diusulkan suatu metode pernyelesaian persamaan WBK yang disebut metode homotopi.
Dalam metode homotopi untuk menyelesaikan persamaan WBK diperlukan suatu fungsi real yang disebut homotopi, yang terdefinisi pada
0,1 ,
dengan
adalah domain dari penyelesaian persamaan WBK. Dalam fungsi homotopi ini dilibatkan suatu parameter q dalam
0,1 .
Keberhasilan metode homotopi ini dipengaruhi oleh pemilihan fungsi homotopi dan parameter
q pada
0,1 .
Perubahan nilai q dari nol ke satu akan menentukan keberhasilan metode ini.
Selanjutnya diberikan suatu penyelesaian pendekatan awal dari persamaan WBK, yang disebut deformasi orde nol. Dalam deformasi orde nol akan muncul
suatu besaran baru yang akan ditentukan dalam deformasi orde yang lebih tinggi. Dalam deformasi orde yang lebih tinggi diperlukan suatu parameter yang harus
dipilih. Pemilihan parameter ini sangat mempengaruhi validitas dari metode homotopi ini. Dalam hal ini domain penyelesaian persamaan WBK dengan
metode homotopi akan mendekati domain penyelesaian eksaknya.
1.4 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri dari empat bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang berisi latar belakang, tujuan penelitian, metodologi penelitian,
dan sistematika penulisan. Bab kedua berupa landasan teori yang berisi persamaan dasar fluida, penyelesaian persamaan WBK dalam bentuk gelombang
berjalan dan konsep dari metode homotopi yang akan digunakan untuk menyelesaikan persamaan WBK. Bab ketiga berupa hasil dan pembahasan yang
berisi analisis metode homotopi yang akan digunakan untuk menyelesaikan persamaan WBK dan aplikasinya. Bab keempat berisi kesimpulan dan saran.
II LANDASAN TEORI
Dalam bab ini akan diberikan teori-teori yang berkaitan dengan penelitian ini. Teori-teori tersebut meliputi persamaan dasar fluida yang akan disarikan dari
Billingham dan King [7], dan Witham [8]. Penyelesaian gelombang berjalan persamaan WBK yang disarikan dari Xie, et a.l [9] dan konsep metode homotopi
berdasarkan rujukan Liao [6].
2.1 Persamaan Dasar Fluida
Secara umum fluida dikenal memiliki kecenderungan untuk bergerak atau mengalir. Dalam penurunan persamaan dasar fluida diperlukan asumsi bahwa air
dianggap sebagai fluida takmampat incompressible, takberotasi irrotational dan takkental inviscid.
Untuk menurunkan persamaan dasar fluida diperlukan hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Hukum kekekalan massa pada suatu
sistem menyatakan laju perubahan massa, yaitu selisih antara massa yang masuk dengan massa yang keluar pada sistem tersebut. Hukum kekekalan momentum
pada suatu sistem menyatakan laju perubahan momentum, yaitu momentum yang masuk dan yang keluar ditambah gaya-gaya yang bekerja pada sistem tersebut.
Gambar 2.1. Fluks massa yang keluar - masuk pada elemen luas Untuk mendapatkan persamaan kontinuitas, maka perhatikan Gambar 2.1.
Jika rapat massa dan kecepatan partikel pada arah horizontal
, u
maka fluks
massa yang masuk dari sisi kiri dengan ketinggian
h
adalah
, u h
dengan simpangan gelombang dan
h
kedalaman air. Fluks massa yang keluar dari sisi kanan adalah
u h
dievaluasi di
. x
x
Jika uraian Taylor digunakan, maka diperoleh
.
x x
u h u h
u h x
Jadi fluks massa yang keluar dari sisi kanan adalah
. u h
u h x
x
Pada sisi atas, kecepatan permukaan merupakan kecepatan partikel di permukaan, yaitu
, t
sehingga fluks massanya adalah
x t
. Karena diasumsikan fluida berupa fluida takmampat incompressible,
maka jumlah fluks massa yang masuk dikurangi dengan fluks massa yang keluar sama dengan nol, sehingga
u h u h
u h x
x t
atau
u h x
x x
t
atau
0, u h
x x
x t
2.1
Jika persamaan 2.1 dibagi dengan
x
, maka diperoleh
u h x
t
atau
0. u
h u
x x
t
Jika peranan
h
diganti dengan
,
maka diperoleh
0. u
u x
x t
2.2
Selanjutnya diasumsikan domain fluida dibatasi oleh dasar rata. Jadi kecepatan aliran fluida tidak bergantung pada kedalaman fluida, sehingga
kecepatan partikel pada arah vertikal dianggap sangat kecil. Berdasarkan hukum kekekalan momentum pada arah vertikal diperoleh
persamaan berikut: 1
. v
v v
p u
v g
t x
y y
2.3
dengan u adalah kecepatan partikel dalam arah horizontal dan v adalah kecepatan partikel pada arah vertikal,
p
tekanan fluida dan
g
gaya gravitasi. Jika percepatan fluida pada arah vertikal diabaikan, maka persamaan 2.3 menjadi
1 p
g y
atau
. p
g y
2.4 Jika persamaan 2.4 diintegralkan terhadap y, maka diperoleh
. p
p g
y
2.5
Selanjutnya berdasarkan hukum kekekalan momentum pada arah horizontal diperoleh
1 .
u u
u p
u v
t x
y x
2.6 Jika turunan total dari u adalah
, Du
u u
u u
v Dt
t x
y
maka persamaan 2.6 dapat ditulis 1
. Du
p Dt
x
2.7
Karena , ,
u u x t
maka persamaan 2.6 menjadi
1 .
u u
p u
t x
x
2.8 Jika persamaan 2.5 diturunkan terhadap x, maka diperoleh
p g
x x
sehingga persamaan 2.8 menjadi
0, u
u u
t x
x
2.9 dan diasumsikan
1. g
Persamaan 2.2 dan 2.9 adalah persamaan gelombang taklinear yang
mengabaikan faktor dispersi. Selanjutnya akan ditinjau gelombang dengan relasi dispersi yang diberikan sebagai berikut:
2 4
2
k
2.10
dengan frekuensi gelombang,
k
bilangan gelombang serta dan
suatu konstanta. Gelombang yang diperoleh memiliki sifat dispersi, yaitu kecepatan
gelombang
c
bergantung kepada bilangan gelombang
k
yang dirumuskan sebagai berikut:
. c
k
2.11 Apabila diambil
1
dan 0,
maka relasi dispersi yang diperoleh merupakan relasi dispersi bagi persamaan Boussinesq. Sedangkan apabila
dan 0,
relasi dispersi yang diperoleh merupakan relasi dispersi bagi
persamaan gelombang panjang [9]. Persamaan Boussinesq adalah suatu persamaan gerak gelombang yang merambat dalam dua arah. Relasi dispersi yang
diberikan pada persamaan 2.10 dapat ditulis
2 3
2
0. i
ik ik
ik i
ik
2.12
Jika
k
berkorespondensi dengan
x
i
dan berkorespondensi dengan
,
t
i
maka relasi dispersi pada persamaan 2.12 berkorespondensi dengan persamaan berikut
3
t xx
t t
xx x
u
atau
0.
t x
xx t
xxx xx
u u
u
2.13
Penurunan persamaan 2.13 diberikan pada Lampiran 1a. Persamaan 2.13 merupakan persamaan gelombang yang melibatkan faktor
dispersi. Dengan demikian persamaan gelombang taklinear dan bersifat dispersi
diberikan sebagai berikut:
2 2
3 2
3 2
0, u
u u
u t
x x
x u
u u
t x
x x
x
2.14
dengan
adalah simpangan gelombang yang diukur dari dasar fluida. Persamaan 2.14 disebut persamaan Whitham-Broer-Koup WBK.
Berdasarkan Xie, et al. [9] diperoleh penjelasan mengenai penyelesaian persamaan WBK dalam bentuk gelombang berjalan seperti yang akan dibahas
pada bagian selanjutnya. Selain itu, persamaan WBK akan diselesaikan dengan metode homotopi dan membandingkan kedua hasil yang diperoleh.
2.2 Penyelesaian persamaan WBK dalam bentuk gelombang berjalan
