tinggi dibandingkan dengan usia dewasa. Parameter β yang nilai mendekati 1
menunjukkan bahwa perubahan kurva l
x
pada tabel hayat Amerika Serikat 2005 tidak berubah drastis dari tabel hayat standar yang dipilih yaitu tabel hayat
Amerika Serikat 2000. Jumlah penduduk yang bertahan hidup dari tabel hayat lengkap dapat
diturunkan dari persamaan 4.7 dan persamaan 4.8, sehingga diperoleh persamaan 4.9.
1 1
ex p 2 lo g it 1
x S
x
l l
α β
= ⎡
⎤ +
+ −
⎣ ⎦
4.9 Bukti
:
logit 1 logit 1
S x
x
l l
α β
− = +
− 1
1 ln
logit 1 2
S x
x x
l l
l α β
⎛ ⎞
− = +
− ⎜
⎟ ⎝
⎠ 1
ln 2
logit 1
S x
x x
l l
l α β
⎛ ⎞
− =
+ −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 exp 2
logit 1
S x
x x
l l
l α β
⎛ ⎞
− ⎡
⎤ =
+ −
⎜ ⎟
⎣ ⎦
⎝ ⎠
1 1
exp 2 logit 1
S x
x
l l
α β
⎡ ⎤
− = +
− ⎣
⎦ 1
1 exp 2 logit 1
S x
x
l l
α β
⎡ ⎤
= + +
− ⎣
⎦
1 1 exp 2
logit 1
x S
x
l l
α β
= ⎡
⎤ +
+ −
⎣ ⎦
Berdasarkan perhitungan parameter α dan β di atas, persamaan 4.9 menjadi
1 1 exp 2
0.125137 0.926807logit 1
x S
x
l l
= ⎡
⎤ +
− +
− ⎣
⎦
4.10
Nilai l
x
pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Brass Logit diperoleh dengan mensubtitusi nilai
S
l
x
yaitu jumlah penduduk umur tertentu yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2000
tabel hayat standar. Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Brass Logit dapat dilihat pada Lampiran 8. Kurva l
x
pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 berdasarkan metode Brass Logit dapat
dilihat pada Gambar 4.6, sedangkan perbandingan l
x
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 sebenarnya dan l
x
pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Brass Logit dapat dilihat pada Gambar 4.7.
Gambar 4.6 Kurva l
x
USA 2005 dengan metode Brass Logit
Gambar 4.7 Kurva l
x
USA 2005 sebenarnya dan l
x
metode Brass Logit
20 40
60 80
100 Umur x
20 000 40 000
60 000 80 000
100 000 l
x
20 40
60 80
100 Umur x
20 000 40 000
60 000 80 000
100 000 l
x
R
2
0.997897
l
x
Brass logit l
x
Asli
Kurva
x
l tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Brass Logit mengikuti pola kurva
x
l tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 sebenarnya, kecuali pada umur sekitar 50 tahun ke atas nilai
x
l pada umur tersebut berbeda jauh dari nilai
x
l sebenarnya.
4.3 Metode Heligman-Pollard
Heligman-Pollard 1980 menyatakan bahwa penyebab kematian dapat dibagi menjadi tiga masa yaitu pengaruh masa bayi dan anak-anak, akibat
kematian pada umur remaja dan tingkat kematian usia lanjut. Adapun fungsi matematika dari formula Heligman-Pollard adalah
exp ln
. dengan
adalah peluang orang tepat berumur x tahun akan meninggal sebelum mencapai umur x + 1 tahun,
dan A, B, C, D, E, F, G, H merupakan parameter yang bernilai positif. Kurva dari persamaan 4.11 dapat dilihat pada
Gambar 4.8.
Gambar 4.8 Kurva fungsi Heligman-Pollard kematian bayi
akibat kecelakaan kurva Gompertz
kematian total
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100
0.1
0.00001 0.0001
0.001 0.01
1
Komponen pertama pada persamaan 4.11 menunjukkan bahwa umur bayi dan anak-anak merupakan fungsi eksponensial menurun. Hal ini menggambarkan
bahwa menurunnya kematian masa bayi dan anak-anak berumur kurang dari 10 tahun. Komponen ini mempunyai tiga parameter yaitu parameter A hampir sama
atau mendekati nilai yang menyatakan level kematian pada usia anak-anak,
parameter B menyatakan letak umur kematian bayi, sedangkan parameter C menyatakan angka kematian yang menurun pada masa anak-anak. Semakin tinggi
nilai parameter C maka angka kematian menurun dengan cepat yang ditandai dengan kenaikan umur. Ketika parameter B = 0, maka
. untuk semua nilai parameter A dan C. Semakin tinggi nilai parameter B, maka
akan mendekati .
Dengan demikian, parameter B menyatakan letak kematian bayi dengan interval umur
, .
Komponen kedua pada persamaan 4.11 merupakan fungsi yang serupa
dengan fungsi kepekatan lognormal yang menggambarkan kematian akibat kecelakaan yang terjadi pada masa pertengahan hidup atau masa remaja.
Komponen ini memiliki tiga parameter yaitu parameter D, parameter E, parameter F.
Komponen terakhir pada persamaan 4.11 merupakan fungsi eksponensial Gompertz yang menyatakan peningkatan kematian pada umur dewasa dan
misalnya tanda-tanda kematian. Parameter G menunjukkan level awal tanda kematian sedangkan parameter H menyatakan kenaikan angka kematian.
Misalkan fungsi pada sisi kanan persamaan 4.11 dinyatakan sebagai ; , yaitu suatu fungsi dari variabel umur x dan merupakan parameter-
parameter yang terdapat pada persamaan 4.11, sehingga formula Heligman- Pollard pada persamaan 4.11 menjadi:
; . karena
maka persaman 4.11 menjadi: ;
; .
Berdasarkan hubungan .
Bukti :
… …
∏
Model peluang kematian untuk tabel hayat ringkas berdasarkan formula Heligman-Pollard menjadi:
; ,
. Parameter pada formula Heligman-Pollard dapat dihitung dengan
menggunakan metode kuadrat terkecil taklinear nonlinear least square, yaitu dengan meminimumkan S
2
.
∞
. Berdasarkan hasil perhitungan persamaan 4.16 menggunakan software
Mathematica 7.0 diperoleh nilai parameter-parameter yang terdapat pada formula Heligman-Pollard dapat dilihat pada Tabel 4.3.
Tabel 4.3 Nilai parameter model Heligman-Pollard
Parameter Nilai Keterangan
A 0.00046 Representasi dari
B 0.499993 Representasi letak
C 0.08 Representasi laju penurunan kematian bayi
D 0.000641585 Representasi besarnya kematian akibat
kecelakaan E
7.94932 Representasi sebaran usia terjadinya kecelakaan F
22.8101 Representasi usia maksimum terjadinya kematian akibat kecelakaan
G 0.0000375169 Representasi level kematian pada usia lanjut
H 1.098 Representasi laju peningkatan kematian
Kemudian dengan mensubtitusi nilai penduga parameter-parameter yang telah diperoleh pada Tabel 4.3 ke dalam persamaan 4.13 akan menghasilkan
peluang penduduk berumur tertentu akan meninggal sebelum satu tahun yang akan datang
x
q
dengan metode Heligman-Pollard. Setelah nilai
x
q
diperoleh, nilai
x
l
dapat dihitung dengan menggunakan hubungan dengan fungsi
x
q
yaitu:
1
1
x x
x
l q l
+
= − ;
0,1, 2,..., x
ω =
4.17 dengan
ω merupakan umur tertua pada tabel hayat ringkas dan l = 100 000
Bukti
Berdasarkan persamaan 2.3
1 1
1
x x
x x
x x
l l
l q
l l
+ +
− =
= −
1 1
1 1
x x
x x
x x
l q
l l
q l
+ +
= − = −
Hasil aproksimasi tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 dengan metode Heligman-Pollard dapat
dilihat pada Lampiran 10. Kurva l
x
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Heligman-Pollard dapat dilihat pada Gambar 4.9, dan
perbandingannya dengan l
x
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 sebenarnya diberikan pada Gambar 4.10.
Gambar 4.9 Kurva l
x
USA 2005 dengan metode Heligman-Pollard
Gambar 4.10 Kurva l
x
USA 2005 sebenarnya dan l
x
metode Heligman-Pollard Pola kurva l
x
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Heligman-Pollard mengikuti pola l
x
tabel hayat Amerika Serikat 2005 sebenarnya. Metode Heligman-Pollard dapat menduga data sebenarnya dengan baik.
20 40
60 80
100 Umur x
20000 40000
60000 80000
100000 l
x
20 40
60 80
100 Umur x
20 000 40 000
60 000 80 000
100 000 l
x
R
2
0.997607
l
x
Heligman Pollard
l
x
Asli
4.4 Metode Kostaki
