∆ =
2 2
x f
∂ ∂
2 2
y f
∂ ∂
– 2
2
y x
f
∂
∂ ∂
= 2 . 2 – 0 = 4 0 Titik stasioner didapat dari
x z
∂ ∂
= 0 dan
y z
∂ ∂
= 0, diperoleh 2x = 0 atau x = 0 dan 2y = 0 atau y = 0, sedangkan z = x
2
+ y
2
= 0 + 0 = 0. Jadi titik stasioner 0, 0, 0. Tentukan jenis titik stasioner ini, maksimum atau minimum. Di titik 0, 0, 0 diperoleh
∆ = 4 0,
2 2
x z
∂ ∂
= 2 0 maka sesuai ketentuan di atas, disimpulkan titik tersebut minimum.
Tugas : 1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya jika ada untuk fungsi-fungsi berikut:
a. z = x
3
+ x
2
y – 2y
3
+ 3y
2
d. z = 2x
2
– y
2
+ 20x – 11y b. z = x
3
+ y
3
+ x
2
– 5y
2
– x + 3y e. z = 4xy
2
– 2x
2
y – x c. z = x
2
+ y
2
+ 3xy 2. Akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup atas dengan volume 108 cm
3
. Berapa ukuran kotak tersebut agar luas permukaannya minimum?
3.7 TURUNAN PARSIAL FUNGSI PARAMETER
Jika diketahui suatu fungsi z = f x, y dimana x = ft dan y = ft maka turunan parsial z terhadap parameter t adalah:
t z
∂ ∂
= x
z ∂
∂ .
t x
∂ ∂
+
y z
∂ ∂
. t
y ∂
∂ Tugas :
1. Tentukan t
z ∂
∂ jika
a. z = x
2
+ 3xy + 5y
2
, x = sin t, dan y = cos t b. z = ln x
2
+ y
2
, x = e
-t
, dan y = e
t
2. Jika pada suatu kerucut berlaku bahwa tingginya berkurang dengan kecepatan 0,2 cmdetik, jari-jari bertambah dengan kecepatan 0,3 cmdetik. Hitung kecepatan berubahnya volume kerucut pada saat
tingginya 15 cm dan jari-jari 10 cm. Petunjuk : Volume kerucut v =
y x
2 3
1
π
, dimana x = jari-jari lingkaran alas kerucut dan y = tinggi kerucut.
Kecepatan berubahnya volume =
t V
∂ ∂
= x
V ∂
∂ .
t x
∂ ∂
+
y V
∂ ∂
. t
y ∂
∂
3.8 DIFERENSIAL TOTAL
Jika z = f x, y maka diferensial total dari fungsi tersebut adalah dz =
dx x
z ∂
∂
+
dy y
z ∂
∂
Artinya, jika pada x terjadi perubahan sebesar dx dan pada y terjadi perubahan sebesar dy maka pada z akan terjadi perubahan sebesar dz sebesar persamaan di atas.
Contoh:
1. Di lapangan akan dibuat empat persegi panjang dengan panjang 421 meter dan lebar 314 meter, namun setelah dipatok dan diukur kembali, diperoleh data baru bahwa panjangnya berubah menjadi
421, 02 meter dan lebarnya menjadi 313,97 meter. Berapa perubahan kesalahan yang terjadi pada luasnya?
2. Tentukan nilai taksiran
1 ,
1
02 ,
4 sampai 3 desimal.
Jawab: 1. Luas = panjang x lebar. Misal Luas = L, panjang = x, dan lebar = y, maka L = xy
Turunan parsial
x L
∂ ∂
= y = 314 meter dan
y L
∂ ∂
= x = 421 meter Perubahan panjang dx = 421,02 – 421 = 0,02 meter
Perubahan lebar dy = 313,97 – 314 = – 0,03 meter X
Y
Z volume 108 cm
3
dL = dx
x L
∂ ∂
+ dy
y L
∂ ∂
= 314 . 0,02 + 421 . – 0,03 = – 6,35 meter persegi 2. Dari soal ambillah, x = 4, dx = 0,02, y = 1, dan dy = 0,1 maka dapat dibuat fungsi z = x
y
turunan parsialnya x
z ∂
∂ =
1 y
x y
−
= 1 . 4 = 1 dan
y z
∂ ∂
= x
y
ln x = 4
1
ln 4 = 4 ln 4 sehingga dz = dx
x z
∂ ∂
+ dy
y z
∂ ∂
=
1 y
x y
−
dx + x
y
ln x dy = 1. 0,02 + 4 ln 4. 0,1 ≈
0,575 Jadi
1 ,
1
02 ,
4 = 4
1
+ dz = 4 + 0,575 = 4,575 Check : 4,02
1,1
= 4,620071092 Tugas:
1. Tentukan diferensial total dari a. z = x
3
y + 2xy c. z =
2 2
y x
e
− b. z = arctan
x y
d. z =
2 1
y x
x
2 2
−
+ 2. Akan dibuat segitiga siku-siku seperti gambar dengan x = 6
meter dan y = 8 meter. Pada pengukuran x terdapat kesalahan 0,25 cm dan pada pengukuran y terdapat kesalahan – 0,125 cm.
Berapa kesalahan pada z?
3. Dalam suatu pengukuran untuk menentukan luas segitiga ABC, diperoleh data sbb:
x = 152 m dengan kesalahan dx = 2 cm y = 210 m dengan kesalahan dy = 2 cm
θ = 60
o
dengan kesalahan d θ
= 0,5
o
. Jika luas L =
2 1 x y sin
θ , tentukan besar kesalahan luas dL
dengan menggunakan perhitungan diferensial total dL = dx
x L
∂ ∂
+ dy
y L
∂ ∂
+ θ
θ ∂
∂ d
L Catatan: besaran sudut harus diubah dalam bentuk radian
x y
z
y x
A B
C
θ
BAB IV INTEGRAL LIPAT
