BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam membahas permasalahan-permasalahan statistika dan fisika sering dijumpai analisa-analisa masalah yang menyangkut fungsi-fungsi non linier,
misalnya mengenai bentuk-bentuk kuadrat. Bentuk kuadrat yang bisa digambarkan pada ruang tiga dimensi adalah permukaan kuadrat.
Anton dan Rorres 2005 menyebutkan, sebuah persamaan dengan bentuk
2 2
2
j iz
hy gx
fyz exz
dxy cz
by ax
1.1 di mana
f e
d c
b a
, ,
, ,
,
tidak semua bernilai nol dan
j
i h
g f
e d
c b
a ,
, ,
, ,
, ,
, ,
ℝ, disebut persamaan kuadrat di dalam variabel
y x,
dan z atau disebut juga permukaan kuadrat;
Persamaan 1 dapat ditulis dalam bentuk matriks
2 2
2 2
2 2
j
z y
x i
h g
z y
x c
f e
f b
d e
d a
z y
x
atau
x
T
Ax + Kx + j = 0
di mana
x
z
y x
,
c
f e
f b
d e
d a
A 2
2 2
2 2
2
,
i h
g K
Grafik persamaan kuadratik dalam
y x,
dan z disebut kuadrat quadric
atau permukaan kuadrat quadric surface. Persamaan paling sederhana untuk
permukaan kuadrat terbentuk apabila permukaan itu diletakkan pada posisi
2
standar tertentu relatif terhadap sumbu-sumbu koordinat yang digunakan. Gambar 1.1 memperlihatkan enam bentuk standar permukaan kuadrat.
Elipsoid Kerucut Eliptik
1
2 2
2 2
2 2
C
z B
y A
x
2 2
2 2
2 2
C z
B y
A x
Hiperboloid Satu Lembar Hiperboloid Dua Lembar
1
2 2
2 2
2 2
C
z B
y A
x 1
2 2
2 2
2 2
C z
B y
A x
Paraboloid Eliptik Paraboloid Hiperbolik
z B
y A
x
2 2
2 2
z B
y A
x
2 2
2 2
Gambar 1.1. Enam bentuk standar permukaan kuadrat
Pada penyederhanaan permukaan kuadrat, berkaitan dengan matriks- matriks diagonal guna menyederhanakan matriks menjadi matriks diagonal yang
3
lebih sederhana, apabila dikembalikan pada hasil perkalian matriks-matriksnya terdapat perubahan pada persamaannya. Yaitu, perubahan persamaan dari bentuk
umum ke bentuk standar kemudian membuat persamaan yang lebih mudah untuk diselesaikan. Permasalahan ini disebut diagonalisasi matriks simetris pada
permukaan kuadrat.
1.2 Perumusan Masalah
Kategori