10
Contoh 2.2 Misal
3
1 5
2 A
dan
2 1
5 3
B maka
I AB
1
1 2
1 5
3 3
1 5
2
I BA
1
1 3
1 5
2 2
1 5
3
Definisi 2.1.4 Jika
A
adalah matriks bujursangkar, maka minor dari entri
ij
a dinyatakan sebagai
ij
M dan didefinisikan sebagai determinan dari submatriks yang tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari
A
. Nilai
ij j
i
M
1
dinyatakan sebagai
ij
C dan disebut sebagai kofaktor dari entri
ij
a . Determinan dapat dinotasikan
A
n n
C a
C a
C a
1 1
12 12
11 11
...
.
Contoh 2.3 Misalkan
8 4
1 6
5 2
4 1
3 A
Determinan dari matriks
A
adalah
A
= 4
1 5
2 4
8 1
6 2
1 8
4 6
5 3
13 13
12 12
11 11
C a
C a
C a
46 12
10 48
3 4
10 1
16 3
2.2 Sistem Persamaan Linier Homogen
Definisi 2.2.1 Suatu sistem persamaan linier disebut homogen jika semua bentuk
konstantanya adalah 0; yaitu, sistem ini memiliki bentuk
11
... ...
2 2
22 1
21 1
2 12
1 11
n n
n n
x a
x a
x a
x a
x a
x a
...
2 2
1 1
n mn
m m
x a
x a
x a
Setiap sistem persamaan linier homogen adalah konsisten karena semua sistem memiliki solusi
1
x
,
2
x
, ... ,
n
x . Solusi ini disebut solusi trivial; jika
terdapat solusi lain, maka solusi-solusi tersebut disebut solusi nontrivial.
Contoh 2.4 Suatu sistem persamaan linier sebagai berikut
2 1
2 2
x x
−
3
x +
5
x = 0
1
x −
2
x +
3
2x −
4
3x +
5
x = 0
1
x +
2
x −
3
2x −
5
x = 0
3
x +
4
x +
5
x = 0 Matriks yang diperbesar untuk sistem tersebut adalah
1 1
1 1
2 1
1 1
3 2
1 1
1 1
2 2
Dengan mereduksi matriks tersebut menjadi bentuk eselon baris, kita memperoleh
1 1
1 1
1 1
Sistem persamaan yang bersesuaian adalah
1
x +
2
x +
5
x = 0
3
x +
5
x = 0
4
x = 0 Dengan menyelesaikan variabel-variabel utama diperoleh
5 2
1
x x
x
5 3
x x
12
4
x
Jadi, solusi umumnya adalah t
s x
1
, s
x
2
, t
x
3
,
4
x
, t
x
5
Perhatikan bahwa solusi trivial diperoleh bila
t s
.
2.3 Ruang Vektor dengan Ruang Hasil Kali Dalam
Definisi 2.3.1 Hasil kali dalam inner product pada sebuah ruang vektor real
V
adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah bilangan real u,v dengan sepasang vektor u dan v di dalam
V
sedemikan hingga aksioma-aksioma berikut
ini terpenuhi bagi semua vektor u, v dan w di dalam
V
dan semua bilangan skalar k .
i.
u, v = v, u
Aksioma kesimetrian ii.
u + v, w = u, w + v, w
Aksioma penjumlahan iii.
ku, v = k u, v
Aksioma homogenitas iv.
v, v ≥ 0
Aksioma positivitas
dan v, v = 0 jika dan hanya jika
.
v
Sebuah ruang vektor real yang memiliki sebuah hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam real real inner product space.
Definisi 2.3.2 Jika
V
adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka norma norm
atau panjang length sebuah vektor u di dalam
V
dinotasikan dengan ||u|| dan
didefinisikan sebagai
||u|| = u, u
12
Jarak distance antara dua buah titik vektor u dan v dinotasikan dengan du, v
dan didefinisikan sebagai
du, v = || u - v ||
Contoh 2.5 Misalkan u = u
1
, u
2
dan v = v
1
, v
2
adalah vektor-vektor pada
2
R
. Hasil kali dalam Euclidean berbobot
u, v = 3u
