4
i. Menganalisa atau menentukan langkah-langkah perubahan bentuk umum
permukaan kuadrat menjadi bentuk standar dengan menggunakan diagonalisasi matriks.
ii. Mengklasifikasikan suatu permukaan kuadrat sesuai dengan cirinya.
iii. Mensketsa hasil gambar bentuk standar permukaan kuadrat secara manual.
iv. Memplot gambar grafik permukaan kuadrat dan melihat kesesuaian hasil
transformasinya.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut: i.
Membantu penulis dalam menerapkan ilmu dan pengetahuan yang didapat
selama masa perkuliahan ke dalam dunia nyata.
ii. Penggunaan diagonalisasi matriks diharapkan dapat membantu setiap
permasalahan penyederhanaan bentuk kuadrat dengan 3 variabel yang sering muncul pada permasalahan statistika dan fisika juga pada bidang
ilmu lainnya.
iii. Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan
untuk mahasiswa matematika dan ilmu terapan lainnya, terlebih bagi
mahasiswa yang akan melakukan penelitian serupa.
1.6 Tinjauan Pustaka
Anton dan Rorres 2005 menuliskan bentuk kuadrat dalam
n
x x
x ,...,
,
2 1
pada notasi matriks dapat ditulis
x
T
Ax
n
x x
x
2 1
A
n
x x
x
2 1
dengan matriks
A
berordo n
n .
Sebuah persamaan kuadrat dengan bentuk
5
2 2
f ey
dx cxy
by ax
1.2 di mana a, b dan c adalah adalah tidak semua nol dan
f
e d
c b
a ,
, ,
, ,
ℝ, disebut persamaan kuadrat di dalam
x dan
y
atau disebut juga irisan kerucut.
Persamaan 2 dapat ditulis dalam bentuk matriks, yaitu
2 2
f
y x
e d
y x
b c
c a
y x
atau
x
T
Ax + Kx + f = 0
di mana f
y
x ,
b
c c
a A
2 2
,
e d
K
Grafik- grafik persamaan kuadratik dalam x dan y dinamakan irisan kerucut conic section. Bentuk irisan kerucut yang diperoleh adalah berupa elips, lingkaran,
parabola atau hiperbola. Persamaan paling sederhana untuk irisan kerucut
terbentuk apabila grafiknya itu diletakkan pada posisi standar tertentu yang relatif
terhadap sumbu- sumbu koordinat yang digunakan. Gambar 1.2 memperlihatkan empat irisan kerucut dasar beserta persamaan- persamaannya ketika grafik- grafik
tersebut berada pada posisi standarnya.
Gambar 1.2. Irisan kerucut
Lingkaran Elips
Parabola Hiperbola
6
Berikut adalah empat bentuk persamaan dari irisan kerucut, yaitu
Gambar 1.3. Lingkaran
Gambar 1.4.
Elips
Gambar 1.5. Hiperbola
, ;
1
2 2
2 2
b
a b
x a
y x
y 0, a
a, 0 -a, 0
0, -a ;
1
2 2
2 2
a
a y
a x
b a
a y
b x
; 1
2 2
2 2
x y
0, b
a, 0 -a, 0
0, -b
0, a
0, -a
x b
a y
x
b a
y
a b
b y
a x
; 1
2 2
2 2
x y
0, b a, 0
-a, 0
0, -b
x y
x y
, ;
1
2 2
2 2
b
a b
y a
x 0, a
0, -a
x a
b y
x
a b
y
7
Gambar 1.6. Parabola
1.7 Metodologi Penelitian
Adapun metodologi yang digunakan dalam penelitian ini adalah menggunakan metode kepustakaan, yaitu dengan mengumpulkan dan membaca informasi-
informasi serta literatur yang berkaitan.
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
i. Mencari, mempelajari dan menelaah sumber-sumber informasi yang
berhubungan dengan topik yang diteliti. ii.
Mencari beberapa persoalan umum permukaan kuadrat yang berbeda dengan koefisien- koefisien yang memberi ciri suatu permukaan kuadrat
tertentu. iii.
Menentukan matriks yang bersesuaian pada masing- masing persoalan. iv.
Mendiagonalkan matriks yang asosiatif dari matriks yang dihasilkan dengan menggunakan diagonalisasi matriks simetris.
v.
Mensketsa grafik dari bentuk standar yang telah disederhanakan.
vi. Memplot grafik dari bentuk umum permukaan kuadrat pada software
sederhana Maple guna memastikan hasil analisis sesuai dengan
visualisasinya.
vii.
Menyimpulkan hasil analisis perubahan sesuai dengan perubahannya.
2
kx y
k0 y
x
2
ky x
k0 y
x
k0 y
x k0
y
x
8
1.8 Diagram Konsep
