52
9
x x
, 12
y
y ,
z z
menghasilkan
3 1
7 1
2 2
z
y x
Jadi, dapat disimpulkan grafik persamaannya adalah paraboloid hiperbolik yang ditranslasi oleh 9,
12
, 0. Seperti pada Gambar 4.3. Perintah pada Command Window Maple untuk memplot grafiknya:
withplots: f:=7x2-3y2+126x+72y+z+135=0:
implicitplot3df,x=-15..15,y-15..15,z- 15..15,grid=[20,20,20],scaling=constrained,axes=boxed;
Gambar 4.3. Paraboloid hiperbolik: 135
72 126
3 7
2 2
z y
x y
x
4.2 Permukaan Kuadrat yang Dirotasi
Langkah- langkah untuk mengidentifikasikan sebuah permukaan kuadrat yang dirotasikan keluar dari posisi standarnya sama dengan langkah- langkah
mengidentifikasi irisan kerucut pada koordinat xy. Jika Q adalah sebuah permukaan kuadrat yang persamaaannya dalam koordinat
xyz
adalah
x
T
Ax + Kx + j = 0 1
53 Akan dirotasikan sumbu- sumbu koordinat
xyz
sedemikian rupa sehingga permukaan kuadrat tersebut berada dalam sistem koordinat
z y
x yang baru tidak
mengandung suku hasil kali silang. Hal ini dapat dilakukan dengan langkah- langkah berikut :
Langkah 1. Carilah sebuah matriks P yang secara ortogonal mendiagonalisasi
x
T
Ax.
Langkah 2. Pertukarkan kedua kolom matriks P , jika diperlukan, untuk
menjadikan
1
P
. Hal ini memastikan bahwa transformasi koordinat ortogonal
x =Px
’, yaitu
z
y x
P z
y x
2
Langkah 3. Untuk mendapatkan persamaan bagi
C
di dalam sistem z
y x
, substitusikan 2 ke dalam 1. Hal ini menghasilkan
Px
’
T
APx ’ + KPx’ + j = 0
atau
x
’
T
P
T
APx ’ + KPx’ + j = 0
3 Karena P secara ortogonal mendiagonalisasi
A
,
3 2
1
AP P
T
di mana
2 1
,
dan
3
adalah nilai- nilai eigen dari
A
. Sehingga, 3 dapat dituliskan kembali sebagai
33 32
31 23
22 21
13 12
11 3
2 1
j
z y
x p
p p
p p
p p
p p
i h
g z
y x
z y
x
atau
2 3
2 2
2 1
j
z i
y h
x g
z y
x
di
mana
31 21
11
ip hp
gp g
,
32 22
12
ip hp
gp h
dan
33 23
13
ip hp
gp i
. Persamaan ini tidak memiliki suku hasil kali
silang.
54
Contoh 4.3
Identifikasikan sebuah permukaan kuadrat yang persamaannya adalah 36
4 20
16 2
11 5
2 2
2
yz xz
xy z
y x
Karena persamaan mengandung suku hasil kali silang, maka diselesaikan dengan diagonalisasi matriks. Bentuk matriks dari persamaan di atas adalah
x
T
Ax = 36
atau
36 2
2 10
2 11
8 10
8 5
z
y x
z y
x
dengan
2
2 10
2 11
8 10
8 5
A
Akan dicari terlebih dahulu nilai eigen matriks
A
, yaitu:
18 9
9 2
2 10
2 11
8 10
8 5
A I
Nilai eigen dari
A
adalah
9
,
9
dan
18
Untuk
9
, maka:
11 2
10 2
20 8
10 8
14 9
A I
dan misal x
z
y x
adalah penyelesaian tak trivial dari
A I
9
x = 0, yaitu:
11 2
10 2
20 8
10 8
14 z
y x
akan diselesaikan dengan operasi baris elementer sebagai berikut
1
2 1
2 7
16 1
54 10
14 108
8 10
2 ~
11 2
10 2
20 8
10 8
14
1 3
3 2
2 1
b b
b b
b b
55
1 2
2 1
~ 1
2 1
1 8
~
2 2
1 2
3 2
1
b b
b b
b b
b
Persamaan yang didapat adalah 2
y
x dan
2
z y
. Misalkan
s s
y x
2 2
2
,
s y
dan
s s
y z
2 2
2
. Sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan
1
adalah
x
2
1 2
2 2
s s
s s
z y
x
maka v
1
2
1 2
dalah basis pada ruang eigen yang bersesuaian dengan
9
.
Basis v
1
dinormalisasi, diperoleh dengan proses GramSchmidt :
Normalisasi v
1
didapat p
1
yang normal
p
1
= v
1
|| v
1
||
3
2 3
1 3
2 2
1 2
3 1
Untuk
9
, maka :
7
2 10
2 2
8 10
8 4
9 A
I
dan misal x
z
y x
adalah penyelesaian tak trivial dari
A I
9
x = 0, yaitu:
7 2
10 2
2 8
10 8
4 z
y x
akan diselesaikan dengan operasi baris elementer sebagai berikut
1
1 1
1 4
5 2
72 4
10 36
8 10
2 ~
7 2
10 2
2 8
10 8
4
3 1
3 2
2 1
b b
b b
b b
56
1 1
1 2
~ 1
1 1
2 5
~
2 1
3 2
2 1
b b
b b
b b
Persamaan yang didapat adalah 2
y
x dan
z
y . Misalkan
s x
, s
x y
2 2
dan
s s
y z
2 2
. Sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan
9
adalah
x
2
2 1
2 2
s s
s s
z y
x
maka v
2
2 2
1
adalah basis pada ruang eigen yang bersesuaian dengan
9
.
Basis v
2
dinormalisasi, diperoleh dengan proses GramSchmidt :
Normalisasi v
2
didapat p
2
yang normal
p
2
= v
2
|| v
2
||
3 2
3 2
3 1
2 2
1 3
1
Untuk
18
, maka :
16 2
10 2
7 8
10 8
13 18
A I
dan misal x =
z
y x
adalah penyelesaian tak trivial dari
A I
18
x = 0, yaitu:
16
2 10
2 7
8 10
8 13
z y
x
akan diselesaikan dengan operasi baris elementer sebagai berikut
2 1
2 1
8 1
5 54
13 10
54 8
10 ~
16 2
10 2
7 8
10 8
13
3 1
3 2
2 1
b b
b b
b b
57
2 1
2 1
~ 2
1 1
1 5
4 ~
2 2
1 3
2 2
1
b b
b b
b b
b
Persamaan yang didapat adalah
2
z x
dan 2
z
y . Misalkan
s z
x 2
2
, s
z y
2 2
dan
s z
. Sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan
18
adalah
x
1
2 2
2 2
s s
s s
z y
x
maka v
3
1
2 2
adalah basis pada ruang eigen yang bersesuaian dengan
18
.
Basis v
3
dinormalisasi, diperoleh dengan proses GramSchmidt :
Normalisasi v
3
didapat p
3
yang normal
p
3
= v
3
|| v
3
||
3 1
3 2
3 2
1 2
2 3
1
A
adalah diagonalisasi ortogonal oleh matriks
P = [p
1
p
2
p
3
]
3 2
3 2
3 1
3 1
3 2
3 2
3 2
3 1
3 2
Karena
1
P
, transformasi koordinat ortogonal x = Px
’ adalah sebuah rotasi.
x
T
Ax = Px
’
T
APx ’ = x’
T
P
T
APx ’ = 36
Akan tetapi
3
2 3
2 3
1 3
1 3
2 3
2 3
2 3
1 3
2 2
2 10
2 11
8 10
8 5
3 2
3 1
3 2
3 2
3 2
3 1
3 1
3 2
3 2
AP P
T
9 9
18
kemudian
58
36 9
9 18
z y
x z
y x
atau
36 9
9 18
2 2
2
z
y x
atau
1 4
4 2
2 2
2
z
y x
Jadi, dapat disimpulkan grafik persamaannya adalah hiperboloid satu lembar yang dirotasi oleh matriks P. Seperti pada Gambar 4.4. Perintah pada Command
Window Maple untuk memplot grafiknya:
withplots: f:=5x2+11y2+2z2+16xy+20xz-4yz=36:
implicitplot3df,x=-10..10,y=-10..10,z=- 10..10,grid=[25,25,25],scaling=constrained,axes=boxed;
Gambar 4.4. Hiperboloid satu lembar: 36
4 20
16 2
11 5
2 2
2
yz xz
xy z
y x
Contoh 4.4 Identifikasikan sebuah permukaan kuadrat yang persamaannya adalah
32 4
4 4
4 4
4
2 2
2
yz
xz xy
z y
x Karena persamaan mengandung suku hasil kali silang, maka diselesaikan dengan
diagonalisasi matriks. Bentuk matriks dari persamaan di atas adalah
59
x
T
Ax = 32
atau
4 2
2 2
4 2
2 2
4
z y
x z
y x
dengan
4
2 2
2 4
2 2
2 4
A
Akan dicari terlebih dahulu nilai eigen matriks
A
, yaitu:
8 2
4 2
2 2
4 2
2 2
4
2
A I
Nilai eigen dari
A
adalah
2
dan
8
Untuk
2
, maka:
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 A
I
dan misal x
z
y x
adalah penyelesaian tak trivial dari
A I
2
x = 0, yaitu:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 z
y x
akan diselesaikan dengan operasi baris elementer sebagai berikut
1 1
1 2
~ 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 3
1 2
3
b b
b b
b
Persamaan yang didapat adalah
z y
x . Misalkan
t s
z y
x
,
s y
dan
t z
. Sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan
2
adalah
60
x
1 1
1 1
t s
t s
t s
z y
x
maka v
1
1
1
dan v
2
1
1
adalah basis pada ruang eigen yang bersesuaian
dengan
2
.
Basis v
1
dan v
2
dinormalisasi, diperoleh dengan proses GramSchmidt :
Normalisasi v
1
didapat p
1
yang normal
p
1
= v
1
|| v
1
||
2
1 2
1 1
1 2
1
Normalisasi v
2
didapat p
2
yang normal
p
2
= v
2
– v
2
,p
1
p
1
|| v
2
– v
2
,p
1
p
1
|| dengan
v
2
– v
2
,p
1
p
1
1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1 1
2 1
2 1
2 1
2 1
, 1
1 1
1
dan
|| v
2
– v
2
,p
1
p
1
||
2 6
1 4
1 4
1 1
2 1
2 1
2 2
2
sehingga
p
2
= v
2
– v
2
,p
1
p
1
|| v
2
– v
2
,p
1
p
1
||
6
2 6
1 6
1 1
2 1
2 1
6 2
Untuk
8
, maka :
4 2
2 2
4 2
2 2
4 8
A I
dan misal x
z
y x
adalah penyelesaian tak trivial dari
A I
8
x = 0, yaitu:
61
4
2 2
2 4
2 2
2 4
z y
x
akan diselesaikan dengan operasi baris elementer sebagai berikut
1 1
1 1
1 2
1 6
6 2
2 ~
4 2
2 2
4 2
2 2
4
3 2
2 1
2
b b
b b
b
1 1
1 1
2 ~
2 3
2 1
b
b b
b
Persamaan yang didapat adalah
z
x
dan
z y
. Misalkan
s z
x
,
s z
y
dan
s z
. Sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan
8
adalah
x
1
1 1
s s
s s
z y
x
maka v
3
1
1 1
adalah basis pada ruang eigen yang bersesuaian dengan
8
.
Basis v
3
dinormalisasi, diperoleh dengan proses GramSchmidt :
Normalisasi v
3
didapat p
3
yang normal
p
3
= v
3
|| v
3
||
3
1 3
1 3
1 1
1 1
3 1
A
adalah diagonalisasi ortogonal oleh matriks
P = [p
1
p
2
p
3
]
3
1 6
2 3
1 6
1 2
1 3
1 6
1 2
1
Karena
1
P
, transformasi koordinat ortogonal x = Px
’ adalah sebuah rotasi.
x
T
Ax = Px
’
T
APx ’ = x’
T
P
T
APx
’ = 32 Akan tetapi
62
3
1 6
2 3
1 6
1 2
1 3
1 6
1 2
1 4
2 2
2 4
2 2
2 4
3 1
3 1
3 1
6 2
6 1
6 1
2 1
2 1
AP P
T
8
2 2
kemudian
32 8
2 2
z
y x
z y
x
atau
32 8
2 2
2 2
2
z
y x
atau
1 4
16 16
2 2
2
z
y x
Jadi, dapat disimpulkan grafik persamaannya adalah elipsoid dirotasi oleh matriks P. Seperti pada Gambar 4.5. Perintah pada Command Window Maple untuk
memplot grafiknya:
withplots: f:=4x2+4y2+4z2+4xy+4xz+4yz-32=0:
implicitplot3df,x=-4..4,y=-4..4,z=- 4..4,grid=[25,25,25],scaling=constrained,axes=boxed;
63
Gambar 4.5. Elipsoid: 32
4 4
4 4
4 4
2 2
2
yz
xz xy
z y
x
4.2 Permukaan Kuadrat yang Ditranslasi dan Dirotasi
