Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Ruang Eigen

20 x T Ax = Py T APy = y T P T A Py = y T P T AP y = y T By

2.6 Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Ruang Eigen

Definisi 2.8.1 Misalkan A adalah sebuah matriks n n  . Skalar  disebut nilai eigen dari A ketika sebuah vektor x sedemikian hingga Ax = λx. Vektor x disebut vektor eigen dari A yang bersesuaian terhadap λ. Vektor eigen A terhadap λ yang didapat merupakan vektor tak nol di dalam ruang solusi pada sistem linier. Ruang solusi ini disebut ruang eigen yang tersusun atas basis ruang eigen. Dari persamaan Ax = λx didapatkan: λx – Ax = λI – A x 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11                                             n nn n n n n x x x a a a a a a a a a          Sistem persamaan homogen di atas mempunyai solusi tak trivial jika dan hanya jika   A I  . Penguraian determinan ini akan menghasilkan suatu polinomial    P berderajat n yang biasa disebut sebagai persamaan karakteristik. Metode pencarian akarnya dapat dicari dengan pemfaktoran, rumus ABC jika persamaan kuadrat dan pembagian sintetis aturan horner. Contoh 2.11            4 2 2 2 4 2 2 2 4 A Karena                        4 2 2 2 4 2 2 2 4     A I maka persamaan karakteristik matriks A adalah 21 4 2 2 2 4 2 2 2 4                 A I Dijabarkan sebagai berikut         4 2 4 2 4 2 2 2 4 2 2 2 3 3 3                        4 12 8 8 64 48 12 2 3             48 12 16 64 48 12 2 3            32 36 12 2 3            8 2 2      Jadi, nilai-nilai eigen dari matriks A adalah 2   dan 8   . Untuk 2   , maka:                      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A I dan misal x            z y x adalah penyelesaian tak trivial dari   A I  2 x = 0, yaitu:                                         2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x akan diselesaikan dengan operasi baris elementer sebagai berikut                                  1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 1       b b b b b Persamaan tunggal yang didapat adalah    z y x . Misalkan t z  , s y  dan t s z y x       . sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan 2   adalah x                                               1 1 1 1 t s t s t s z y x maka           1 1 dan           1 1 adalah basis pada ruang eigen yang bersesuaian dengan 22 2   . Untuk 8   , maka:                   4 2 2 2 4 2 2 2 4 8 A I dan misal x            z y x adalah penyelesaian tak trivial dari   A I  8 x = 0, yaitu:                                      4 2 2 2 4 2 2 2 4 z y x akan diselesaikan dengan operasi baris elementer sebagai berikut                                  1 1 1 1 2 1 1 3 1 6 1 6 1 6 1 2 1 2 1 4 2 2 2 4 2 2 2 4 3 1 3 2 2 1       b b b b b b                 1 1 1 1 6 1 6 1 3 2 3 2 3 1    b b b b b b Persamaan yang didapat adalah   z x dan   z y . Misalkan u z  , u z y   dan u z x   . sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan 8   adalah x                                  1 1 1 u u u u z y x maka           1 1 1 adalah basis pada ruang eigen yang bersesuaian dengan 8   .

2.7 Diagonalisasi Matriks dan Diagonalisasi secara Ortogonal