Gambar 4.2 Plot l
x
tabel hayat lengkap dan l
x
tabel hayat ringkas USA 2005 Selanjutnya data pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 akan
digunakan sebagai alat untuk membandingkan keempat metode interpolasi tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005, yaitu dengan cara menyusun tabel hayat
lengkap Amerika Serikat 2005 berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005. Ada beberapa metode interpolasi tabel hayat ringkas yang dapat digunakan
untuk menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas, diantaranya adalah metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki.
4.1 Metode Elandt-Johnson
Elandt-Johnson 1980 menyatakan bahwa tabel hayat lengkap dapat disusun berdasarkan tabel hayat ringkas dengan menggunakan formula smoothing
dari tiga skema interpolasi menurut umur tertentu, yaitu umur bayi dan anak-anak 0-10 tahun, umur remaja dan dewasa 10-74 tahun serta umur di atas 74 tahun.
Untuk interval umur 0-74 tahun, metode Elandt-Johnson menggunakan formula enam titik interpolasi Lagrange, menyatakan bahwa jumlah penduduk
yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari tabel hayat ringkas.
∏ ∏
.
20 40
60 80
100 Umur x
20 000 40 000
60 000 80 000
100 000 l
x
l
x
tabel hayat ringkas l
x
tabel hayat lengkap
Berdasarkan persamaan 4.1, koefisien yang digunakan untuk menghitung pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dapat diperoleh dengan
menggunakan fungsi basis interpolasi Lagrange pada persamaan 4.1 yaitu:
∏ ∏
; , , … , .
Nilai koefisien yang diperoleh berdasarkan persamaan 4.2 diberikan pada Tabel 4.1
dan Tabel 4.2 .
Tabel 4.1 Koefisien untuk menghitung dengan
A
l
1 A
l
5 A
l
10 A
l
15 A
l
20 A
l
25 C
l
1
1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
C
l
2
0.562030 0.717600 -0.478400
0.283886 -0.100716 0.015600
C
l
3
0.273392 1.047200 -0.531911
0.299200 -0.103747 0.015867
C
l
4
0.096491 1.108800 -0.328533
0.172800 -0.058358 0.008800
C
l
5
0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
C
l
6
-0.041667 0.798000 0.354667 -0.152000 0.048000 -0.007000
C
l
7
-0.048872 0.561600 0.665600 -0.240686 0.072758 -0.010400
C
l
8
-0.037281 0.333200 0.888533 -0.244800 0.070147 -0.009800
C
l
9
-0.018379 0.140800 1.001244 -0.160914 0.043116 -0.005867
C
l
10
0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000
Perhitungan nilai pada interval umur 0 – 10 tahun menggunakan enam
titik interpolan yaitu x
1
= 1, x
2
= 5, x
3
= 10, x
4
= 15, x
5
= 20 dan x
6
= 25. Misalkan untuk x = 2 maka untuk menghitung
C
l
2
menggunakan persamaan 4.1, sehingga diperoleh:
. .
. .
. .
Perhitungan dilakukan dengan cara yang sama sampai x = 10.
Tabel 4.2 Koefisien untuk menghitung dengan
A
l
5m-10 A
l
5m-5 A
l
5m A
l
5m+5 A
l
5m+10 A
l
5m+15 C
l
5m+1
0.008064 -0.07392 0.88704
0.22176 -0.04928 0.006336
C
l
5m+2
0.011648 -0.09984 0.69888
0.46592 -0.08736 0.010752
C
l
5m+3
0.010752 -0.08736 0.46592
0.69888 -0.09984 0.011648
C
l
5m+4
0.006336 -0.04928 0.22176
0.88704 -0.07392 0.008064
C
l
5m+5
0.000000 0.000000 0.000000
1.000000 0.000000 0.000000
dengan:
A
l
5m+j
: jumlah penduduk yang bertahan hidup pada umur 5m+j dari tabel hayat ringkas dengan j = -10, -5, 0, 5, 10, 15
C
l
5m+i
: jumlah penduduk yang bertahan hidup pada umur 5m+i untuk menaksir tabel hayat lengkap dengan i = 1, …, 5
m = 2, 3, ..., 14 Berdasarkan Tabel 4.2 perhitungan nilai
dengan menggunakan m = 2 .
. .
. .
. Perhitungan nilai
untuk dilakukan dengan cara yang sama
seperti perhitungan untuk nilai di atas, hingga diperoleh jumlah penduduk
yang bertahan hidup mencapai umur tepat x pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Elandt-Johnson untuk
lihat Lampiran 6.
Interpolasi terakhir untuk umur di atas 74 tahun diasumsikan berdistribusi Gompertz, dengan fungsi survival sebagai berikut:
4.3 dengan x 0, R 0,
, dan
untuk umur x dan parameter a dan R. Langkah awal dalam metode ini adalah menentukan logaritma dari rasio
nilai yang berdekatan, cara ini akan menghasilkan parameter
dan untuk
umur x. Nilai penduga untuk dan
, yaitu dan
̂ dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan 4.4. Proses perhitungan akan berhenti pada saat
dan
̂ untuk ω
, dengan ω adalah umur tertua pada tabel hayat ringkas
Amerika Serikat 2005 lihat Lampiran 1. ̂
⁄
dengan log
log , , … , ω
4.4
Setelah menentukan nilai dan
̂ , maka fungsi survival Gompetz pada persaman 4.3 menjadi:
̂
dengan , … , ;
, , … , ω , … ,
ω ; ω
4.5 Kemudian jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap
Amerika Serikat 2005 yakni untuk umur di atas 74 tahun dapat dihitung
menggunakan persamaan 4.6. dengan
, … , ; , , … , ω
, … , ω ;
ω .
Hasil perhitungan dan
̂ dengan menggunakan persamaan 4.4 dan 4.5 dapat dilihat pada Lampiran 5. Selanjutnya tabel hayat lengkap Amerika Serikat
2005 dengan menggunakan metode Elandt-Johnson dapat disusun berdasarkan persamaan 4.1 dan 4.6 lihat Lampiran 6. Kurva pada tabel hayat lengkap
dengan metode Elandt-Johnson disajikan ke dalam Gambar 4.3.
Gambar 4.3 Kurva l
x
USA 2005 dengan metode Elandt-Johnson
20 40
60 80
100 Umur
x 20000
40000 60000
80000 100000
l
x
Perbandingan kurva l
x
pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 sebenarnya dengan l
x
pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 berdasarkan metode Elandt-Johnson dapat dilihat pada Gambar 4.4.
Gambar 4.4 Kurva l
x
USA 2005 sebenarnya dan l
x
metode Elandt-Johnson Pada Gambar 4.4, kurva l
x
pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Elandt-Johnson memiliki perbedaan yang kecil sehingga nilai
koefisien determinasi R
2
≈
1.
4.2 Metode Brass Logit
Brass 1971 menemukan suatu hubungan linear antara fungsi dari
x
l
dan fungsi
s x
l yaitu: logit1
logit1
s x
x
l l
α β
− = +
− 4.7
dengan
1 1
logit1 ln
2
x x
x
l l
l ⎛
⎞ −
− =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
s x
l merupakan jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat standar, sedangkan
α dan β adalah parameter yang masing-masing menyatakan perubahan level kematian dari tabel hayat standar dan
β menyatakan slope kematian. Perubahan nilai
β berhubungan dengan distribusi umur yang berbeda yaitu apakah kematian umur anak-anak lebih banyak atau lebih sedikit
dibandingkan dengan kematian umur dewasa. Jika nilai β 1 berarti kematian
20 40
60 80
100 Umur
x 20 000
40 000 60 000
80 000 100 000
l
x
R
2
1.
l
x
Elandt
Johnson l
x
Asli
umur anak-anak lebih rendah dibandingkan dengan kematian umur dewasa, sebaliknya bila
β 1 berarti kematian umur anak-anak lebih tinggi dibandingkan dengan kematian umur dewasa. Perubahan nilai
α dan β pada persamaan 4.7 dapat digunakan untuk memprediksi angka kematian di masa depan.
Metode Brass Logit sangat bergantung pada penentuan tabel hayat standar yang akan digunakan, oleh karena itu sebelum tabel hayat standar digunakan
untuk menyusun tabel hayat lengkap terlebih dahulu perlu diadakan pengujian linearitas antara logit 1 - l
x
terhadap logit 1 -
S
l
x
menggunakan persamaan 4.7. Pada penelitian ini tabel hayat yang dijadikan sebagai standar tabel hayat standar
adalah tabel hayat Amerika Serikat 2000. Nilai dugaan parameter
α dan β ditentukan menggunakan metode kuadrat
terkecil linear dengan bantuan software Mathematica 7.0. Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh nilai dugaan parameter
α
= - 0.125137 SE 0.014717 dan β = 0.926807 SE 0.007482, R
2
= 0.998633 yang berarti pemilihan tabel hayat standar sudah tepat. Hubungan linear antara nilai logit dari l
x
pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 dengan nilai logit l
x
tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2000 dapat dilihat pada Gambar 4.5.
Gambar 4.5 Plot pendugaan parameter pada metode Brass Logit Berdasarkan hasil perhitungan di atas, besarnya nilai
β = 0.926807 1, artinya angka kematian penduduk Amerika Serikat 2005 usia anak-anak lebih
R
2
= 0.998633
α
= - 0.125137; β = 0.926807
4 2
2 4
logit 1
S
l
x
4 2
2 4
logit 1 l
x
tinggi dibandingkan dengan usia dewasa. Parameter β yang nilai mendekati 1
menunjukkan bahwa perubahan kurva l
x
pada tabel hayat Amerika Serikat 2005 tidak berubah drastis dari tabel hayat standar yang dipilih yaitu tabel hayat
Amerika Serikat 2000. Jumlah penduduk yang bertahan hidup dari tabel hayat lengkap dapat
diturunkan dari persamaan 4.7 dan persamaan 4.8, sehingga diperoleh persamaan 4.9.
1 1
ex p 2 lo g it 1
x S
x
l l
α β
= ⎡
⎤ +
+ −
⎣ ⎦
4.9 Bukti
:
logit 1 logit 1
S x
x
l l
α β
− = +
− 1
1 ln
logit 1 2
S x
x x
l l
l α β
⎛ ⎞
− = +
− ⎜
⎟ ⎝
⎠ 1
ln 2
logit 1
S x
x x
l l
l α β
⎛ ⎞
− =
+ −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 exp 2
logit 1
S x
x x
l l
l α β
⎛ ⎞
− ⎡
⎤ =
+ −
⎜ ⎟
⎣ ⎦
⎝ ⎠
1 1
exp 2 logit 1
S x
x
l l
α β
⎡ ⎤
− = +
− ⎣
⎦ 1
1 exp 2 logit 1
S x
x
l l
α β
⎡ ⎤
= + +
− ⎣
⎦
1 1 exp 2
logit 1
x S
x
l l
α β
= ⎡
⎤ +
+ −
⎣ ⎦
Berdasarkan perhitungan parameter α dan β di atas, persamaan 4.9 menjadi
1 1 exp 2
0.125137 0.926807logit 1
x S
x
l l
= ⎡
⎤ +
− +
− ⎣
⎦
4.10
Nilai l
x
pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Brass Logit diperoleh dengan mensubtitusi nilai
S
l
x
yaitu jumlah penduduk umur tertentu yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2000
tabel hayat standar. Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Brass Logit dapat dilihat pada Lampiran 8. Kurva l
x
pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 berdasarkan metode Brass Logit dapat
dilihat pada Gambar 4.6, sedangkan perbandingan l
x
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 sebenarnya dan l
x
pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Brass Logit dapat dilihat pada Gambar 4.7.
Gambar 4.6 Kurva l
x
USA 2005 dengan metode Brass Logit
Gambar 4.7 Kurva l
x
USA 2005 sebenarnya dan l
x
metode Brass Logit
20 40
60 80
100 Umur x
20 000 40 000
60 000 80 000
100 000 l
x
20 40
60 80
100 Umur x
20 000 40 000
60 000 80 000
100 000 l
x
R
2
0.997897
l
x
Brass logit l
x
Asli
