Alasan utama tabel hayat ringkas lebih sering digunakan karena
data kematian penduduk yang tersedia tidak lengkap, selain itu tabel hayat ringkas sangat praktis
Siegel dan Swanson 2004.
2.4 Notasi dan Fungsi dalam Tabel Hayat
Notasi dan fungsi yang digunakan dalam tabel hayat antara lain adalah: : jumlah penduduk yang bertahan hidup hingga mencapai umur tepat x
: banyaknya kematian antara umur x hingga x + 1 2.1
: banyaknya kematian antara umur x hingga x + n 2.2
: peluang seseorang tepat berumur x akan meninggal sebelum mencapai umur x + 1
. : peluang seseorang tepat berumur x akan meninggal sebelum mencapai umur
x + n .
: total waktu yang dijalani oleh sejumlah l
x
antara umur x sampai x + 1 .
: total waktu yang dijalani oleh sejumlah l
x
antara umur x sampai x + n .
: total waktu yang akan dijalani oleh sejumlah l
x
mulai umur tepat x .
: angka harapan hidup bagi penduduk berumur x .
: tingkat kematian bagi penduduk berumur x
.
Brown 1997
2.5 Interpolasi Lagrange
Interpolasi merupakan metode untuk menaksir data yang tidak ada atau belum diketahui nilainya di antara nilai-nilai data yang diberikan Heath 1996.
Misalkan terdapat n titik data, yaitu: x
i
, y
i
i = 1, 2, …,n dengan
. Kemudian melewati semua titik data yang diketahui tersebut, dapat
ditentukan fungsi interpolasi f sedemikian hingga ,
, , … , . 2.10
Untuk x
1
x
k
x
n
, maka nilai merupakan nilai interpolasi dari x
k
. Fungsi interpolasi
merupakan kombinasi linear dari sekumpulan fungsi basis basis function, yang dirumuskan sebagai berikut:
, , , … , .
dengan : fungsi basis ke-i
: parameter-parameter yang akan ditentukan Salah satu fungsi interpolasi yang sering digunakan adalah fungsi polinomial
karena fungsi polinomial mudah dihitung, diturunkan dan diintegralkan. Interpolasi Lagrange diterapkan untuk mendapatkan fungsi polinomial Px
berderajat tertentu yang melewati sejumlah titik data. Misalkan sekumpulan titik data x
i
, y
i
dengan i = 1, 2, …, n. Bentuk umum polinomial Lagrange berderajat n – 1 yang melalui n titik berbeda adalah
. dengan
merupakan fungsi basis Lagrange yang dirumuskan sebagai berikut: ∏
,
∏
,
.
Berdasarkan definisi di atas, fungsi-fungsi memenuhi sifat ,
jika ,
jika .
2.6 Regresi Taklinear Bentuk sederhana dari persamaan regresi taklinear Draper 1992 dapat
dinyatakan sebagai berikut: ,
2.15 dengan f adalah fungsi taklinear dari
, , … , merupakan vektor dari
peubah bebas dan
, , … , adalah parameter-parameternya.
Apabila ada n data amatan, maka persamaan 2.15 menjadi ,
u = 1, 2, …, n 2.16
dengan ,
, … , . Galat persamaan taklinear
, , … , diasumsikan bebas dan berdistribusi normal
,
dengan 0 vektor nol dan I matriks identitas, keduanya berukuran yang sesuai. Jumlah kuadrat galat
untuk model taklinear didefinisikan sebagai berikut: ,
. Jumlah kuadrat tersebut merupakan fungsi dari . Nilai dugaan kuadrat terkecil
bagi dilambangkan dengan merupakan nilai yang meminimumkan .
Nilai dugaan kuadrat terkecil dapat diperoleh dengan mendiferensialkan
persamaan 2.17 relatif terhadap . Ini akan menghasilkan p persamaan normal yang harus diselesaikan untuk memperoleh nilai . Persamaan normal tersebut
mempunyai bentuk ,
, .
dengan i = 1, 2, …, p, sedangkan besaran di dalam tanda kurung merupakan turunan dari
, terhadap dengan semua diganti dengan yang
berindeks sama. Persamaan-persamaan normal pada persamaan regresi taklinear tersebut akan sangat sulit diselesaikan bila parameternya lebih banyak dan
modelnya lebih rumit. Oleh karena itu, untuk menentukan parameter-parameter dari persamaan taklinear diperlukan metode iterasi. Salah satu metode iterasi yang
dapat digunakan untuk menduga parameter pada persamaan taklinear adalah metode Gauss Newton.
2.6.1 Metode Gauss-Newton
Pendekatan metode Gauss Newton menggunakan perkiraan linearisasi atau metode deret Taylor dari fungsi harapannya secara berulang untuk memperbaiki
nilai awal bagi parameter-parameternya. Oleh karena itu, metode Gauss Newton disebut juga metode linearisasi atau metode deret Taylor Draper 1992. Misalkan
, , … ,
adalah nilai-nilai awal bagi parameter-parameter , , … , .
Selanjutnya, dengan melakukan penguraian deret Taylor orde satu pada ,
di sekitar titik ,
, … , akan diperoleh
, ,
, .
dimisalkan ,
,
maka persamaan 2.16 menjadi .
Persamaan 2.20 berbentuk linear, sehingga dengan menerapkan metode kuadrat terkecil linear dapat diduga nilai parameter-parameter dari
, i = 1, 2, …, p. Bila ditetapkan
,
2.21
dan 2.22
maka nilai dugaan bagi parameter-parameter , , … , diberikan oleh
Dengan demikian vektor akan meminimumkan jumlah kuadrat
SS ,
. relatif terhadap
, i = 1, 2, ..., p, dengan . Bila merupakan nilai
dugaan bagi maka dapat dituliskan bahwa
, dan merupakan nilai dugaan terbaik yang telah diperbaiki bagi . Nilai dugaan yang diperoleh
dari iterasi pertama akan dijadikan sebagai nilai awal bagi iterasi kedua dan seterusnya. Secara umum, penentuan hasil iterasi berikutnya dapat dituliskan
sebagai berikut:
2.24 dengan
, ,
, … , ,
, , … ,
. Proses iterasi ini terus dilakukan hingga solusi yang diperoleh konvergen, dengan
kata lain hingga langkah iterasi ke-j dan ke-j + 1 berlaku ,
, , … , . . Dengan merupakan suatu bilangan positif yang telah ditetapkan sebelumnya
misalnya 0.000001.
2.7 Uji Kesuaian Data
Untuk mengetahui kesuaian data yang diperoleh berdasarkan suatu metode tertentu terhadap data sebenarnya perlu dilakukan uji kesuaian data. Ada beberapa
kriteria yang dapat dijadikan sebagai acuan diantaranya adalah:
2.7.1 Galat Mutlak Absolute Error, AE
Misalkan y
i
adalah data sebenarnya ke-i dan adalah data yang diperoleh dengan menggunakan metode tertentu sebagai nilai pendekatan untuk y
i
. Galat mutlak didefinisikan sebagai berikut:
| | ;
, , … , 2.26 Mathews 1992
2.7.2 Rataan Galat Mutlak Mean Absolute Error, MAE
Rataan galat mutlak untuk data ke-i didefinisikan sebagai berikut: |
| ; , , … , .
Mathews 1992
2.7.4 Koefisien Determinasi
∑ ∑
. dengan
i
y
= nilai sebenarnya,
ˆ
i
y
= nilai dugaan, dan
y
= nilai rata-rata. Besaran R
2
menyatakan proporsi keragaman data yang dapat dijelaskan oleh model.
Agresti dan Finlay 1999
2.7.5 Akar Kuadrat Rataan Galat RMSE
Misalkan y
i
adalah data sebenarnya ke-i dan adalah data yang diperoleh dengan menggunakan metode tertentu sebagai nilai pendekatan untuk y
i
. Akar kuadrat rataan galat didefinisikan sebagai berikut:
| |
, , … , .
Mathews 1992
BAB III METODE PENELITIAN
Langkah-langkah Penelitian
Langkah-langkah penelitian yang akan dilakukan adalah: 1. Mengkaji metode-metode interpolasi tabel hayat ringkas, yaitu metode
Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki. 2. Pengambilan data. Penelitian ini menggunakan data kematian berupa tabel
hayat dari Negara Amerika Serikat 2000 dan 2005 yaitu tabel hayat ringkas dan tabel hayat lengkap. Tabel hayat Amerika 2000 digunakan sebagai tabel
hayat standar untuk metode Brass Logit dan Kostaki. Data tabel hayat Amerika Serikat tersebut diperoleh dari Human Mortality Database pada
http:www.mortality.org. 3. Menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas dengan
menggunakan metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki.
Metode Elandt-Johnson
Tahapan yang dilakukan dalam menyusun tabel hayat lengkap dengan menggunakan metode Elandt-Johnson 1980 adalah:
a. Untuk umur 0 – 74 tahun menggunakan interpolasi Lagrange berderajat lima dengan enam titik interpolan. Interpolasi Lagrange dirumuskan
dalam formula ∏
∏ b. Untuk umur di atas 74 tahun diasumsikan berdistribusi Gompertz dengan
fungsi survival dengan x 0, R 0,
, dan
dengan umur x dan parameter a dan R. Kemudian jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap yaitu nilai
ditentukan dengan menggunakan rumus: dengan
, … , ; , , … ,
, … , ;
Metode Brass Logit
Tahapan yang dilakukan untuk menyusun tabel hayat lengkap menggunakan metode Brass Logit adalah:
a. Menduga parameter dan yang memenuhi hubungan linear berikut logit
logit dengan :
logit ln
Parameter dan diduga menggunakan metode kuadrat terkecil linear. b. Setelah diperoleh nilai parameter dan , kemudian ditentukan jumlah
penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap dengan menggunakan rumus berikut :
exp logit
Metode Heligman-Pollard
Formula matematik metode Heligman-Pollard 1980 adalah: exp
ln dengan
adalah peluang orang tepat berumur x tahun akan meninggal sebelum mencapai umur x + 1 tahun,
dan A, B, C, D, E, F, G, H merupakan parameter yang bernilai positif. Tahapan penyusunan tabel hayat
lengkap dengan metode Heligman-Pollard sebagai berikut: a. Menduga nilai parameter-paremeter dengan meminimumkan S
2
dengan menggunakan metode kuadrat terkecil taklinear nonlinear least square
method
dengan ;
,
merupakan peluang seseorang tepat berumur x akan meninggal sebelum mencapai umur x + n.
b. Setelah parameter-parameter tersebut diperoleh, peluang kematian pada tabel hayat lengkap dapat dihitung menggunakan formula berikut:
; ;
dengan ;
exp ln
Metode Kostaki
Tabel hayat lengkap dapat disusun dengan menggunakan metode Kostaki, tahapan yang dilakukan pada metode ini adalah:
a. Menentukan konstanta untuk setiap interval umur
, dengan
menggunakan rumus : ln
∑ ln
b. Menghitung peluang kematian pada tabel hayat lengkap menggunakan rumus :
4. Menganalisis tabel hayat lengkap yang diperoleh berdasarkan masing-masing metode kemudian membandingkan metode-metode tersebut dengan tabel
hayat lengkap sebenarnya dengan menganalisis galatnya untuk memilih metode interpolasi tabel hayat ringkas yang terbaik.
5. Mengaplikasikan metode interpolasi tabel hayat ringkas terbaik pada data kematian penduduk Indonesia yang mengikuti pola model Barat dari tabel
hayat Coale Demeny.
Data lima tahunan
Data tahunan
Langkah-langkah penelitian di atas dapat digambarkan ke dalam diagram alur sebagai berikut:
Gambar 3.1 Diagram Alur Penelitian
Kajian Metode Elandt-Johnson
Brass Logit Kostaki
Heligman-Pollard Data Amerika
Pendugaan Parameter Penyusunan Tabel Hayat Lengkap
Pembandingan antar Metode
Pemilihan Metode Terbaik Data Indonesia
Penyusunan Tabel Hayat Lengkap
BAB IV METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE
DAN PEMBAHASAN
Berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat tahun 2005, dapat diketahui mengenai jumlah penduduk yang bertahan hidup menurut umur tertentu
pada interval umur lima tahunan, peluang penduduk umur tertentu akan meninggal dunia, angka harapan hidup penduduk umur tertentu. Kurva l
x
pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 dapat dilihat pada Gambar 4.1.
Tabel hayat ringkas tidak dapat menentukan peluang seorang berumur 45 tahun dapat bertahan hidup hingga usia 48 tahun, karena diperlukan informasi
tentang jumlah penduduk yang bertahan hidup dari lahir hingga usia 45 tahun l
45
dan jumlah penduduk yang bertahan hidup dari lahir hingga usia 48 tahun l
48
. Oleh karena itu, diperlukan tabel hayat lengkap yang dapat memberikan informasi
lebih lengkap tentang jumlah penduduk yang bertahan hidup untuk interval umur satu tahun. Perbandingan l
x
pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 dan l
x
pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dapat dilihat pada Gambar 4.2.
Gambar 4.1 Plot l
x
tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 Berdasarkan pengamatan pada Gambar 4.1 terlihat bahwa kurva pada
tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 cenderung monoton turun, artinya bahwa jumlah penduduk pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 akan
berkurang akibat adanya kematian penduduk. Jumlah penduduk yang bertahan hidup di Amerika Serikat berumur 60 tahun ada sekitar 87.
20 40
60 80
100 Umur x
20000 40000
60000 80000
100000 l
x
Gambar 4.2 Plot l
x
tabel hayat lengkap dan l
x
tabel hayat ringkas USA 2005 Selanjutnya data pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 akan
digunakan sebagai alat untuk membandingkan keempat metode interpolasi tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005, yaitu dengan cara menyusun tabel hayat
lengkap Amerika Serikat 2005 berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005. Ada beberapa metode interpolasi tabel hayat ringkas yang dapat digunakan
untuk menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas, diantaranya adalah metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki.
4.1 Metode Elandt-Johnson
Elandt-Johnson 1980 menyatakan bahwa tabel hayat lengkap dapat disusun berdasarkan tabel hayat ringkas dengan menggunakan formula smoothing
dari tiga skema interpolasi menurut umur tertentu, yaitu umur bayi dan anak-anak 0-10 tahun, umur remaja dan dewasa 10-74 tahun serta umur di atas 74 tahun.
Untuk interval umur 0-74 tahun, metode Elandt-Johnson menggunakan formula enam titik interpolasi Lagrange, menyatakan bahwa jumlah penduduk
yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari tabel hayat ringkas.
∏ ∏
.
20 40
60 80
100 Umur x
20 000 40 000
60 000 80 000
100 000 l
x
l
x
tabel hayat ringkas l
x
tabel hayat lengkap
Berdasarkan persamaan 4.1, koefisien yang digunakan untuk menghitung pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dapat diperoleh dengan
menggunakan fungsi basis interpolasi Lagrange pada persamaan 4.1 yaitu:
∏ ∏
; , , … , .
Nilai koefisien yang diperoleh berdasarkan persamaan 4.2 diberikan pada Tabel 4.1
dan Tabel 4.2 .
Tabel 4.1 Koefisien untuk menghitung dengan
A
l
1 A
l
5 A
l
10 A
l
15 A
l
20 A
l
25 C
l
1
1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
C
l
2
0.562030 0.717600 -0.478400
0.283886 -0.100716 0.015600
C
l
3
0.273392 1.047200 -0.531911
0.299200 -0.103747 0.015867
C
l
4
0.096491 1.108800 -0.328533
0.172800 -0.058358 0.008800
C
l
5
0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
C
l
6
-0.041667 0.798000 0.354667 -0.152000 0.048000 -0.007000
C
l
7
-0.048872 0.561600 0.665600 -0.240686 0.072758 -0.010400
C
l
8
-0.037281 0.333200 0.888533 -0.244800 0.070147 -0.009800
C
l
9
-0.018379 0.140800 1.001244 -0.160914 0.043116 -0.005867
C
l
10
0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000
Perhitungan nilai pada interval umur 0 – 10 tahun menggunakan enam
titik interpolan yaitu x
1
= 1, x
2
= 5, x
3
= 10, x
4
= 15, x
5
= 20 dan x
6
= 25. Misalkan untuk x = 2 maka untuk menghitung
C
l
2
menggunakan persamaan 4.1, sehingga diperoleh:
. .
. .
. .
Perhitungan dilakukan dengan cara yang sama sampai x = 10.
Tabel 4.2 Koefisien untuk menghitung dengan
A
l
5m-10 A
l
5m-5 A
l
5m A
l
5m+5 A
l
5m+10 A
l
5m+15 C
l
5m+1
0.008064 -0.07392 0.88704
0.22176 -0.04928 0.006336
C
l
5m+2
0.011648 -0.09984 0.69888
0.46592 -0.08736 0.010752
C
l
5m+3
0.010752 -0.08736 0.46592
0.69888 -0.09984 0.011648
C
l
5m+4
0.006336 -0.04928 0.22176
0.88704 -0.07392 0.008064
C
l
5m+5
0.000000 0.000000 0.000000
1.000000 0.000000 0.000000
dengan:
A
l
5m+j
: jumlah penduduk yang bertahan hidup pada umur 5m+j dari tabel hayat ringkas dengan j = -10, -5, 0, 5, 10, 15
C
l
5m+i
: jumlah penduduk yang bertahan hidup pada umur 5m+i untuk menaksir tabel hayat lengkap dengan i = 1, …, 5
m = 2, 3, ..., 14 Berdasarkan Tabel 4.2 perhitungan nilai
dengan menggunakan m = 2 .
. .
. .
. Perhitungan nilai
untuk dilakukan dengan cara yang sama
seperti perhitungan untuk nilai di atas, hingga diperoleh jumlah penduduk
yang bertahan hidup mencapai umur tepat x pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Elandt-Johnson untuk
lihat Lampiran 6.
Interpolasi terakhir untuk umur di atas 74 tahun diasumsikan berdistribusi Gompertz, dengan fungsi survival sebagai berikut:
4.3 dengan x 0, R 0,
, dan
untuk umur x dan parameter a dan R. Langkah awal dalam metode ini adalah menentukan logaritma dari rasio
nilai yang berdekatan, cara ini akan menghasilkan parameter
dan untuk
umur x. Nilai penduga untuk dan
, yaitu dan
̂ dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan 4.4. Proses perhitungan akan berhenti pada saat
dan
̂ untuk ω
, dengan ω adalah umur tertua pada tabel hayat ringkas
Amerika Serikat 2005 lihat Lampiran 1. ̂
⁄
dengan log
log , , … , ω
4.4
Setelah menentukan nilai dan
̂ , maka fungsi survival Gompetz pada persaman 4.3 menjadi:
̂
dengan , … , ;
, , … , ω , … ,
ω ; ω
4.5 Kemudian jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap
Amerika Serikat 2005 yakni untuk umur di atas 74 tahun dapat dihitung
menggunakan persamaan 4.6. dengan
, … , ; , , … , ω
, … , ω ;
ω .
Hasil perhitungan dan
̂ dengan menggunakan persamaan 4.4 dan 4.5 dapat dilihat pada Lampiran 5. Selanjutnya tabel hayat lengkap Amerika Serikat
2005 dengan menggunakan metode Elandt-Johnson dapat disusun berdasarkan persamaan 4.1 dan 4.6 lihat Lampiran 6. Kurva pada tabel hayat lengkap
dengan metode Elandt-Johnson disajikan ke dalam Gambar 4.3.
Gambar 4.3 Kurva l
x
USA 2005 dengan metode Elandt-Johnson
20 40
60 80
100 Umur
x 20000
40000 60000
80000 100000
l
x
Perbandingan kurva l
x
pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 sebenarnya dengan l
x
pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 berdasarkan metode Elandt-Johnson dapat dilihat pada Gambar 4.4.
Gambar 4.4 Kurva l
x
USA 2005 sebenarnya dan l
x
metode Elandt-Johnson Pada Gambar 4.4, kurva l
x
pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Elandt-Johnson memiliki perbedaan yang kecil sehingga nilai
koefisien determinasi R
2
≈
1.
4.2 Metode Brass Logit
