x = 4, dx = 0,02, y = 1, dan dy = 0,1 maka dapat dibuat fungsi z = xy turunan parsialnya

x z ∂ ∂

= yxy−1 = 1 . 40 = 1 dan y z ∂ ∂

= xy ln x = 41 ln 4 = 4 ln 4 sehingga dz = dx

x z ∂ ∂

+ dy

y z ∂ ∂

= yxy−1 dx + xy ln x dy = 1. 0,02 + 4 ln 4. 0,1 ≈ 0,575 Jadi (4,02)1,1 = 41 + dz = 4 + 0,575 = 4,575

Check : 4,021,1 = 4,620071092 Tugas:

1. Tentukan diferensial total dari

a. z = x3 y + 2xy c. z = ex2−y2

b. z = arctan x y

d. z = 2

1 ) y x (

x 2 + 2 − 2. Akan dibuat segitiga siku-siku seperti gambar dengan x = 6

meter dan y = 8 meter. Pada pengukuran x terdapat kesalahan 0,25 cm dan pada pengukuran y terdapat kesalahan – 0,125 cm. Berapa kesalahan pada z?

3. Dalam suatu pengukuran untuk menentukan luas segitiga ABC, diperoleh data sbb:

x = 152 m dengan kesalahan dx = 2 cm y = 210 m dengan kesalahan dy = 2 cm θ = 60o dengan kesalahan dθ = 0,5o. Jika luas L =

2

1 x y sin θ, tentukan besar kesalahan luas dL dengan menggunakan perhitungan diferensial total dL = dx

x L ∂

∂ _{+ dy}

y L ∂

∂ _{+ θ}

θ ∂ ∂L _d Catatan: besaran sudut harus diubah dalam bentuk radian

x y z

y x

A B

C

BAB IV INTEGRAL LIPAT

3.9 INTEGRAL LIPAT DUA

Terdapat suatu daerah tertutup S yang dibatasi oleh kurva K1 dan K2 seperti pada gambar. Daerah S tersebut dapat dibagi dalam n bagian garis sejajar sumbu X dan n bagian garis sejajar sumbu Y sehingga terdapat banyak segiempat kecil dengan panjang sisi ∆xi dan ∆yi dimana

∆xi = xi – xi-1 dan ∆yj = yj – yj-1

Jika terdapat fungsi z = f(x, y) yang kontinu di semua titik di dalam daerah tertutup S maka untuk per sub bagian segiempat diperoleh perkalian f(xi, yj) ∆xi ∆yj di titik (xi, yj) pada segiempat tersebut.

m n

Untuk seluruh daerah S diperoleh hasil penjumlahan sebagai berikut: Σ Σ f(xi, yj) ∆xi ∆yj j=1 i=1

m n

Untuk n →∞ dan m →∞ diperoleh lim Σ Σ f(xi, yj) ∆xi ∆yj = ∫∫ f(x,y) dx dy

n→∞ j=1 i=1 S

m→∞

disebut "integral lipat dua dari fungsi f(x, y) pada daerah tertutup S"

Cara menghitung integral lipat dua

a. Untuk ∫∫ f(x,y) dx dy = ∫ [ ∫ f(x,y) dx] dy artinya diintegralkan dulu terhadap x lalu terhadap y

S Sy Sx

b. Untuk ∫∫ f(x,y) dy dx = ∫ [ ∫ f(x,y) dy] dx artinya diintegralkan dulu terhadap y lalu terhadap x S Sx Sy

Cara menentukan batas integral

a. Untuk kurva seperti gambar berikut

Batas integral untuk sumbu X

sebelah kiri x1 = f1 (y) dan sebelah kanan x2 = f2 (y) Batas integral untuk sumbu Y

sebelah bawah y1 = c dan sebelah atas y2 = d d f2(y) Bentuk integralnya ∫∫ f(x,y) dx dy = ∫ ∫ f(x,y) dx dy

S c f1(y)

b. Untuk kurva seperti gambar berikut

Batas integral untuk sumbu X

sebelah kiri x1 = a dan sebelah kanan x2 = b Batas integral untuk sumbu Y

sebelah atas y2 = f2 (x) dan sebelah bawah y1 = f1 (x) b f2(x)

Bentuk integralnya ∫∫ f(x,y) dy dx = ∫ ∫ f(x,y) dy dx

S a f1(x)

Contoh

2 y2 2 y2 2 y2 2

1. Hitung ∫ ∫ (2x + 3y) dx dy Jawab: ∫ ∫ (2x + 3y) dx dy = ∫ [ x2 + 3yx ] dy = ∫ (y4 + 3y3 – y2 – 3y2) dy

1 y 1 y 1 y 1

= 3 2

3 4 4 4 3 5 5

1_{y y y}

  

 _{+ − =}

5 487 3 4 4 3 5 1 3 32 5

32 _{12 ) ( )}

( + − − + − =

Tujuan Instruksional Khusus:

Mahasiswa memahami pengertian tentang integral lipat, mampu menyelesaikan integral lipat dua dan tiga, mampu menghitung luas daerah tertutup dan volume benda dengan metode integral lipat, serta mampu menyelesaikan persoalan berkaitan dengan materi tersebut

Y

c d

S

X segi empat K1

K2

Y

c d

S

X x2 = f2 (y)

x1 = f1 (y)

Y

a b

S

X y2 = f2 (x)

2. Hitung ∫∫ x dx dy pada daerah yang dibatasi parabola x = 6y – y2 dan x = y2 – 2y Jawab:

Titik potong kedua parabola adalah

6y – y2 = y2 – 2y → 2y2 – 8y = 0 → 2y(y – 4) = 0 untuk y = 0 maka x = 0 dan untuk y = 4 maka x = 8 Jadi titik potongnya di (0, 0) dan (8, 4)

Batas integral untuk X,

seb. kiri x = y2 – 2y dan seb. kanan x = 6y – y2 Batas integral untuk Y,

seb. bawah y = 0 dan seb. atas y = 4 Jadi ∫∫ x dx dy =4∫

0

∫

− −

2 2

y y 6

y 2 y

x dx dy = ∫ −

− 4

0

y y 6

y 2 y 2 2

1 2

2 ]

x dy = 4∫

0 2

1 _{6 – yy} 2

)2 – (y2 – 2y)2 dy

= 4∫

0 2 2

1 _{32y – 8y}3 )dy =

2 1 _[

3 32_y3

– 2y4] 4 0

= 3 256

3. Hitung ∫∫ (x + y) dy dx pada daerah yang dibatasi parabola y = 6x – x2 dan garis lurus y = x Jawab:

Titik potong parabola dan garis tersebut:

6x – x2 = x → x2 – 5x = 0 → x(x – 5) = 0 → x = 0 dan x = 5 Jadi titik potongnya di (0, 0) dan (5, 5) . Lihat gambar. Batas integral untuk X : kiri x = 0 dan kanan x = 5 Batas integral untuk Y : atas y = 6x – x2 dan bawah y = x

∫∫ +

S

dx dy ) y x

( = ∫ −∫ +

2 x x 6

x 5 0

dx dy ) y x

( = 5∫ + −

0

x x 6

x 2 2

1_{y ] dx}

xy [

2

= 5∫ − + − + − +

0

2 2 1 2 4 3 2 2 1 3

2 _{x (36x 12x x ) (x x )}dx}

x 6 {

= 5∫ − + =

0 4

625 2

2 45 3 4 2

1_{x 7x x )dx}

(

Tugas

1. Hitung ∫∫

S

x_dxdy

ye pada daerah yang dibatasi sumbu x, sumbu y, x = 1 dan garis y = x 2. Hitung ∫∫

S

2_dydx

xy pada daerah yang dibatasi parabola y = x2, garis lurus y = x, x = 1 dan x = 2

3. Hitung a. ∫

+

∫ 2x

x 2

3 1

dx dy ) y x (

1

e. π∫ ∫

y sin

0 0

dy dx

b. π∫ ∫ π

3

2 y

0 y

x _dxdy

cos f. ∫ ∫ +

−_x2 1

0

2 2 1

0

dx dy ) y x (

c. ∫ ∫ − −

−_x2 1

0

2 2 1

0

dx dy y x

1 g. ∫ 1∫

y 2 1

0

dy dx x sin

d. π∫ − ∫ θ θ

cos 1

0 0

d dr

r h. ∫ ∫

π ₂

2 x

0 x

y 1

dx dy sin

x = 6y – y2

x = y2 – 2y

-1 3 5 8 9

1 2 3 4 5

y = 6x – x2

0 3 5 6 9

5

y = x

3.10 LUAS DAERAH TERTUTUP

Terdapat suatu daerah tertutup S yang dibatasi oleh kurva K1 dan K2 seperti pada gambar. Daerah S tersebut dapat dibagi dalam n bagian garis sejajar sumbu X dan n bagian garis sejajar sumbu Y sehingga terdapat banyak segiempat kecil dengan panjang sisi ∆xi dan ∆yi dimana

∆xi = xi – xi-1 dan ∆yj = yj – yj-1 Luas segiempat kecil tersebut = ∆xi ∆yj

Luas pendekatan seluruh daerah S didapat dari hasil penjumlahan: ∑ ∑ ∆ ∆

= =

n 1

i i j

m 1 j

y x

Untuk n →∞ dan m →∞ diperoleh ∑ ∑ ∆ ∆ = = ∞ →

∞ →

n 1

i i j

m 1 j

nlim x y

m

= ∫∫

S

dy dx

Ternyata luas suatu daerah tertutup adalah harga integral lipat dua dimana f(x, y) = 1 Jadi luas daerah tertutup S adalah L = ∫∫

S

dy dx

Contoh:

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = 2 – x2 dan garis y = x Jawab:

Titik potong parabola dan garis tersebut:

2 – x2 = x → x2 + x – 2 = 0 → (x + 2)(x – 1) = 0 → x = 1 dan x = – 2 Jadi titik potongnya di (1, 1) dan (– 2, – 2) . Lihat gambar.

Batas integral untuk X : kiri x = – 2 dan kanan x = 1 Batas integral untuk Y : atas y = 2 – x2 dan bawah y = x

∫∫

S

dx

dy = ∫ −∫

− 2 x 2

x 1

2

dx dy = ∫

−

− 1

2

x 2

x dx ]

y [

2

= ∫ − −

− 1

2

2 _x)dx

x 2

( =

6

27 _{satuan luas}

Tugas

Hitung luas daerah yang dibatasi kurva-kurva di bawah ini menggunakan integral lipat dua

1. y = 4x – x2 dan y = x 3. y2 = 4x dan x = 12 + 2y – y2 5. y2 = 9 + x dan y2 = 9 – 3x 2. y2 = 4x dan 2x – y = 4 4. y2 = 2x dan x2 + y2 = 4x

3.11 INTEGRAL LIPAT DUA DALAM KOORDINAT KUTUB

Misal S daerah tertutup pada bidang datar yang dibatasi kurva K. Daerah subbagian ∆Sk dibatasi lingkaran dengan jari-jari ri dan ri + ∆ ri dan dua garis θj dan θj + ∆θj.

Luas ∆Sk = luas DOC – luas AOB = _i2 _j 2 1 j 2 i i 2

1_{(r +∆r) ∆θ − r ∆θ}

= _i2 _j

2 1 j i

i r r

r∆ ∆θ + ∆ ∆θ

Jika terdapat fungsi F(r, θ) dalam S maka terbentuk: F(r, θ) [ ri ∆ri ∆θj +

2 1 _∆ri2_∆θ

j ]

Untuk n →∞ dan m →∞ diperoleh F(ri, θj) [ ri ∆ri ∆θj + 2 1_∆ri2_∆θ

j ] = ∫∫ F(r, θ) r dr dθ

Bentuk ∫∫ F(r, θ) r dr dθ disebut "integral lipat dua fungsi F(r, θ) pada daerah S" Jika F(r, θ) = 1 maka luas daerah tertutup S adalah L = ∫∫ r dr dθ

Y

c d

S

X segi empat K1

K2

y = 2 – x2

(1,1)

(-2, -2) y = x

(0, 0) (0,2)

(-1,1)

kurva K ∆Sk

∆ri ∆θj

O

ri + ∆ri

ri θj + ∆θj

θj

A B

C D

m

Σ

Σ

n

lim n→∞

m→∞ S

S

Contoh :

1. ∫ ∫ θ θ

θ π cos

0 0

d dr sin

r = π∫ θ θ

θ 0

cos 0 2

2

1_{[r sin ] d =} π_{∫ θ θ θ} 0

2 2

1 _{cos sin d =}

3 1 0 3 6

1 _{cos =}

  

 _θ

− π

2. π∫ ∫ θ θ

cos 4

2 3 2

0

d dr

r = π∫ θ θ

2 0

cos 4

2 4 4

1 _{[r ] d =} π_∫2 _{θ− θ}

0

4 _{4) d} cos

64

(

karena cos (cos2 1) 2

1

2_{θ= θ+ dan} 2 4

1

4 _{(cos2 1)}

cos θ= θ+ = (cos22 2cos2 1) 4

1 _{θ+ θ+ = ( (cos 4 1) 2cos 2 1)}

2 1 4

1 _{θ+ + θ+}

maka = π∫ θ+ + θ θ

2 0

d ) 2 cos 32 20 4 cos 8

( = 10 π

3. Hitung luas daerah yang berada di luar lingkaran r = 2 dan di dalam kardioda r = 2(1 + cos θ) Jawab:

Titik potong kurva: 2(1 + cos θ) = 2 → cos θ = 0 → θ = 2 π ± Luasan yang dicari, PQSRP, simetris terhadap sumbu X Jadi luas daerah PQSRP:

L = π∫ +∫ θ θ

) cos 1 ( 2

2 2 0

d dr r

2 = π∫ + θ θ

2 0

) cos 1 ( 2 2

2_{] d}

r

[

L = π∫ θ+ θ θ

2 0

2 _{) d} cos cos 2 (

4 = 4

[

2sinθ+ θ+ sin2θ

]

π =8+π 2 0 4

1 2

1 _{satuan luas}

Tugas:

Hitung luas dengan integral lipat dua untuk soal berikut:

1. Luas daerah di dalam lingkaran x = 3 cos θ dan di luar lingkaran r = cos θ

2. Luas daerah di dalam kardioda r = 1 + cos θ dan di luar parabola r (1 + cos θ) = 1 3. Luas daerah yang dibatasi oleh lemniskat r2 = a2 cos 2θ

3.12 INTEGRAL LIPAT DUA PADA RUANG 3D a. Volume Benda

Andaikan fungsi f(x, y) kontinu dan berharga tunggal untuk x dan y dalam S maka S = f(x, y) menyatakan suatu luasan. Luasan ini dipotong oleh silinder sejajar Z dengan alas S dan atas S'. Ditarik garis-garis sejajar sumbu-Y dengan jarak ∆x dan juga ditarik garis-garis sejajar sumbu-X dengan jarak ∆y. Melalui garis-garis tersebut dibuat bidang-bidang datar yang masing-masing sejajar bidang YOZ dan XOZ. Terjadilah prisma-prisma tegak kecil, misalnya ABCD.PQRT yang mempunyai volume = f(x,y) ∆x ∆y

Jumlah seluruh volume prisma kecil tersebut = ∑∑ f(x,y) ∆x ∆y yang merupakan pendekatan volume silinder. Jika diambil ∆x→ 0 dan ∆y→ 0 maka

didapat:

0

y 0

x lim

→ ∆ →

∆ ∑∑ f(x,y) ∆x ∆y = ∫∫ f(x,y) dx dy Jadi volume benda berbentuk silinder : V = ∫∫

S

f(x,y) dx dy Contoh:

Hitung volume benda yang dibatasi silinder x2 + y2 = 4, bidang y + z = 4 dan bidang z = 0

Jawab: Volume yang akan dihitung terletak di bawah permukaan z = 4 – y dan di atas bidang XOY sedangkan di kiri kanan dibatasi silinder x2 + y2 = 4

V = ∫ ∫

− − − −

2 2 y 4

y 4 2

2

dy dx

z = ∫ ∫ −

− − − −

2 2 y 4

y 4 2

2

dy dx ) y 4

( = ∫ ∫ −

− −

2 y 4

0 2

2

dy dx ) y 4 ( 2

V = 2 (4 y)x dy 2 y 4

0 2

2

− −∫ −

= 22 (4 y) 4 y2dy

2

− −

∫

−

O R Q

X Y

P

S

Y

S A B

S'

C D P _Q

R T

X Z

Y

X Z

Misal: y = 2 sin A, maka = 4−y2 = 4−4sin2A = 2 cos A dan dy = 2 cos A dA Batas y = – 2 menjadi A = –

2 π

dan y = 2 menjadi A = 2 π

. Sehingga volume menjadi

V = 2 2 (4 2sinA)2cosA2cosAdA

2 − ∫ π π −

= 8 2 (4 2sinA)cos2A dA

2 − ∫ π π − V = 32 2 cos2AdA

2

∫ π π −

– 16 2 sinAcos2AdA

2

∫ π π −

= 16 2 (cos2A 1)dA

2 + ∫ π π −

+ 16 2 cos2AdcosA

2

∫ π π −

V = 2

2 A A 2 sin 16 2 1 π π −

+ + 2

2 3 cos 3 16 π π − = 16(0+ 2 π – 0 +

2

π ) +

3 16

(0 – 0) = 16π

Tugas

1. Hitung volume benda di depan bidang YOZ dan dibatasi oleh y2 + z2 = 4 dan y2 + z2 + 2x = 16 2. Hitung volume benda di bawah 4z = 16 – 4x2 – y2 di atas z = 0 dan di dalam silinder x2 + y2 = 2x 3. Hitung volume benda di kuadran satu terletak di dalam y2 + z2 = 9 dan di luar y2 = 3x

3.13 INTEGRAL LIPAT TIGA

Integral lipat 3 ∫∫∫

R dV ) z , y , x (

f dari suatu fungsi 3 variabel bebas terhadap daerah tertutup R,

bervolume V, dimana fungsi bernilai tunggal dan kontinu, merupakan pengembangan dari integral tunggal dan lipat dua.

Jika f(x, y, z) = 1, maka integral menjadi ∫∫∫

R

dVadalah volume daerah R Dalam sistem koordinat kartesian, integral lipat tiga menjadi:

∫∫∫ R dV ) z , y , x (

f = f(x,y,z)dzdydx

) y , x ( z ) y , x ( z ) x ( y ) x ( y b a 2 1 2 1 ∫ ∫ ∫ Contoh :

1. Hitunglah (16 x )2 xzdxdzdy 1

2

2 16 z ₂

0 4 0 0 − ∫ ∫ ∫ − π

Jawab: (16 x )2xzdxdzdy 1

2

2 16 z ₂

0 4 0 0 − ∫ ∫ ∫ − π

= (16 x2) d(16 x2)zdzdy z 16 0 4 0 0 2 1 2 1 2 2 − − ∫ ∫ ∫ − − π

= (16 x ) zdzdy

2 2

3

2 16 z

0 2 3 2 4 0 0 2

1 _{∫ ∫ −} −

−

π

= {(z ) (4 )2}zdzdy 3 2

3

2 4 _{2 2}

0 0 3

1 _{∫ ∫ −}

−

π

= (z3 43)zdzdy 4

0 0 3

12_{∫ ∫ −} −

π

= (z4 43z)dzdy 4

0 0 3

12_{∫ ∫ −} −

π

= ( z z ) dy

4 0 0 2 2 4 5 5 1 3

1 2_{∫ −} 3

−

π

= 2( 5 5)dy

0 2

4 5 4 3

1 _{∫ −}

−

π

= 5 2( )dy

0 2

1 5 1 3

4 _{∫ −}

−

π

= 5 2 dy 0 10 4 _∫

π

= 5

[ ]

2 0 10 4 _y π = 2 104 5 _π

= π 5 256

Tugas

1. Hitunglah ∫∫∫

R

dV ) x (

f dengan f(x) = x2 + y2 + z2 dan R adalah daerah yang dibatasi oleh x + y + z = 10, x = 0, y = 0, dan z = 0

2. Hitunglah volume dari R yang dibatasi oleh silinder z = 4 – x2 dan bidang-bidang x = 0, y = 0, y = 6, dan z = 0

3. Hitung integral lipat tiga dari f(x, y, z) = z terhadap daerah R yang terletak di kuadran pertama dan dibatasi oleh bidang-bidang x + y = 2 dan 2y + x = 6, dan silinder y2 + z2 = 4