banyaknya pasangan, sebab pasangan r, θ
+ 2 n π
dengan n = 0, 1, 2, …… ∞
menyatakan posisi titik yang sama. Demikian pula titik pusat O dapat dinyatakan dengan 0,
θ untuk
θ sebarang.
Jika persamaan dalam sistem kartesian y = fx akan diubah dalam sistem koordinat kutub, substitusikan x = r cos
θ dan y = r sin
θ pada persamaan tersebut. Sebaliknya, jika dari sistem kutub y = fx akan
diubah dalam sistem koordinat kartesian, substitusikan r = 2
2
y x
+
dan tan θ
= x
y pada persamaan
kutub tersebut Contoh :
1. Nyatakan persamaan x
2
+ y
2
– 4x = 0 dalam sistem koordinat kutub Jawab:
Substitusikan x = r cos θ
dan y = r sin θ
dalam persamaan di atas, lalu didapatkan r cos
θ
2
+ r sin θ
2
– 4r cos θ
= 0 r
2
cos
2
θ + sin
2
θ – 4 r cos
θ = 0
r
2
– 4 r cos θ
= 0 atau r r – 4 cos θ
= 0 Berlaku untuk r = 0 atau r – 4 cos
θ = 0
Persamaan r = 0 menyatakan titik 0 titik dipol, sehingga tidak memenuhi persamaan tersebut, sedangkan persamaan r – 4 cos
θ = 0 atau r = 4 cos
θ , jika r = 0 maka
θ =
2 π
, 2
3 π
dan seterusnya. Artinya persamaan r = 4 cos θ
melalui titik 0. Dengan demikian persamaan yang dicari adalah persamaan r = 4 cos
θ ,tersebut
2. Nyatakan persamaan r
2
= θ
dalam sistem koordinat kartesian Jawab :
Substitusikan r = 2
2
y x
+
dan tan θ
= x
y pada persamaan kutub tersebut, didapat
2 2
2
y x
+
= arc tan x
y sehingga x
2
+ y
2
= arc tan x
y adalah persamaan yang dicari.
Tugas: A. Nyatakan persamaan berikut dalam
B. Nyatakan persamaan berikut dalam sistem koordinat kutub
sistem koordinat kartesian 1. x
2
– y
2
– 16 = 0 1. r
2
cos 2 θ
= 10 2. x
3
= 4y
2
2. r
2
= 2 sin 2 θ
3. 1
x x
2 y
2 +
= 3. r =
θ −
sin 3
2 6
4. x
2
+ y
2
= a
2
untuk a 0 4. r = 2 sin 3
θ 5. x
3
+ y
3
– 3axy = 0 untuk a bilangan real 5. r
2
= cos θ
6. y
2
= 4 x + 1 6. r
2
= 4 cos 2 θ
7. x
2
+ y
2 2
= 4 x
2
– y
2
7. r = θ
− cos
2 3
4 8. 2xy = a
2
untuk a ≠
2.4 MELUKIS SKETSA GRAFIK FUNGSI DALAM PARAMETER
Untuk melukiskan fungsi parameter x = ft, y = gt, masukkan nilai variabel bebas t ke dalam persamaan untuk mendapatkan nilai masing-masing variabel tidak bebas x dan y. Plotkan nilai x dan y tersebut ke
dalam sistem koordinat XY, lalu hubungkan titik-titik hasil ploting tersebut. Hasilnya grafik yang dicari. Contoh:
Gambarkan grafik fungsi x = 2t, y = 3 t
2
+ 1 untuk – ∞
t ∞
Jawab: Tabel hitungan parameter sebagai berikut
2.5 MELUKIS SKETSA GRAFIK FUNGSI DALAM KOORDINAT KUTUB
t x
y x, y
1 0, 1
1 2
4 2, 4
2 4
13 4, 13
– 1 – 2
4 – 2, 4
– 2 – 4
13 – 4, 13
4 – 4
0, 1 2, 4
4, 13 –4, 13
–2, 4 grafik yang dicari
a. Melukiskan kedudukan titik
Untuk melukiskan kedudukan suatu titik dalam koordinat kutub, misalkan titik P 2,
3 π
, lakukan langkah berikut:
o Buat lingkaran dengan jari-jari 2 satuan. Pusat
lingkaran merupakan titik nol o
Ukurkan sudut sebesar
3 π
= 60 dari arah sumbu X
positip berlawanan arah jarum jam. Jika sudutnya negatip, arahnya searah jarum jam.
o Tarik garis bersudut 60
tersebut memotong lingkaran di titik P. P adalah titik yang dimaksud.
b. Melukis grafik fungsi
Untuk melukisseperti sin θ
, cos θ
, dan lain-lain, sebaiknya disiapkan gambar seperti di samping.
Perhatikan : Harga jarak r harus bernilai positip atau nol r
≥ 0.
Nilai r bertanda negatip tidak digambarkan. Langkahnya adalah:
o Buatlah tabel hitungan dengan menghitung variabel r berdasarkan variabel
θ gunakan beberapa
sudut istimewa, 0
o
, 30
o
, 45
o
, 60
o
, 90
o
, 120
o
, ………360
o
. o
Buatlah beberapa lingkaran dengan pusat sama berdasarkan jari-jari r hasil hitungan. o
Tarik garis sesuai dengan sudut-sudut istimewa, seperti gambar di atas. o
Posisi titik yang sesuai dengan besar nilai koordinat r, θ
diberi tanda. o
Hubungkan titik-titik hasil plot tadi, diperoleh grafik yang dicari. Contoh :
1. Gambarkan grafik fungsi r = 1 – 2 cos θ
Jawab: Tabel hitungan koordinat polar
Catatan : sudut 0
o
, 30
o
, 330
o
, dan 360
o
tidak diplotkan karena r bernilai negatip
2. Gambarkan grafik fungsi r = θ
untuk θ
≥ Jawab:
Tabel hitungan koordinat polar
Tugas : Gambarkan grafik fungsi θ
r θ
r
o
– 1 210
o
1 +
3
30
o
1 –
3
240
o
2 60
o
270
o
1 90
o
1 300
o
120
o
2 330
o
1 –
3
150
o
1 +
3
360
o
– 1 180
o
3
θ r
θ r
o
210
o
7 π
6 = 3,67 30
o
π 6 = 0,52
240
o
4 π
3 = 4,19 60
o
π 3 = 1,05
270
o
3 π
2 = 4,71 90
o
π 2 = 1,57
300
o
5 π
3 = 5,24 120
o
2 π
3 = 2,09 330
o
11 π
6 = 5,76 150
o
5 π
6 = 2,62 360
o
2 π
= 6,28 180
o
π = 3,14
P 2, 3
π
X Y
O 60
o
2 90
o
180
o
270
o
30
o
45
o
60
o
o
60
o
90
o
120
o
180
o
270
o
240
o
300
o
30
o
330
o
210
o
150
o
Grafik yang dicari
1 2
1+ 3
3
o
30
o
60
o
90
o
120
o
150
o
180
o
210
o
240
o
270
o
300
o
330
o
Spiral Archimedes
1. r = a1 – sin θ
untuk a 0 8. r = 3 cos 2
θ 2. r = 3 + 2 sin
θ 9. r = 3 + 3 cos
θ 3. r = 4 cos 2
θ 10. r = 2 + 2 sin
θ 4. r cos
θ = 4
11. r = 4 – 4 cos θ
5. r = 2 sin θ
12. r
2
= 4 cos 2 θ
6. r = 2 sin 3 θ
13. r
2
= 9 sin 2 θ
7. r θ
= 1 14. r = 3 – 2 sin
θ
2.6 PERPOTONGAN GRAFIK FUNGSI
