FUNGSI INVERSI TRIGONOMETRI Turunan Fungsi y = arc sin x Turunan Fungsi y = arc cos x Turunan Fungsi y = arc tan x

Tugas: Tentukan turunan dari 1. y = x sin 2 1 x + 4. y = x 3 7. y = 4 x 3 5 − 10. y = x e e x + 2. y = 2 x e x − 5. y = 1 x 2 3 x + − 8. y = x ln x 3. y = 4 x 2 1 x 2 + − 6. y = 3 x 2 2 x ln + 9. y = 1 x 10 2 2 10 1 x + + + Contoh soal esai: 1. Dalam suatu kondisi tertentu, laju pertumbuhan bakteri dinyatakan sebanding dengan jumlah bakteri yang ada. Jika ada 1000 bakteri saat ini, lalu 12 menit kemudian bertumbuh menjadi 2000 bakteri. Berapa lamakah bakteri tersebut menjadi 1.000.000? Jawab: Misal A = jumlah bakteri saat t, t = waktu, k = konstanta, dan dt dA = laju pertumbuhan bakteri, maka laju pertumbuhan bakteri dinyatakan sebagai dt dA = k.A atau A dA = k dt. Kedua ruas diintegralkan menjadi: ∫ = ∫ dt k A dA menghasilkan ln A = kt + C 1 atau A = 1 C kt e + = 1 C kt e e Jika 1 C e = C, didapat persamaan A = C kt e Untuk t = 0 dan A = 1000, maka 1000 = C.e , didapat C = 1000 Untuk t = 12, A = 2000, dan C = 1000, maka 2000 = 1000.e 12 k sehingga e 12 k = 2 → 12k = ln 2 → k = 12 2 ln = 0,05776 Jadi untuk A = 1.000.000, C = 1.000, dan k = 0,05776, 1.000.000 = 1.000 t 05776 , e → t 05776 , e = 1000 → 0,05776 t = ln 1000 t = 05776 , 1000 ln = 119, 6. Jadi waktu yang diperlukan = 119, 6 menit 2. Sebatang besi panjangnya L meter pada suhu t dengan persamaan L = 60 e 0,0001t . Hitung pertambahan panjang batang besi tersebut jika suhunya berubah dari 0 menjadi 25 . Jawab: L = 60 e 0,0001t turunannya adalah dt dL = 60 e 0,0001t . 0,0001 Jadi perubahan panjang terhadap suhu dL = 0,006 e 0,0001t dt Diketahui t 1 = 0 , t 2 = 25 , maka dt = 25 – 0 = 25 , maka dL = 0,006 e 0,0001x0 25 = 0,150 meter Tugas: Laju pertumbuhan penduduk di suatu kota dinyatakan sebanding dengan jumlahnya pada setiap saat. Jika jumlah penduduk bertambah dari 40.000 menjadi 60.000 dalam 40 tahun, kapankan jumlah penduduk mencapai 100.000?

1.4 FUNGSI INVERSI TRIGONOMETRI

Definisi untuk fungsi inversi trigonometri sebagai berikut: a. y = arc sin x jika dan hanya jika x = sin y untuk – π 2 ≤ y ≤ π 2 b. y = arc cos x jika dan hanya jika x = cos y untuk 0 ≤ y ≤ π c. y = arc tan x jika dan hanya jika x = tan y untuk – π 2 y π 2 d. y = arc cot x jika dan hanya jika x = cot y untuk 0 y π e. y = arc sec x jika dan hanya jika x = sec y untuk – π ≤ y ≤ – π 2, 0 ≤ y π 2 f. y = arc csc x jika dan hanya jika x = csc y untuk – π ≤ y ≤ – π 2, 0 y ≤ π 2 Catatan: arc cot x = 12 π – arc tan x untuk x = bilangan real arc sec x = arc cos 1 x untuk | x | ≥ 1 arc csc x = arc sin 1 x untuk | x | ≥ 1 Contoh soal: Buktikan arc cos x = 12 π – arc sin x untuk | x | ≤ 1 Jawab: misal w = 12 π – arc sin x maka arc sin x = 12 π – w sin arc sin x = sin 12 π – w → x = cos w → w = arc cos x terbukti

a. Turunan Fungsi y = arc sin x

Bentuk y = arc sin x diubah menjadi x = sin y, lalu kedua ruas diturunkan menjadi dx = cos y dy atau y cos 1 dx dy = Menurut rumus sin 2 y + cos 2 y = 1 atau cos 2 y = 1 – sin 2 y. x = sin y maka cos 2 y = 1 – sin 2 y = 1 – x 2 dan cos y = 2 x 1 − maka, y cos 1 dx dy = = 2 x 1 1 − Jadi: y = arc sin x turunannya adalah = dx dy 2 x 1 1 − Secara umum y = arc sin u turunannya adalah = dx dy dx du u 1 1 2 −

b. Turunan Fungsi y = arc cos x

Karena arc cos x = 12 π – arc sin x, maka bentuk y = arc cos x dapat diubah menjadi y = 12 π – arc sin x, lalu kedua ruas diturunkan menjadi = dx dy – 2 x 1 1 − Jadi: y = arc cos x turunannya adalah = dx dy – 2 x 1 1 − Secara umum y = arc cos u turunannya adalah = dx dy – dx du u 1 1 2 −

c. Turunan Fungsi y = arc tan x

Bentuk y = arc tan x diubah menjadi x = tan y, kedua ruas diturunkan menjadi dx = sec 2 y dy atau y sec 1 dx dy 2 = Menurut rumus sec 2 y = 1 + tan 2 y = 1 + x 2 , sehingga y sec 1 dx dy 2 = = 2 x 1 1 + Jadi: y = arc tan x turunannya adalah = dx dy 2 x 1 1 + Secara umum y = arc tan u turunannya adalah = dx dy dx du u 1 1 2 +

d. Turunan Fungsi y = arc cot x