22 2
. Untuk
8
, maka:
4 2
2 2
4 2
2 2
4 8
A I
dan misal x
z
y x
adalah penyelesaian tak trivial dari
A I
8
x = 0, yaitu:
4
2 2
2 4
2 2
2 4
z y
x
akan diselesaikan dengan operasi baris elementer sebagai berikut
1
1 1
1 2
1 1
3 1
6 1
6 1
6 1
2 1
2 1
4 2
2 2
4 2
2 2
4
3 1
3 2
2 1
b b
b b
b b
1 1
1 1
6 1
6 1
3 2
3 2
3 1
b
b b
b b
b
Persamaan yang didapat adalah
z x
dan
z y
. Misalkan u
z ,
u z
y
dan u
z x
. sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan
8
adalah
x
1
1 1
u u
u u
z y
x
maka
1 1
1
adalah basis pada ruang eigen yang bersesuaian dengan 8
.
2.7 Diagonalisasi Matriks dan Diagonalisasi secara Ortogonal
Definisi 2.7.1 Sebuah matriks bujursangkar
A
dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks
P yang mempunyai invers sehingga
AP P
1
merupakan matriks diagonal. Matriks
P disebut mendiagonalisasi matriks
A
.
23
Teorema 2.7.1 Jika
A
adalah sebuah matriks n
n , maka kedua pernyataan
berikut adalah ekuivalen. i.
A
dapat didiagonalisasi ii.
A
memiliki n vektor eigen yang bebas linier.
Bukti. i ii Karena
A
diasumsikan dapat didiagonalisasi, maka terdapat sebuah matriks yang dapat dibalik
nn n
n n
n
p p
p p
p p
p p
p P
2 1
2 22
21 1
12 11
Sedemikian rupa sehingga
AP P
1
adalah diagonal, misal
D AP
P
1
, di mana
n
D
2 1
Berdasarkan rumus
D AP
P
1
bahwa
PD AP
; jelasnya,
nn n
n n
n n
n n
n nn
n n
n n
p p
p p
p p
p p
p
p p
p p
p p
p p
p AP
2 2
1 1
2 22
2 21
1 1
12 2
11 1
2 1
2 1
2 22
21 1
12 11
2.1
Jika p
1
, p
2
,..., p
n
menotasikan vektor-vektor kolom dari matriks P , maka dari
persamaan 2.1 urutan kolom-kolom matriks
AP
adalah λ
1
p
1
,
λ
2
p
2
,...,
λ
n
p
n
. Akan tetapi, urutan kolom-kolom
AP
adalah Ap
1
, Ap
2
,..., Ap
n
. Sehingga, kita memperoleh
Ap
1
= λ
1
p
1
, Ap
2
= λ
2
p
2
, ....... Ap
n
= λ
n
p
n
2.2 Karena
P dapat dibalik, vektor-vektor kolomnya semua tak nol; sehingga, berdasarkan persamaan 2.2
n
,...,
,
2 1
adalah nilai-nilai eigen dari
A
, dan p
1
, p
2
,..., p
n
adalah vektor-vektor eigen yang terkait. Karena P dapat dibalik dan
memiliki invers, maka p
1
, p
2
,..., p
n
bebas linier. Jadi,
A
mempunyai n vektor
eigen yang bebas linier.
24 ii
i Misalkan
A
memiliki n vektor eigen p
1
, p
2
,..., p
n
yang bebas linier, dengan nilai- nilai eigen
n
,..., ,
2 1
yang terkait, dan misalkan
nn n
n n
n
p p
p p
p p
p p
p P
2 1
2 22
21 1
12 11
adalah sebuah matriks yang vektor-vektor kolomnya adalah p
1
, p
2
,..., p
n
. Berdasarkan perkalian matriks, vektor-vektor kolom dari matriks
AP
adalah
Ap
1
, Ap
2
,..., Ap
n
Namun
Ap
1
= λ
1
p
1
, Ap
2
= λ
2
p
2
, ....... Ap
n
= λ
n
p
n
sehingga
PD p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p AP
n nn
n n
n n
nn n
n n
n n
n n
2 1
2 1
2 22
21 1
12 11
2 2
1 1
2 22
2 21
1 1
12 2
11 1
2.3 di mana
D adalah matriks diagonal yang memiliki nilai-nilai eigen
n
,..., ,
2 1
sebagai entri-entri diagonal utamanya. Karena vektor-vektor kolom matriks P
bebas linier; sehingga, persamaan 2.3 dapat dinotasikan sebagai
D AP
P
1
dengan demikian matriks
A
dapat didiagonalisasi.
Berdasarkan teorema 2.7.1 di atas didapatlah langkah-langkah untuk mendiagonalisasi sebuah matriks
A
berordo n
n yang dapat didiagonalisasi,
yaitu : Langkah 1. Tentukan nilai-nilai eigen matriks
A
. Langkah 2. Tentukan
n vektor eigen yang bebas linier dari matriks
A
, yaitu p
1
, p
2
,..., p
n
. Langkah 3. Bentuk matriks
P yang kolomnya adalah vektor-vektor dengan p
1
, p
2
,..., p
n
sebagai vektor-vektor kolomnya matriks. Langkah 4. Matriks
D AP
P
1
kemudian akan menjadi diagonal dengan
25
n
,..., ,
2 1
sebagai entri-entri diagonalnya secara berurutan, di mana
i
adalah nilai eigen yang terkait dengan p
i
, untuk
n i
,..., 2
, 1
.
Contoh 2.12
5
3 2
2 3
A
Karena
5
3 2
2 3
A I
maka persamaan karakteristik matriks
A
adalah
5 1
2
A I
Jadi, nilai-nilai eigen dari matriks
A
adalah 5
dan 1
. Untuk
5
, maka:
2 2
2 2
5 A
I
dan misal x
z
y x
adalah penyelesaian tak trivial dari
A I
5
x = 0, yaitu:
2
2 2
2 z
y x
akan diselesaikan dengan operasi baris elementer sebagai berikut
1 1
2 1
2 2
2 2
1 2
1
b b
b
Persamaan tunggal yang didapat adalah
y
x
. Misalkan s
x ,
s y
dan t
z .
sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan 5
adalah
x
1 1
1 t
s t
s s
z y
x
26
maka p
1
1 1
dan p
2
1
adalah basis pada ruang eigen yang bersesuaian
dengan 5
. Untuk
1
, maka:
4
2 2
2 2
A I
dan misal x
z
y x
adalah penyelesaian tak trivial dari
A I
8
x = 0, yaitu:
4 2
2 2
2 z
y x
akan diselesaikan dengan operasi baris elementer sebagai berikut
1 1
1 4
1 2
1 4
2 2
2 2
3 1
2 1
b b
b b
Persamaan yang didapat adalah
y
x
dan
z . Misalkan
u x
,
u x
y
dan
z
. Sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan
1
adalah
x
1
1 u
u u
z y
x
maka p
3
1
1 adalah basis pada ruang eigen yang bersesuaian denga
1
.
Sehingga {p
1
, p
2
, p
3
} adalah vektor bebas linier dan didapatkan :
1 1
1 1
1 P
yang akan mendiagonalisasi
A
. Untuk membuktikannya :
27
1 5
5 1
1 1
1 1
5 3
2 2
3 2
1 2
1 1
2 1
2 1
1
AP P
Contoh 2.13 Persamaan karakteristik dari matriks
1
2 2
3 A
adalah
1 1
2 2
3
2
A I
Jadi 1
adalah satu-satunya nilai eigen yang didapat. Vektor eigen yang bersesuaian dengan
1
, misalkan
x
y
x
yang memenuhi
A I
x = 0
2
2 2
2 y
x
akan diselesaikan dengan operasi baris elementer sebagai berikut
1
1 2
1 2
2 2
2
1 2
1
b b
b
Persamaan yang didapat adalah
y
x
. Misalkan s
x dan
s y
. Sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan
1
adalah
x
1
1 s
s s
y x
Karena merupakan ruang eigen yang berdimensi satu, maka
A
tidak mempunyai dua vektor eigen yang bebas linier, sehingga
A
tidak dapat didiagonalisasi.
Teorema 2.7.2 Jika v
1
,v
2
,...,v
k
adalah vektor eigen dari matriks
A
yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen yang berbeda
k
,..., ,
2 1
, maka {v
1
,v
2
,...,v
k
} adalah himpunan vektor bebas linier.
Bukti. Misalkan v
1
,v
2
,...,v
k
adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan
28 nilai-nilai eigen yang berbeda
k
,..., ,
2 1
. Misalkan v
1
,v
2
,...,v
k
adalah tidak bebas
linier agar didapatkan kontradiksinya. Agar disimpulkan v
1
,v
2
,...,v
k
bebas linier.
Karena vektor eigen menurut definisi adalah tak nol, maka {v
1
} adalah bebas
linier. Misalkan r adalah bilangan bulat terbesar sehingga {v
1
,v
2
,...,v
k
} bebas
linier. Karena diasumsikan bahwa {v
1
,v
2
,...,v
k
} tidak bebas linier, r memenuhi syarat
k r
1 . Selanjutnya, sesuai definisi r , {v
1
,v
2
,...,v
r+1
} tidak bebas linier. Dengan demikian, skalar
1 2
1
,..., ,
r
c c
c , tidak semuanya nol, sehingga
c
1
v
1
+ c
2
v
2
+...+ c
r+1
v
r+1
= 0 2.4
Dengan mengalikan kedua sisi pada 2.4 dengan matriks
A
dan menerapkan
Av
1
= λ
1
v
1
, Av
2
= λ
2
v
2
, ......, Av
r+1
= λ
1
v
r+1
kita memperoleh c
1
λ
1
v
1
+ c
2
λ
2
v
2
+...+ c
r+1
λ
r+1
v
r+1
= 0 2.5
Dengan mengalikan kedua sisi 2.4 dengan
1
r
dan mengurangkan persamaan yang diperoleh dari 2.5 menghasilkan
c
1
λ
1
– λ
r+1
v
1
+ c
2
λ
2
– λ
r+1
v
2
+...+ c
r
λ
r
– λ
r+1
v
r
= 0 Karena {v
1
,v
2
,...,v
r
} merupakan himpunan bebas linier, persamaan ini mengakibatkan
...
1 1
2 2
1 1
1
r
r r
r
r c
c c
dan karena
1 2
1
,..., ,
r
berbeda, maka diperoleh
...
2 1
r
c c
c 2.6
Substitusi nilai-nilai ini pada 2.4 akan menghasilkan c
r+1
v
r+1
Karena vektor eigen v
r+1
tidak nol, maka
1
r
c 2.7
Persamaan 2.6 dan 2.7 bertentangan dengan hal yang terjadi bahwa
1 2
1
,..., ,
r
c c
c tidak semuanya nol. Jadi terbukti bahwa pengandaian salah dan
{v
1
,v
2
,...,v
k
} bebas linier.
29
Contoh 2.14 Dari contoh 2.12 didapatkan matriks
1 1
1 1
1 P
di mana kolom-kolomnya adalah vektor eigen. Karena
P maka vektor-
vektor kolomnya adalah vektor-vektor yang bebas linier.
Teorema 2.7.3 Jika sebuah matriks
A
berordo n
n memiliki n nilai eigen yang
berbeda, maka
A
dapat didiagonalisasi.
Bukti. Jika v
1
,v
2
,...,v
n
adalah vektor-vektor eigen yang terkait dengan nilai-nilai eigen yang berbeda
n
,..., ,
2 1
, maka sesuai teorema 2.7.2, v
1
,v
2
,...,v
n
bebas linier. Jadi sesuai dengan teorema 2.7.1 maka
A
dapat didiagonalisasi.
Contoh 2.15 Misalkan sebuah matriks
8 17
4 1
1 A
memiliki tiga nilai eigen yang berbeda, 3
2 ,
4
2 1
dan
3 2
3
. Oleh karena itu,
A
dapat didiagonalisasi. Yakni :
3 2
3 2
4
1
AP P
Selanjutnya untuk menentukan matriks P dapat digunakan cara yang sesuai
teorema 2.7.1.
Definisi 2.7.2 Matriks bujursangkar
A
dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat matriks
P yang ortogonal sehingga AP
P AP
P
T
1
diagonal. Matriks P disebut mendiagonalisasi
A
secara ortogonal.
Teorema 2.7.4 Jika
A
adalah matriks berordo n
n , maka pernyataan berikut ini
adalah ekuivalen.
30 i.
A
dapat didiagonalisasi secara ortogonal. ii.
A
memiliki sebuah himpunan vektor-vektor eigen yang ortonormal.
Bukti. i ii Karena
A
dapat didiagonalisasi secara ortogonal, maka terdapat sebuah matriks ortogonal
P sedemikian hingga matriks AP
P
1
adalah diagonal. Sesuai teorema 2.7.1,
n vektor kolom matriks P adalah vektor-vektor eigen
matriks
A
. Karena P ortogonal, ortogonal vektor-vektor kolom ini adalah
ortonormal, sehingga
A
memiliki n vektor eigen yang ortonormal.
ii i Asumsikan bahwa
A
memiliki sebuah himpunan ortonormal yang terdiri dari
n vektor eigen { p
1
,p
2
,...,p
n
}. Sebagaimana ditunjukkan dalam pembuktian pada teorema 2.7.1, matriks
P dengan vektor-vektor eigen ini sebagai kolom-kolomnya akan mendiagonalisasi
A
. Karena vektor-vektor eigen ini ortonormal, maka
P ortogonal sehingga akan mendiagonalisasi
A
secara ortogonal.
Teorema 2.7.5 Jika
A
adalah matriks yang dapat didiagonalisasi maka
A
adalah matiks simetris.
Bukti. Misalkan
A
dapat didiagonalisasi secara ortogonal, terdapat matriks P yang ortogonal sedemikian hingga :
AP P
D
1
Jadi,
1
PDP A
atau, karena ortogonal, maka :
T
PDP A
sehingga
A PDP
P PD
PDP A
T T
T T
T T
terbukti bahwa
A
simetris.
Teorema 2.7.6 Jika
A
adalah matriks simetris, maka vektor-vektor yang berasal dari ruang eigen yang berbeda akan saling ortogonal.
31
Bukti. Misalkan v
1
dan v
2
adalah vektor-vektor eigen yang terkait dengan dua nilai eigen yang berbeda, yaitu
1
dan
2
dari matriks
A
. Akan ditunjukkan bahwa
v
1
.v
2
= 0. Pembuktian mengenai hal ini melibatkan suatu trik yang dimulai dengan
menyatakan Av
1
.v
2
. Dari sifat perkalian vektor dan sifat simetris matriks akan
A
diperoleh
Av
1
.v
2
= v
1
. A
T
v
2
= v
1
. Av
2
2.8
Tetapi v
1
adalah sebuah vektor eigen matriks
A
yang berhubungan dengan
1
dan
v
2
adalah sebuah vektor eigen matriks
A
yang berhubungan dengan
2
, sehingga persamaan 2.8 menghasilkan hubungan
λ
1
v
1
.v
2
= v
1
. λ
2
v
2
dapat dituliskan kembali sebagai λ
1
– λ
2
v
1
.v
2
= 0 2.9
Karena
2 1
, karena
1
dan
2
diasumsikan berbeda. Oleh karena itu, dari
persamaan 2.9 diperoleh v
1
.v
2
= 0.
Akibat teorema 2.7.6 di atas, berikut langkah-langkah yang dapat dilakukan untuk mendiagonalisasi matriks simetris yang ortogonal:
Langkah 1. Tentukan sebuah basis untuk setiap ruang eigen matriks
A
. Langkah 2. Gunakan proses Gram-Schmidt pada masing-masing basis berikut
untuk memperoleh sebuah basis ortonormal pada setiap ruang eigen. Langkah 3. Bentuklah sebuah matriks
P yang kolom-kolomnya adalah vektor- vektor basis yang dibuat pada langkah 2; matriks ini secara ortogonal
mendiagonalisasi
A
.
Contoh 2.16 Tentukan sebuah matriks ortogonal
P yang mendiagonalisasi
4
2 2
2 4
2 2
2 4
A
Persamaan karakteristik untuk
A
adalah
32
8 2
4 2
2 2
4 2
2 2
4
2
A
I
Sehingga, nilai-nilai eigen dari
A
adalah 2
dan 8
. Dengan menggunakan pencarian basis, dapat ditunjukkan bahwa
u
1
1
1
dan u
2
1
1
membentuk sebuah basis untuk ruang eigen yang terkait dangan 2
. Dengan
menerapkan proses Gram-Schmidt pada {u
1
,u
2
} akan menghasilkan vektor-vektor eigen ortonormal seperti berikut:
v
1
2
1 2
1
dan v
2
6
2 6
1 6
1
Ruang eigen yang terkait dengan 8
memiliki
u
3
1
1 1
sebagai sebuah basis. Dengan menerapkan proses Gram-Schmidt pada {u
3
} akan menghasilkan
v
3
3
1 3
1 3
1
Akhirnya, dengan menggunakan v
1
, v
2
dan v
3
sebagai vektor-vektor kolom diperoleh
3 1
6 2
3 1
6 1
2 1
3 1
6 1
2 1
P
yang mendiagonalisasi
A
secara ortogonal.
BAB 3
BENTUK STANDAR PERMUKAAN KUADRAT
Sebuah persamaan yang berbentuk
2 2
2
j iz
hy gx
fyz exz
dxy cz
by ax
di mana f
e d
c b
a ,
, ,
, ,
tidak semua bernilai nol dan
j i
h g
f e
d c
b a
, ,
, ,
, ,
, ,
, ℝ
disebut persamaan kuadrat di dalam variabel
y x,
dan
z
atau disebut juga permukaan kuadrat. Titik- titik terletak pada permukaan grafiknya. Permukaan
kuadrat diklasifikasikan ke dalam enam bentuk, yaitu elipsoid, kerucut eliptik, hiperboloid satu lembar, hiperboloid dua lembar, paraboloid eliptik dan
paraboloid hiperbolik.
Apabila suatu permukaan kuadrat dipotong oleh sebuah bidang datar, maka kurva perpotongannya disebut jejak irisan trace permukaan pada bidang datar.
Perpotongan x ,
y
dan
z
pada sebuah permukaan, masing- masing koordinat x ,
y
dan
z
dari titik- titik persimpangan dari suatu permukaan terletak pada sumbu masing- masing. Ketika diberikan sebuah persamaan dari suatu permukaan,
misalkan potongan k
x oleh bidang
yz
, jejak yang dihasilkan adalah salah satu dari grafik irisan kerucut. Begitu juga pada potongan
l y
oleh bidang xz dan m
z oleh bidang
xy
. Jejak- jejak yang ada dipakai untuk mensketsa grafik. Berikut bentuk-bentuk standar dan posisi standarnya pada grafik ruang tiga
dimensi.
3.1 Elipsoid
