42
1 12
4 6
2 2
2
z y
x
Jejak pada bidang
yz
atau
x adalah hiperbola
, 1
4 12
2 2
y z
jejak pada bidang xz atau
y
adalah hiperbola
, 1
6 12
2 2
x z
dan jejak pada bidang
xy
atau
z tidak ada karena grafik tidak melalui
bidangnya. Jadi, dapat disimpulkan grafik persamaannya adalah hiperboloid dua lembar yang berada pada posisi standar. Seperti pada Gambar 3.8. Perintah pada
Command Window Maple untuk memplot grafiknya:
withplots: f:=-2x2-3y2+z2=12:
implicitplot3df,x=-5..5,y=-4..4,z=- 7..7,grid=[25,25,25],axes=boxed;
Gambar 3.8. Hiperboloid dua lembar: 12
3 2
2 2
2
z y
x
3.5 Paraboloid Eliptik
Sebuah paraboloid eliptik memiliki persamaan dengan bentuk
43
z B
y A
x
2 2
2 2
Permukaan disketsa pada gambar 3.9. Semua perpotongan adalah sebuah titik tunggal 0, 0, 0. Jejak pada bidang
xy
atau
z adalah titik tunggal 0, 0, 0,
jejak pada bidang xz atau
y
adalah parabola z
A x
2 2
dan jejak pada bidang
yz
atau
x adalah parabola
z B
y
2 2
Irisan yang dibentuk oleh bidang
k z
k sebuah konstanta adalah elips jika
k
dan kosong jika
k
, 1
2 2
2 2
kB y
kA x
, k
z
irisan yang dibentuk oleh bidang k
x adalah parabola
2 2
2 2
A k
z B
y ,
k x
dan irisan yang dibentuk oleh bidang k
y adalah parabola
2 2
2 2
B k
z A
x .
k y
Masing- masing jejak ditunjukkan pada gambar 3.9.
Gambar 3.9. Paraboloid eliptik : z
B y
A x
2 2
2 2
Jejak-xz Jejak-yz
Jejak-xy Satu titik
Paralel Bidang - xy
44
Tidak hanya sumbu z yang bisa sebagai sumbu simetris melainkan salah satu di antara x, y atau z.
Contoh 3.5 Deskripsikan permukaan kuadrat yang persamaannya adalah
4 16
2 2
z
y x
Kedua ruas persamaan dibagi 16, menjadi 4
16
2 2
z
y x
Jejak pada bidang
xy
atau
z adalah titik tunggal 0, 0, 0, jejak pada bidang
xz atau
y
adalah parabola
, 4
1
2
x z
dan jejak pada bidang
yz
atau
x adalah parabola
. 4
2
y z
Jadi, dapat disimpulkan grafik persamaannya adalah paraboloid eliptik yang
berada pada posisi standar. Seperti pada Gambar 3.10. Perintah pada Command Window Maple untuk memplot grafiknya:
withplots: f:=x2+16y2-4z=0:
implicitplot3df,x=-5..5,y=-2..2,z=- 1..5,grid=[25,25,25],scaling=constrained,axes=boxed;
45 Gambar 3.10. Paraboloid eliptik:
4 16
2 2
z
y x
3.6 Paraboloid Hiperbolik
Sebuah paraboloid hiperbolik memiliki persamaan dengan bentuk z
B y
A x
2 2
2 2
Permukaan disketsa pada gambar 3.11. Seperti halnya paraboloid eliptik, semua perpotongan adalah sebuah titik tunggal 0, 0, 0. Jejak pada bidang
xz atau
y parabola yang terbuka ke atas
,
2 2
z A
x
jejak pada bidang
yz
atau
x
adalah parabola yang terbuka ke bawah ,
2 2
z B
y
dan jejak pada bidang
xy
atau
z adalah sepasang garis lurus yang
berpotongan
. x
A B
y
Irisan yang dibentuk oleh bidang
k x
k sebuah konstanta adalah parabola yang terbuka ke bawah
z A
k B
y
2 2
2 2
, k
x
irisan yang dibentuk oleh bidang k
y adalah parabola yang terbuka ke atas
z B
k A
x
2 2
2 2
, k
y
dan irisan yang dibentuk oleh bidang k
z adalah hiperbola
1
2 2
2 2
k B
y k
A x
. k
z
Masing- masing jejak ditunjukkan pada gambar 3.11.
46
Gambar 3.11. Paraboloid hiperbolik: z
B y
A x
2 2
2 2
Contoh 3.6 Deskripsikan permukaan kuadrat yang persamaannya adalah
2 2
2 2
z
y x
Kedua ruas persamaan dibagi 2, menjadi
2
2 2
z
y x
Jejak pada bidang
xy
atau
z adalah sepasang garis yang berpotongan
, x
y
jejak pada bidang xz atau
y
adalah parabola yang terbuka ke atas ,
2
2
x z
dan jejak pada bidang
yz
atau
x adalah parabola yang terbuka ke bawah
. 2
2
y z
Jadi, dapat disimpulkan grafik persamaannya adalah paraboloid hiperbolik yang berada pada posisi standar. Seperti pada Gambar 3.12. Perintah pada Command
Window Maple untuk memplot grafiknya:
withplots: f:=2x2-2y2-z=0:
Jejak-xz Jejak-yz
Paralel Bidang - xy
47
implicitplot3df,x=-1..1,y=-1..1,z=- 1..1,grid=[25,25,25],scaling=constrained,axes=boxed;
Gambar 3.12. Paraboloid hiperbolik: 2
2
2 2
z
y x
BAB 4
PERUBAHAN BENTUK PADA PERMUKAAN KUADRAT
Tidak ada permukaan kuadrat yang berada pada posisi standarnya yang memiliki suku
xy
,
xz
dan
yz
yaitu, suku hasil kali silang di dalam persamaannya; keberadaan suku hasil kali silang mengindikasikan bahwa grafik permukaan
kuadrat diputar sehingga keluar dari posisi standarnya Gambar 4.1a. Demikian pula, tidak ada permukaan kuadrat yang berada pada posisi standarnya yang
memiliki suku
2
x dan
x
atau
2
y dan
y
atau
2
z dan z sekaligus. Apabila tidak terdapat suku hasil kali silang pada permukaan kuadrat tersebut mengindikasikan
bahwa permukaan kuadrat tersebut ditranslasikan keluar dari posisi standarnya Gambar 4.1b. Keberadaan salah satu pasangan suku tersebut dan sebuah hasil
kali silang umumnya mengindikasikan bahwa permukaan kuadrat yang bersangkutan dirotasikan dan ditranslasikan keluar dari posisi standarnya Gambar
4.1c.
a Dirotasikan b Ditranslasikan
c Dirotasikan dan Ditranslasikan
Gambar 4.1. Grafik yang dirotasikan dan ditranslasikan
Salah satu teknik untuk mengidentifikasikan grafik permukaan kuadrat yang tidak berada pada posisi standarnya adalah merotasikan dan mentranslasikan
kembali ke posisi standar, yaitu mengubah sumbu- sumbu koordinat
xy
untuk mendapatkan sebuah sistem koordinat
y x
yang relatif terhadap permukaan kuadrat yang berada pada posisi standar. Setelah hal tersebut dilakukan maka
y
x y
x y
x
49 sistem koordinat
y x
akan mengambil salah satu di antara bentuk- bentuk standar permukaan kuadrat.
4.1 Permukaan Kuadrat yang Ditranslasi
