49 sistem koordinat
y x
akan mengambil salah satu di antara bentuk- bentuk standar permukaan kuadrat.
4.1 Permukaan Kuadrat yang Ditranslasi
Sebuah permukaan kuadrat yang tidak berada pada posisi standar karena ditranslasikan keluar tetapi tidak mengalami rotasi dapat dikembalikan dengan
cara menyempurnakan suku-suku kuadratnya.
Langkah-langkah untuk menyempurnakan kuadrat suatu bentuk permukaan kuadrat adalah sebagai berikut:
Langkah 1. Bentuk persamaan berupa
2 2
2
j
iz hy
gx cz
by ax
. Yaitu tanpa memiliki suku
xy
,
xz
dan
yz
yaitu, suku hasil kali silang di dalam persamaannya
Langkah 2. Kelompokkan suku- suku yang variabelnya sama dan kedua ruas
ditambah j
, menjadi
j iz
cz hy
by gx
ax
2 2
2
Langkah 3. Pada ruas kanan keluarkan koefisien-koefisen suku-suku berderajat
dua, yakni j
z c
i z
c y
b h
y b
x a
g x
a
2 2
2
Langkah 4. Kedua ruas ditambah dengan konstanta yang terbentuk dari
koefisien suku-suku berderajat satu, yakni
c i
b h
a g
j c
i z
c i
z c
b h
y b
h y
b a
g x
a g
x a
4 4
4 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
kemudian sederhanakan ruas kanan
c i
b h
a g
j c
i x
c b
h x
b a
g x
a 4
4 4
2 2
2
2 2
2 2
2 2
50 Langkah 5.
Mentranslasikan sumbu-sumbu koordinatnya dengan menggunakan persamaan- persamaan translasi
a g
x x
2
,
b h
y y
2
,
c i
z z
2
menghasilkan
c i
b h
a g
j z
c y
b x
a 4
4 4
2 2
2 2
2 2
kemudian kedua ruas dibagi dengan kelipatan persekutuan terkecil dari a, b dan c. Bentuk akhir yang dihasilkan, disesuaikan dengan
ciri-ciri pada bentuk standarnya.
Contoh 4.1
Ubahlah bentuk persamaan berikut dan identifikasi bentuk permukaan kuadratnya
144 42
3 3
2 2
2
x
z y
x Menyusun kembali suku- suku di atas menghasilkan
144 3
14 3
2 2
2
z
y x
x Menyempurnakan suku- suku kuadratnya menghasilkan
147 144
3 49
14 3
2 2
2
z
y x
x atau
3 3
7 3
2 2
2
z y
x atau
1 3
7
2 2
2
z y
x
Mentranslasikan sumbu- sumbu koordinatnya dengan menggunakan persamaan- persamaan translasi
7
x x
, y
y
,
z z
menghasilkan
1 3
2 2
2
z
y x
Jadi, dapat disimpulkan grafik persamaannya adalah hiperboloid dua lembar yang ditranslasi oleh 7, 0, 0. Seperti pada Gambar 4.2. Perintah pada Command
Window Maple untuk memplot grafiknya:
51
withplots: f:=3x2-3y2-z2+42x+144=0:
implicitplot3df,x=-20..20,y=-20..20,z=- 24..24,grid=[20,20,20],scaling=constrained,axes=boxed;
Gambar 4.2. Hiperboloid dua lembar: 144
42 3
3
2 2
2
x
z y
x
Contoh 4.2 Ubahlah bentuk persamaan berikut dan identifikasi bentuk permukaan
kuadratnya 135
72 126
3 7
2 2
z y
x y
x Menyusun kembali suku- suku di atas menghasilkan
135 24
3 18
7
2 2
z y
y x
x Menyempurnakan suku- suku kuadratnya menghasilkan
432 567
135 144
24 3
81 18
7
2 2
z
y y
x x
atau
12 3
9 7
2 2
z
y x
atau
3 1
12 7
1 9
2 2
z
y x
Mentranslasikan sumbu- sumbu koordinatnya dengan menggunakan persamaan- persamaan translasi
52
9
x x
, 12
y
y ,
z z
menghasilkan
3 1
7 1
2 2
z
y x
Jadi, dapat disimpulkan grafik persamaannya adalah paraboloid hiperbolik yang ditranslasi oleh 9,
12
, 0. Seperti pada Gambar 4.3. Perintah pada Command Window Maple untuk memplot grafiknya:
withplots: f:=7x2-3y2+126x+72y+z+135=0:
implicitplot3df,x=-15..15,y-15..15,z- 15..15,grid=[20,20,20],scaling=constrained,axes=boxed;
Gambar 4.3. Paraboloid hiperbolik: 135
72 126
3 7
2 2
z y
x y
x
4.2 Permukaan Kuadrat yang Dirotasi
Kategori