a. Turunan Fungsi y = arc sin x
Bentuk y = arc sin x diubah menjadi x = sin y, lalu kedua ruas diturunkan menjadi dx = cos y dy atau
y cos
1 dx
dy =
Menurut rumus sin
2
y + cos
2
y = 1 atau cos
2
y = 1 – sin
2
y. x = sin y maka cos
2
y = 1 – sin
2
y = 1 – x
2
dan cos y = 2
x 1
−
maka, y
cos 1
dx dy
= =
2 x
1 1
− Jadi: y = arc sin x turunannya adalah
= dx
dy 2
x 1
1 −
Secara umum y = arc sin u turunannya adalah =
dx dy
dx du
u 1
1 2
−
b. Turunan Fungsi y = arc cos x
Karena arc cos x = 12 π
– arc sin x, maka bentuk y = arc cos x dapat diubah menjadi y = 12
π – arc sin x, lalu kedua ruas diturunkan menjadi
= dx
dy –
2 x
1 1
− Jadi: y = arc cos x turunannya adalah
= dx
dy –
2 x
1 1
− Secara umum y = arc cos u turunannya adalah
= dx
dy –
dx du
u 1
1 2
−
c. Turunan Fungsi y = arc tan x
Bentuk y = arc tan x diubah menjadi x = tan y, kedua ruas diturunkan menjadi dx = sec
2
y dy atau
y sec
1 dx
dy
2
=
Menurut rumus sec
2
y = 1 + tan
2
y = 1 + x
2
, sehingga
y sec
1 dx
dy
2
=
= 2
x 1
1 +
Jadi: y = arc tan x turunannya adalah =
dx dy
2 x
1 1
+ Secara umum y = arc tan u turunannya adalah
= dx
dy dx
du u
1 1
2 +
d. Turunan Fungsi y = arc cot x
Bentuk y = arc cot x diubah menjadi x = cot y, lalu kedua ruas diturunkan menjadi dx =
y sin
1
2
−
dy atau y
sin dx
dy
2
− =
Perhatikan segitiga di samping x = cot y atau cot y = 1
x maka sin y =
1 x
1
2
+ atau
1 x
1 y
sin
2 2
+ =
Jadi: y = arc cot x turunannya adalah =
dx dy
– 1
x 1
2
+ Secara umum y = arc cot u turunannya adalah
= dx
dy –
dx du
1 u
1
2
+
e. Turunan Fungsi y = arc sec x
Bentuk y = arc sec x diubah menjadi x = sec y = cos
-1
y, lalu kedua ruas diturunkan menjadi dx = – cos
-2
y – sin y dy atau y
sin y
cos dx
dy
2
= Perhatikan segitiga di samping sin y =
x 1
x
2
− y
x 1
1 x
2
+
y x
1
1 x
2
−
dan cos y = x
1 maka
y sin
y cos2
= 2
x 1
1 x
x 2
− =
1 x
x 1
2 −
Jadi: y = arc sec x turunannya adalah =
dx dy
1 x
x 1
2 −
Secara umum y = arc sec u turunannya adalah =
dx dy
1 u
u 1
2 −
dx du
f. Turunan Fungsi y = arc csc x
Bentuk y = arc csc x diubah menjadi x = csc y = sin
-1
y, lalu kedua ruas diturunkan menjadi dx = – sin
-2
y cos y dy atau y
cos y
sin dx
dy 2
− =
Perhatikan segitiga di samping sin y = x
1
dan cos y = x
1 x
2
− maka
y cos
y sin
2
=
2
x 1
1 x
x
2
− =
1 x
x 1
2
− Jadi: y = arc csc x turunannya adalah
= dx
dy –
1 x
x 1
2
− Secara umum y = arc csc u turunannya adalah
= dx
dy –
1 u
u 1
2
− dx
du Contoh soal: Tentukan turunan dari
1. y = arc cot
−
+ x
1 x
1 2. y =
a x
sin arc
a x
a x
2 2
2
+ −
Jawab: 1. Menurut rumus jika y = arc cot u maka
= dx
dy –
dx du
1 u
1
2
+ Misal u =
x 1
x 1
− +
maka dx
du =
2
x x
2 1
2 +
− dan
1 u
1
2
+ =
1 x
1 x
1 1
2
+
−
+ =
x 1
2 x
x 2
1
2 2
+ +
−
= dx
dy –
x 1
2 x
x 2
1
2 2
+ +
−
2
x x
2 1
2 +
−
=
2
x 1
1 +
−
2. =
dx dy
2 2
x a
−
+ x
x 2
x a
2 1
2 1
2 2
− −
− +
a 1
a x
1 1
a
2 2
−
= 2
2
x a
−
–
2 2
2
x a
x −
+
2 2
2
x a
a −
=
2 2
2 2
x a
x a
2 −
−
= 2
2
x a
2 −
Tugas : Tentukan turunan dari 1. y
2
sin x + y = arc tan x 5. y = ln ln sec 2x
9. y = arc sin e
x
2. y =
2 2
x a
x −
– arc sin a
x 6. y =
2 2
x 4
x −
+
2 x
sec arc
2 1
10. y = arc sin x
3. y = x
2
arccos
x 2
7. y = x
sin x
11. ln x+y = arc tan
y x
4. y = arc tan
x 3
8. y = arc sin x-1 y
x 1
1 x
2
−
1.5 FUNGSI HIPERBOLIK
Kategori