12
4
x
Jadi, solusi umumnya adalah t
s x
1
, s
x
2
, t
x
3
,
4
x
, t
x
5
Perhatikan bahwa solusi trivial diperoleh bila
t s
.
2.3 Ruang Vektor dengan Ruang Hasil Kali Dalam
Definisi 2.3.1 Hasil kali dalam inner product pada sebuah ruang vektor real
V
adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah bilangan real u,v dengan sepasang vektor u dan v di dalam
V
sedemikan hingga aksioma-aksioma berikut
ini terpenuhi bagi semua vektor u, v dan w di dalam
V
dan semua bilangan skalar k .
i.
u, v = v, u
Aksioma kesimetrian ii.
u + v, w = u, w + v, w
Aksioma penjumlahan iii.
ku, v = k u, v
Aksioma homogenitas iv.
v, v ≥ 0
Aksioma positivitas
dan v, v = 0 jika dan hanya jika
.
v
Sebuah ruang vektor real yang memiliki sebuah hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam real real inner product space.
Definisi 2.3.2 Jika
V
adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka norma norm
atau panjang length sebuah vektor u di dalam
V
dinotasikan dengan ||u|| dan
didefinisikan sebagai
||u|| = u, u
12
Jarak distance antara dua buah titik vektor u dan v dinotasikan dengan du, v
dan didefinisikan sebagai
du, v = || u - v ||
Contoh 2.5 Misalkan u = u
1
, u
2
dan v = v
1
, v
2
adalah vektor-vektor pada
2
R
. Hasil kali dalam Euclidean berbobot
u, v = 3u
1
v
1
+ 2u
2
v
2
memenuhi keempat aksioma hasil kali dalam.
13 i.
Aksioma kesimetrian;
u, v = 3u
1
v
1
+ 2u
2
v
2
= 3v
1
u
1
+ 2v
2
u
2
= v, u
yang membuktikan terpenuhinya aksioma pertama. ii.
Aksioma penjumlahan;
Jika w = w
1
, w
2
, maka
u +v, w = 3u
1
+ v
1
w
1
+ 2u
2
+ v
2
w
2
= 3u
1
w
1
+ 2u
2
w
2
+ 3v
1
w
1
+ 2v
2
w
2
= u, w + v, w
yang membuktikan terpenuhinya aksioma kedua. iii.
Aksioma homogenitas; Selanjutnya,
ku, v = 3ku
1
v
1
+ 2ku
2
v
2
= k3u
1
v
1
+ 2u
2
v
2
= k u, v
yang membuktikan terpenuhinya aksioma ketiga. iv.
Aksioma positivitas; Akhirnya,
v, v = 3v
1
v
1
+ 2v
2
v
2
= 3v
1 2
+ 2v
2 2
Jelaslah, v, v = 3v
1 2
+ 2v
2 2
≥ 0. Lebih jauh lagi, v, v = 3v
1 2
+ 2v
2 2
= 0 jika dan hanya jika v
1
= v
2
. Dengan demikian, semua aksioma memenuhi syarat.
2.4 Basis Ortonormal dan Matriks Ortogonal
2.4.1 Basis Ortonormal
Definisi 2.4.1 Himpunan S = {u
1
, u
2
, ..., u
k
} pada
n
R
adalah himpunan ortogonal jika u
i,
u
j
= 0, untuk setiap
j i
.
Definisi 2.4.2 Himpunan S = {u
1
, u
2
, ..., u
k
} pada
n
R
adalah ortonormal jika :
i. S adalah ortogonal
ii.
Setiap vektor dalam S adalah vektor satuan, yaitu ||u
i
|| = 1, untuk setiap
i
.
14
Contoh 2.6 Himpunan S = {u
1
, u
2
}, dengan u
1
= [0, 1, 0] dan u
2
= [1, 0, 1] adalah ortogonal, karena :
u
1
, u
2
= 01 + 10 + 01 = 0
Karena ||u
1
|| = 1 dan ||u
2
|| =
2
maka S bukan himpunan ortonormal. Dengan menormalisasikan masing-masing vektor dari S , diperoleh :
v
1
= u
1
|| u
1
|| = 1[0, 1, 0] = [0, 1, 0], v
2
= u
2
|| u
2
|| =
2 1
[1, 0, 1] =
2 1
, ,
2 1
{v
1
, v
2
}adalah himpunan yang ortonormal, karena : i.
u
1
, u
2
2 1
. .
1 2
1 .
ii.
||v
1
|| = 1 dan ||v
2
|| = 1
Teorema 2.4.1 Jika S = {v
1
, v
2
, ..., v
n
} adalah suatu himpunan ortogonal vektor- vektor taknol pada sebuah ruang hasil kali dalam, maka S bebas linier.
Bukti. Asumsikan bahwa k
1
v
1
+ k
2
v
2
+...+ k
n
v
n
= 0
Akan ditunjukkan bahwa S = {v
1
, v
2
, ..., v
n
} adalah bebas linier, yakni dengan
membuktikan ...
2 1
n
k k
k .
Untuk setiap v
i
dalam S, berdasarkan asumsi diperoleh k
1
v
1
+ k
2
v
2
+...+ k
n
v
n
, v
i
= 0, v
i
= 0 atau secara ekuivalen
k
1
v
1
,v
i
+ k
2
v
2
,v
i
+...+ k
n
v
n
,v
i
= 0
Dari ortogonalitas S kita memperoleh v
j
,v
i
= 0 untuk
i j
, sehingga persamaan ini dapat disederhanakan menjadi
k
i
v
i
,v
i
,
i i
i
v v
k
Karena vektor-vektor di dalam S diasumsikan sebagai vektor-vektor taknol
v
i
,v
i
≠ 0 berdasarkan aksioma positivitas untuk hasil kali dalam. Dengan demikian,
i
k . Karena indeks
i
adalah sebarang, kita memperoleh ...
2 1
n
k k
k yang mengakibatkan S bebas linier.
15
Teorema 2.4.2 Misalkan {v
1
, v
2
,..., v
n
} adalah basis ortonormal pada
n
R
dan
misal u sembarang vektor pada
n
R
maka memenuhi :
u = u,v
1
v
1
+ u,v
2
v
2
+...+ u,v
n
v
n
dengan u,v
1
adalah koefisien dari v
i
.
Bukti. Misalkan S = {v
1
, v
2
,..., v
n
} adalah basis ortonormal pada
n
R
dan misal u
sembarang vektor pada
n
R
, maka memenuhi :
u = k
1
v
1
+ k
2
v
2
+...+ k
n
v
n
dengan
n
k k
k ,...,
,
2 1
adalah skalar. Karena S adalah ortonormal maka ortogonal
sedemikian hingga v
i
, v
j
= 0 untuk
j i
. Selebihnya, jika S adalah ortonormal, maka setiap vektor
i
v
pada S adalah vektor satuan, yaitu v
i
, v
i
= ||v
i
||
2
= 1. Misal
i
memenuhi n
i
1
, maka :
v
i
, u = v
i
, k
1
v
1
+ k
2
v
2
+...+ k
n
v
n
= k
1
v
i
, v
1
+ k
2
v
i
, v
2
+...+ k
i
v
i
, v
i
+...+ k
n
v
i
, v
n
. ...
1 .
... .
.
2 1
n i
k k
k k
i
k
Jadi terbukti koefisien dari
i
v
adalah
i i
k
v
i
, u = v
i
.u = u.v
i
Contoh 2.7 Misalkan
v
1
= [0, 1, 0], v
2
=
5
3 ,
, 5
4
, v
3
=
5
4 ,
, 5
3
Maka V = {v
1
, v
2
, v
3
} adalah basis ortonormal untuk
3
R
.
Akan diperlihatkan bahwa u = [1, 1, 1] adalah kombinasi linier vektor-vektor
V
. Sesuai teorema 2.4.2 didapatkan :
u,v
1
= 1; u,v
2
5 1
; u,v
3
5 7
dan
u = u,v
1
v
1
+ u,v
2
v
2
+ u,v
3
v
3
[1, 1, 1] = 1 [0, 1, 0] +
5
1
5
3 ,
, 5
4 +
5 7
5 4
, ,
5 3
= [0, 1, 0] +
25
3 ,
, 25
4
+
25
28 ,
, 25
21 = [1, 1, 1]
16
Teorema 2.4.3
Proses Gram-Schmidt Setiap ruang hasil kali dalam taknol berdimensi terhingga memiliki sebuah basis ortonormal.
Bukti. Misalkan V adalah suatu ruang hasil kali dalam taknol berdimensi terhingga
sebarang dan misalkan {u
1
,u
2
,...,u
n
} adalah basis sebarang untuk
V
. Akan ditunjukkan bahwa V memiliki sebuah basis ortogonal, karena vektor-vektor di
dalam basis ortogonal itu dapat dinormalisasikan untuk menghasilkan sebuah basis ortonormal untuk
V
. Urutan langkah berikut ini akan menghasilkan sebuah
basis ortogonal {v
1
,v
2
,...,v
n
} untuk
V
. Langkah 1. Misalkan
v
1
= u
1
|| u
1
||
Langkah 2. Terdapat sebuah vektor v
2
yang ortogonal terhadap v
1
dengan
menghitung komponen v
1
yang direntang oleh v
1
.
v
1
= u
2
– u
2
, v
1
v
1
|| u
2
– u
2
, v
1
v
1
|| Langkah 3. Selanjutnya
v
3
= u
3
– u
3
, v
1
v
1
– u
3
, v
2
v
2
|| u
3
– u
3
, v
1
v
1
– u
3
, v
2
v
2
||
dan seterusnya sampai v
n
. Setelah langkah ke-n akan diperoleh himpunan vektor-
vektor ortogonal {v
1
,v
2
,...,v
n
}. Karena
V
berdimensi n dan setiap himpunan
ortogonal bersifat bebas linier, maka himpunan {v
1
,v
2
,...,v
n
} adalah sebuah basis ortogonal bagi V.
Contoh 2.8 Diberikan
3
R
beserta perkalian dalam Euclid dengan mempergunakan proses ortonormalisasi Gram-Schmidt transformasikan vektor-vektor basis
u
1
= 1, 1, 1, u
2
= 0, 1, 1 u
3
= 0, 0, 1 menjadi basis yang ortonormal.
Vektor v
1
yang ortonormal
v
1
= u
1
||u
1
||
3 1
, 3
1 ,
3 1
1 ,
1 ,
1 3
1
Vektor v
2
yang ortonormal
v
1
= u
2
– u
2
, v
1
v
1
|| u
2
– u
2
, v
1
v
1
||
u
2
– u
2
, v
1
v
1
3
1 ,
3 1
, 3
2 3
1 ,
3 1
, 3
1 3
2 1
, 1
,
17 maka
v
1
= u
2
– u
2
, v
1
v
1
|| u
2
– u
2
, v
1
v
1
||
6
1 ,
6 1
, 6
2 3
1 ,
3 1
, 3
2 6
3
Vektor v
3
yang ortonormal
v
3
= u
3
– u
3
, v
1
v
1
– u
3
, v
2
v
2
|| u
3
– u
3
, v
1
v
1
– u
3
, v
2
v
2
||
u
3
– u
3
, v
1
v
1
– u
3
, v
2
v
2
6
1 ,
6 1
, 6
2 6
1 3
1 ,
3 1
, 3
1 3
1 1
, ,
2
1 ,
2 1
,
maka
v
3
= u
3
– u
3
, v
1
v
1
– u
3
, v
2
v
2
|| u
3
– u
3
, v
1
v
1
– u
3
, v
2
v
2
||
2
1 ,
2 1
, 2
1 ,
2 1
, 2
Jadi, v
1
3
1 ,
3 1
, 3
1
, v
2
6
1 ,
6 1
, 6
2
, v
3
2
1 ,
2 1
, Membentuk basis ortonormal untuk
3
R
.
2.4.2. Matriks Ortogonal
Definisi 2.4.3 Matriks
A
berordo n
n adalah matriks ortogonal jika kolom-
kolom dari matriks
A
adalah himpunan vektor kolom yang ortonormal.
Definisi 2.4.4 Sebuah matriks bujursangkar
A
yang memiliki sifat
T
A A
1
disebut sebagai matriks ortogonal.
Teorema 2.6.4 Jika matiks
A
adalah matiks ortogonal, maka 1
A .
Bukti. Matriks
A
ortogonal jika dan hanya jika
1
A A
T
A A
A A
T
1
I A
A
T
18 kemudian
I A
A
T
1
A A
T
1
2
A
1
A
Contoh 2.9 Vektor-vektor u = [1, 0, 0], v =
5
1 ,
5 2
,
dan w =
5 2
, 5
1 ,
adalah vektor-vektor ortonormal. Sedemikian hingga matriks :
5 2
5 1
5 1
5 2
1 A
Adalah ortogonal, maka didapatkan :
5 2
5 1
5 1
5 2
1
1 T
A A
5
2 5
1 5
1 5
2 1
5 2
5 1
5 1
5 2
1 A
A
T
1
1 1
2.5 Ekuivalensi Bentuk Kuadrat
Sebelumnya akan didefinisikan suatu operasi elementer pada matriks.
Definisi 2.5.1 Operasi elementer pada matriks A adalah:
i. Penukaran tempat antara dua baris atau dua kolom, yakni baris ke-i dengan
baris ke-j atau kolom ke-i dengan kolom ke-j. ii.
Mengalikan baris ke-i atau kolom ke-i dengan suatu konstanta �.
19 iii.
Menambah baris ke-i dengan � kali baris ke-j atau menambah kolom ke-i dengan konstanta
� kali kolom ke-j.
Definisi 2.5.2 Dua matriks A dan B yang berordo sama dikatakan ekuivalen bila
salah satu matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks yang lain dengan menggunakan operasi elementer. Atau dengan kata lain, dua matriks A dan B yang
berordo sama disebut ekuivalen jika B = PAQ untuk suatu matriks P dan Q yang tak singular atau matriks elementer.
Untuk relasi ekuivalensi ini diberikan simbol ‘ ~ ‘.
B A ~
memiliki arti
A
ekuivalen dengan B . Relasi ekuivalen, yaitu :
i.
A A ~
untuk setiap matriks
A
ii.
B A ~
maka
A B ~
iii.
B A ~
dan
C B ~
maka
C A ~
Contoh 2.10
1
2 3
3 1
2 3
2 1
A
1 1
1 3
2 1
B
maka
3 2
1 3
1 2
4 1
3 1
~ 8
4 3
3 3
2 1
3 2
~ 1
2 3
3 1
2 3
2 1
b b
b b
b b
A
B b
b
1
1 1
3 2
1 ~
2 1
1 1
3 2
1
2 3
ditulis
B A ~
. Di mana
1
b yaitu baris ke-1,
2
b yaitu baris ke-2 dan
3
b yaitu baris ke-3.
Definisi 2.5.3 Dua bentuk kuadrat x
T
Ax dan y
T
By disebut ekuivalen jika dan
hanya jika terdapat matriks tak singular P yang memenuhi x = Py dan
AP P
B
T
, yaitu
20
x
T
Ax = Py
T
APy = y
T
P
T
A Py = y
T
P
T
AP y = y
T
By
2.6 Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Ruang Eigen
