37
Contoh 3.2 Deskripsikan permukaan kuadrat yang persamaannya adalah
9 8
2
2 2
2
z
y x
Kedua ruas persamaan dibagi 72, menjadi
8 9
36
2 2
2
z
y x
Jejak pada bidang
xy
atau
z adalah sebuah titik tunggal 0, 0, 0. Jejak pada
bidang
yz
atau
x
adalah dua garis silang
z y
2 4
3
Jejak pada bidang xz atau
y
adalah dua garis silang
z x
2 2
9
Jadi, dapat disimpulkan grafik persamaannya adalah kerucut eliptik yang berada pada posisi standar. Seperti pada Gambar 3.4. Perintah pada Command Window
Maple untuk memplot grafiknya:
withplots: f:=2x2+8y2-9z2=0:
implicitplot3df,x=-7..7,y=-4..4,z=- 3..3,grid=[25,25,25],scaling=constrained,axes=boxed;
Gambar 3.4. Kerucut eliptik: 9
8 2
2 2
2
z
y x
3.3 Hiperboloid Satu Lembar
Sebuah hiperboloid satu lembar memiliki persamaan dengan bentuk
38
1
2 2
2 2
2 2
C
z B
y A
x
Permukaan disketsa pada gambar 3.5. Perpotongan x dan
y
adalah bilangan
B A
,
. Perpotongan
z
adalah persamaan 1
2 2
C z
dengan solusi tak riil. Oleh karena itu permukaan tidak memotong sumbu
z
. Jejak pada bidang
xy
atau
z adalah elips
, 1
2 2
2 2
B y
A x
jejak pada bidang xz atau
y
adalah hiperbola
, 1
2 2
2 2
C z
A x
dan jejak pada bidang
yz
atau
x adalah hiperbola
. 1
2 2
2 2
C z
B y
Irisan yang dibentuk oleh bidang k
z k sebuah konstanta adalah elips
, 1
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
C k
B y
C k
A x
, k
z
irisan yang dibentuk oleh bidang k
x adalah hiperbola
, 1
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
A k
C z
A k
B y
, k
x
. A
k A
dan irisan yang dibentuk oleh bidang
k y
adalah hiperbola
, 1
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
B k
C z
B k
A x
, k
y
. B
k B
Masing- masing jejak ditunjukkan pada gambar 3.6.
39
Gambar 3.5. Hiperboloid satu lembar:
1
2 2
2 2
2 2
C
z B
y A
x
Tidak hanya sumbu z yang bisa sebagai sumbu simetris melainkan salah satu di antara x, y atau z.
Contoh 3.3 Deskripsikan permukaan kuadrat yang persamaannya adalah
18 2
3 6
2 2
2
z
y x
Kedua ruas persamaan dibagi 18, menjadi
1 9
6 3
2 2
2
z
y x
Jejak pada bidang
xy
atau
z adalah elips
, 1
6 3
2 2
y x
jejak pada bidang xz atau
y
adalah hiperbola
, 1
9 3
2 2
z x
dan jejak pada bidang
yz
atau
x adalah hiperbola
. 1
9 6
2 2
z y
Jejak-xz Jejak-yz
Jejak-xy
40 Jadi, dapat disimpulkan grafik persamaannya adalah hiperboloid satu lembar yang
berada pada posisi standar. Seperti pada Gambar 3.6. Perintah pada Command Window Maple untuk memplot grafiknya:
withplots: f:=6x2+3y2-2z2=18:
implicitplot3df,x=-3..3,y=-4..4,z=- 4..4,grid=[25,25,25],scaling=constrained,axes=boxed;
Gambar 3.6. Hiperboloid satu lembar: 18
2 3
6
2 2
2
z
y x
3.4 Hiperboloid Dua Lembar
Sebuah hiperboloid dua lembar memiliki persamaan dengan bentuk
1
2 2
2 2
2 2
C z
B y
A x
Permukaan disketsa pada gambar 3.7. Misalkan
y
x
, perpotongan
z
berada di
. C
z
Perpotongan
y
adalah persamaan 1
2 2
B y
dengan solusi tak riil. Begitu juga dengan perpotongan
x adalah persamaan 1
2 2
A x
dengan solusi tak riil. Oleh karena itu, permukaan tidak memotong sumbu
y
dan x . Jejak
pada bidang
yz
atau
x adalah hiperbola
, 1
2 2
2 2
B y
C z
jejak pada bidang xz atau
y
adalah hiperbola
41
, 1
2 2
2 2
A x
C z
dan jejak pada bidang
xy
atau
z tidak ada karena grafik tidak melalui
bidangnya. Irisan yang dibentuk oleh bidang k
z k sebuah konstanta adalah
elips
, 1
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
C k
A x
C k
B y
, k
z
. C
k
sementara itu bidang kosong jika .
C k
Irisan yang dibentuk oleh bidang
k y
adalah hiperbola
, 1
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
B k
A x
B k
C z
, k
y
dan irisan yang dibentuk oleh bidang k
x adalah hiperbola
, 1
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
A k
B y
A k
C z
. k
x
Masing- masing jejak ditunjukkan pada gambar 3.7.
Gambar 3.7. Hiperboloid dua lembar:
1
2 2
2 2
2 2
C z
B y
A x
Contoh 3.4 Deskripsikan permukaan kuadrat yang persamaannya adalah
12 3
2
2 2
2
z y
x Kedua ruas persamaan dibagi 12, menjadi
Jejak-xz Jejak-yz
Tanpa Jejak-xy Paralel
Bidang - yz
42
1 12
4 6
2 2
2
z y
x
Jejak pada bidang
yz
atau
x adalah hiperbola
, 1
4 12
2 2
y z
jejak pada bidang xz atau
y
adalah hiperbola
, 1
6 12
2 2
x z
dan jejak pada bidang
xy
atau
z tidak ada karena grafik tidak melalui
bidangnya. Jadi, dapat disimpulkan grafik persamaannya adalah hiperboloid dua lembar yang berada pada posisi standar. Seperti pada Gambar 3.8. Perintah pada
Command Window Maple untuk memplot grafiknya:
withplots: f:=-2x2-3y2+z2=12:
implicitplot3df,x=-5..5,y=-4..4,z=- 7..7,grid=[25,25,25],axes=boxed;
Gambar 3.8. Hiperboloid dua lembar: 12
3 2
2 2
2
z y
x
3.5 Paraboloid Eliptik
