BAB 3
BENTUK STANDAR PERMUKAAN KUADRAT
Sebuah persamaan yang berbentuk
2 2
2
j iz
hy gx
fyz exz
dxy cz
by ax
di mana f
e d
c b
a ,
, ,
, ,
tidak semua bernilai nol dan
j i
h g
f e
d c
b a
, ,
, ,
, ,
, ,
, ℝ
disebut persamaan kuadrat di dalam variabel
y x,
dan
z
atau disebut juga permukaan kuadrat. Titik- titik terletak pada permukaan grafiknya. Permukaan
kuadrat diklasifikasikan ke dalam enam bentuk, yaitu elipsoid, kerucut eliptik, hiperboloid satu lembar, hiperboloid dua lembar, paraboloid eliptik dan
paraboloid hiperbolik.
Apabila suatu permukaan kuadrat dipotong oleh sebuah bidang datar, maka kurva perpotongannya disebut jejak irisan trace permukaan pada bidang datar.
Perpotongan x ,
y
dan
z
pada sebuah permukaan, masing- masing koordinat x ,
y
dan
z
dari titik- titik persimpangan dari suatu permukaan terletak pada sumbu masing- masing. Ketika diberikan sebuah persamaan dari suatu permukaan,
misalkan potongan k
x oleh bidang
yz
, jejak yang dihasilkan adalah salah satu dari grafik irisan kerucut. Begitu juga pada potongan
l y
oleh bidang xz dan m
z oleh bidang
xy
. Jejak- jejak yang ada dipakai untuk mensketsa grafik. Berikut bentuk-bentuk standar dan posisi standarnya pada grafik ruang tiga
dimensi.
3.1 Elipsoid
Sebuah elipsoid memiliki persamaan dengan bentuk
1
2 2
2 2
2 2
C
z B
y A
x
34 Permukaan disketsa pada gambar 3.1. Perpotongan
x ,
y
dan
z
adalah bilangan
C B
A
, ,
dan jejak pada bidang
xy
, xz dan
yz
adalah elips- elips
, 1
2 2
2 2
B y
A x
, 1
2 2
2 2
C z
A x
. 1
2 2
2 2
C z
B y
Irisan yang dibentuk oleh bidang k
y k sebuah konstanta adalah elips
, 1
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
B k
C z
B k
A x
, k
y
. B
k B
Begitu juga irisan- irisan yang dibentuk oleh bidang
k x
dan k
z adalah elips.
Masing- masing jejak berupa elips ditunjukkan pada gambar 3.1.
Gambar 3.1. Elipsoid:
1
2 2
2 2
2 2
C
z B
y A
x
Jika C
B A
, maka grafik berupa sebuah bola. Di mana semua jejak pada setiap bidang berupa lingkaran.
Contoh 3.1 Deskripsikan permukaan kuadrat yang persamaannya adalah
36 9
4
2 2
2
z
y x
Kedua ruas persamaan dibagi 36, menjadi
1 4
36 9
2 2
2
z
y x
Misalkan
z y
, didapatkan 9
2
x
; potongan x berada di 3 dan 3
. Begitu juga, potongan
y
berada di 6
, potongan
z
berada di
2
. Untuk mencari jejak pada bidang
xy
, misalkan
z , kemudian
Jejak-xz Jejak-yz
Jejak-xy
35 36
4
2 2
y
x atau
1 36
9
2 2
y x
,
z .
Dapat dipastikan bahwa kurvanya adalah elips. Jejak pada bidang xz adalah elips,
yaitu
y
1 4
9
2 2
z x
,
y ,
dan jejak pada bidang
yz
adalah elips, yaitu
x
1 4
36
2 2
z y
,
x .
Jadi, dapat disimpulkan grafik persamaannya adalah elipsoid yang berada pada posisi standar. Seperti pada Gambar 3.2. Perintah pada Command Window Maple
untuk memplot grafiknya:
withplots: f:=4x2+y2+9z2=36:
implicitplot3df,x=-4..4,y=-7..7,z=- 3..3,grid=[25,25,25],scaling=constrained,axes=boxed;
Gambar 3.2. Elipsoid: 36
9 4
2 2
2
z
y x
3.2 Kerucut Eliptik
Sebuah kerucut eliptik memiliki persamaan dengan bentuk
36
2 2
2 2
2 2
C z
B y
A x
Permukaan disketsa pada gambar 3.3. Jejak pada bidang
xy
atau
z adalah
sebuah titik tunggal 0, 0, 0. Jejak pada bidang xz atau
y
adalah dua garis silang
C z
A x
Jejak pada bidang
yz
atau
x adalah dua garis silang
C z
B y
Irisan yang dibentuk oleh bidang k
z k sebuah konstanta adalah elips
, 1
2 2
2 2
C Bk
y C
Ak x
k z
Masing- masing jejak ditunjukkan pada gambar 3.3.
Gambar 3.3. Kerucut eliptik:
2 2
2 2
2 2
C z
B y
A x
Tidak hanya sumbu z yang bisa sebagai sumbu utama melainkan salah satu di antara x, y atau z. Jika
B A
, maka jejak yang paralel pada bidang
xy
berupa lingkaran.
Jejak-xz
Jejak-yz Jejak-xy
satu titik Paralel
Bidang-xy
37
Contoh 3.2 Deskripsikan permukaan kuadrat yang persamaannya adalah
9 8
2
2 2
2
z
y x
Kedua ruas persamaan dibagi 72, menjadi
8 9
36
2 2
2
z
y x
Jejak pada bidang
xy
atau
z adalah sebuah titik tunggal 0, 0, 0. Jejak pada
bidang
yz
atau
x
adalah dua garis silang
z y
2 4
3
Jejak pada bidang xz atau
y
adalah dua garis silang
z x
2 2
9
Jadi, dapat disimpulkan grafik persamaannya adalah kerucut eliptik yang berada pada posisi standar. Seperti pada Gambar 3.4. Perintah pada Command Window
Maple untuk memplot grafiknya:
withplots: f:=2x2+8y2-9z2=0:
implicitplot3df,x=-7..7,y=-4..4,z=- 3..3,grid=[25,25,25],scaling=constrained,axes=boxed;
Gambar 3.4. Kerucut eliptik: 9
8 2
2 2
2
z
y x
3.3 Hiperboloid Satu Lembar
