1. r = a1 – sin θ
untuk a 0 8. r = 3 cos 2
θ 2. r = 3 + 2 sin
θ 9. r = 3 + 3 cos
θ 3. r = 4 cos 2
θ 10. r = 2 + 2 sin
θ 4. r cos
θ = 4
11. r = 4 – 4 cos θ
5. r = 2 sin θ
12. r
2
= 4 cos 2 θ
6. r = 2 sin 3 θ
13. r
2
= 9 sin 2 θ
7. r θ
= 1 14. r = 3 – 2 sin
θ
2.6 PERPOTONGAN GRAFIK FUNGSI
Jika terdapat dua fungsi f = f θ
dan r = g θ
yang saling berpotongan, untuk mendapatkan titik perpotongannya dapat dilakukan dengan membuat persamaan: f
θ = g
θ , lalu tentukan harga
θ dan r.
Untuk mendapatkan harga θ
, perlu diperhatikan rumus-rumus persamaan geometris berikut, dimana k = bilangan bulat
1. Jika sin x
o
= sin p
o
maka x
1
= p
o
+ k.360
o
dan x
2
= 180
o
– p
o
+ k.360
o
2. Jika cos x
o
= cos p
o
maka x = ±
p
o
+ k.360
o
3. Jika tan x
o
= tan p
o
maka x = p
o
+ k.180
o
4. Jika cot x
o
= cot p
o
maka x = p
o
+ k.180
o
Contoh soal: 1. Jika sin 2x =
2 2
1 , tentukan harga x untuk 0
o
≤ x
≤ 360
o
Jawab: Karena sin 2x = sin 45
o
maka a. 2x = 45
o
+ k.360
o
atau x = 22,5
o
+ k.180
o
sehingga untuk k = 0 didapat x = 22,5
o
, dan untuk k = 1 didapat x = 22,5
o
+ 180
o
= 202,5
o
b. 2x = 180
o
– 45
o
+ k.360
o
atau 2x = 135
o
+ k.360
o
atau x = 67,5
o
+ k.180
o
sehingga untuk k = 0 didapat x = 67,5
o
dan untuk k = 1 didapat x = 67,5
o
+ 180
o
= 247,5
o
Jadi himpunan harga x = { 22,5
o
, 67,5
o
, 202,5
o
, 247,5
o
} 2. Jika
2 1
x cos
= , tentukan x untuk 0
o
≤ x
≤ 360
o
Jawab: Karena cos x = cos 60
o
maka a. x = 60
o
+ k.360
o
sehingga untuk k = 0 didapat x = 60
o
b. x = – 60
o
+ k.360
o
sehingga untuk k = 1 didapat x = – 60
o
+ 360
o
= 300
o
Jadi himpunan harga x = {60
o
, 300
o
} 3. Tentukan titik potong kurva r = 2 – 2 cos
θ dan kurva r = 2 cos
θ .
Gambarkan kedua grafik tersebut. Jawab: 2 – 2 cos
θ = 2 cos
θ atau
2 1
cos =
θ sehingga didapat
θ = 60
o
dan θ
= 300
o
Untuk θ
= 60
o
didapat r = 1 dan untuk θ
= 300
o
didapat r = 1 pula. Jadi titik potongnya terletak di 1, 60
o
dan 1, 300
o
r = 2 – 2 cos θ
r = 2 cos θ
Catatan : pada kurva r = 2 cos θ
, nilai r untuk sudut 120
o
, 180
o
, dan 240
o
tidak digunakan
karena bertanda negatip Tugas :
1. Jika sin 2x = cos x, tentukan harga x untuk 0
o
≤ x
≤ 360
o
2. Jika tan 2x = tan 30
o
, tentukan harga x untuk 0
o
≤ x
≤ 180
o
3. Jika cos 3x = sin x, tentukan harga x untuk 0
o
≤ x
≤ 360
o
4. Tentukan titik potong kurva r
2
cos θ
= 2 dan kurva r
2
= 4. 5. Tentukan titik potong kurva r = 2 sin 2
θ dan kurva r = 1.
6. Tentukan titik potong kurva r cos θ
= 2 dan kurva r = 4 sin θ
7. Tentukan titik potong kurva r = a cos θ
dan kurva r = a sin θ
2.7 MENENTUKAN GRADIEN GARIS SINGGUNG KURVA FUNGSI
θ r
θ r
o o
2 60
o
1 60
o
1 90
o
2 90
o
120
o
3 120
o
– 1 180
o
4 180
o
– 2 240
o
3 240
o
– 1 270
o
2 270
o
300
o
1 300
o
1 360
o
360
o
2 Grafik kurva
r = 2 – 2 cos θ
Grafik kurva r = 2 cos
θ
o
60
o
90
o
120
o
180
o
240
o
270
o
300
o
1, 60
o
1, 300
o
Dalam fungsi y = fx pada sistem kartesian, gradien garis singgung di suatu titik P pada fungsi tersebut dinyatakan dengan hasil turunannya
dx dy
di P. Namun dalam sistem koordinat, tidak demikian, sebab turunan
dr d
θ
di P bukan menyatakan gradien garis singgung di titik P tersebut. Perhatikan gambar berikut.
Titik Pr, θ
dan Rr+ ∆
r, θ
+ ∆θ
terletak pada fungsi f = f θ
∆θ = sudut antara garis OP dan OR
OR = r + ∆
r tan
α = gradien garis singgung di P
Berdasarkan gambar didapat: α
= θ
+ ψ
Jadi tan α
= tan θ
+ ψ
atau θ
ψ −
θ +
ψ =
α tan
tan 1
tan tan
tan adalah rumus gradien garis singgung
Berdasarkan gambar didapat persamaan: SR
PS tan
= β
PS = r sin ∆θ
sedangkan SR = OR – OS = r + ∆
r – r cos ∆θ
= r 1 – cos ∆θ
+ ∆
r sehingga
r cos
1 r
sin r
tan ∆
+ θ
∆ −
θ ∆
= β
= r
sin 2
r cos
sin r
2 2
1 2
2 1
2 1
∆ +
θ ∆
θ ∆
θ ∆
= θ
∆ ∆
+ θ
∆ sin
r tan
r r
2 1
Jika ∆θ
sangat kecil sehingga mendekati nol, maka PR akan mendekati garis singgung di P, demikian pula sudut
β akan mendekati besar sudut
ψ , sehingga
tan ψ
=
β
→ θ
∆
tan lim
= θ
∆ θ
∆ θ
∆ ∆
+ θ
∆
→ θ
∆
sin r
tan r
r lim
2 1
=
1 r
r θ
∆ ∆
+
tan ψ
= θ
d dr
r Oleh karena tan
ψ dapat dihitung, maka tan
α juga dapat ditentukan.
Jika persamaan tersebut dimasukkan ke dalam rumus gradien garis singgung, didapat
θ ψ
− θ
+ ψ
= α
tan tan
1 tan
tan tan
=
θ θ
− θ
θ +
θ θ
cos sin
r 1
cos sin
r
d dr
d dr
=
θ θ
− θ
θ θ
+ θ
θ θ
θ θ
cos sin
r cos
cos sin
cos r
d dr
d dr
d dr
d dr
tan α
= θ
+ θ
− θ
+ θ
θ θ
cos sin
r sin
cos r
d dr
d dr
Contoh soal :
Tentukan gradien garis singgung fungsi kardioda r = 2 + 2 sin θ
di titik 3, π
6 Jawab:
Fungsi kardioda r = 2 + 2 sin θ
, maka turunannya θ
d dr
= 2 cos θ
Di titik 3, π
6 menjadi θ
d dr
= 2 cos π
6 = 3
Jadi tan ψ
= θ
d dr
r =
3 3
3 =
dan tan θ
= tan π
6 = 3
3 1
Dengan demikian gradien garis singgung
θ ψ
− θ
+ ψ
= α
tan tan
1 tan
tan tan
=
3 .
3 1
3 3
3 1
3 1
− +
=
1 1
3
3 4
−
= 3
3 4
= ∞
atau α
= 90
o
atau dengan persamaan kedua tanpa menghitung tan ψ
Pr,
θ
S
β ψ
α θ
∆θ
r r +
∆
r
r = f
θ
Rr+
∆
r,
θ
+
∆θ
O
ψ
tan α
= θ
+ θ
− θ
+ θ
θ θ
cos sin
r sin
cos r
d dr
d dr
= θ
θ +
θ −
θ θ
+ θ
cos cos
2 sin
r sin
cos 2
cos r
untuk 3, π
6, didapat tan
α =
6 cos
6 cos
2 6
sin 3
6 sin
6 cos
2 6
cos 3
π π
+ π
− π
π +
π =
3 .
3 .
2 .
3 .
3 .
2 3
. 3
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
+ −
+
= 2
3 2
3 2
1 2
3
3 3
+ −
+
tan α
= ∞
= 3
2 atau
α = 90
o
hasilnya sama
Tugas : tentukan gradien garis singgung
1. r = 1 – cos θ
di θ
= π
2 2. r = cos 3
θ di r = 0
2.8 MENENTUKAN LUAS DALAM KOORDINAT KUTUB
