3. Penyelesaian pendekatan dengan metode homotopi ditentukan berdasarkan
deret 3.8 dan 3.10. Untuk lebih jelasnya, maka bagian selanjutnya akan dibahas aplikasi dari metode
homotopi untuk menyelesaikan persamaan WBK.
3.2 Aplikasi Metode
Tinjau persamaan WBK 2.14 berikut:
2 2
3 2
3 2
0, u
u u
u t
x x
x u
u u
t x
x x
x
3.13
Operator turunan taklinear yang dipilih adalah
2 1
1 2
1 1
1 2
1 3
2 2
1 2
1 2
2 1
2 3
, ; , ;
, ; , ;
[ , ; , , ; ]
, ; , ;
[ , ; , ; ] , ;
, ; [ , ; ,
, ; ] x t q
x t q x t q
x t q x t q
x t q x t q
t x
x x
x t q x t q
x t q x t q
x t q x t q
x t q t
x x
x
3.14 dan operator linear
1 1
1
, ; [ , ; ]
, x t q
x t q t
2 2
2
, ; [ , ; ]
. x t q
x t q t
3.15 Selanjutnya dipilih pendekatan penyelesaian awal berdasarkan pada penyelesaian
gelombang berjalan dari persamaan WBK dalam dua kasus, yaitu kasus pertama dipilih pendekatan awal berdasarkan pada penyelesaian pada persamaan 2.26
maka diperoleh persamaan berikut
2 0.5 2
2 2 0.5
2
, , 0
2 coth[
], ,
, 0 2
csch [ ],
u x t u x
k k x
x x t
x k
k x x
3.16 sedangkan untuk kasus kedua akan dipilih pendekatan awal berdasarkan
penyelesaian pada persamaan 2.27 berikut
0.5 0.5
2 2
0.5 2
2 2
0.5 2
2 2
2
, coth[
] csch[
] ,
coth[ ]csch[
] csch [
]. u x t
k k x
x k
k x x
x t k
k x x
k x x
k k x
x
3.17
Berdasarkan definisi operator
1
dan
2
pada persamaan 3.14 diperoleh bentuk
1, 1
1
,
m m
m
R u
dan
2, 1
1
,
m m
m
R u
yang diberikan pada persamaan 3.12 sebagai berikut:
1 1
1 1
1, 1
1 2
1 2
, ,
, ,
, ,
,
m m
m n
m m
m m
n n
m
u x t
u x t
x t R
u u x t
t x
x u
x t x
3 1
1 1
2, 1
1 1
3 2
1 2
, ,
, ,
, ,
,
m m
m m
m m
n m
n n
m
x t u
x t R
u u x t
x t t
x x
x t x
3.18 Penurunan persamaan 3.18 dapat dilihat pada Lampiran 2b.
Berdasarkan persamaan 3.12 dan definisi operator
1
dan
2
, diperoleh
1 1
1, 1
1 1
1 2,
1 1
, ,
, ,
, ,
m m
m m
m m
m m
m m
m m
u x t
u R
u t
x t R
u t
3.19
atau
1 1
1, 1
1 1
1 2,
1 1
, ,
, ,
, ,
m m
m m
m m
m m
m m
m m
u x t
u R
u dt
x t R
u dt
3.20 dengan
1
, ,...,
m m
u u u
u
dan
1
, ,...,
.
m m
Karena
, 0
m
u x
dan
, 0 0,
m
x
maka diperoleh
1 1
1, 1
1 1
2 2,
1 1
, ,
, ,
, ,
.
t m
m m
m m
m t
m m
m m
m m
u x t
u x t
R u
ds x t
x t R
u ds
3.21
Untuk penyederhanaan, maka dipilih
1 2
,
sehingga dari persamaan 3.16, 3.18 dan 3.21 diperoleh:
0.5 2
2 2
1
csc ,
h 2
, u x t
k t k x
x
0.5 3
2 2
2 1
csc ,
4 coth
, h
x t k t
k x x
k x x
0.5 2
2 3
2
, 2
cs cosh
1 sinh
, ch
k t k x
x kt
u x t k x
x k x
x
3 2 0.5
4 2
2 ,
2 csch
2 2 cosh
1 sinh
, k
k x x
k k x
x x
x t
k t
h x
t
0.5 2
2 2
4 2
2 2 2
2 2 2
3
3 1 4
3 6 3
2 cosh 2
6 1
sinh 2 ,
1 ,
csch 3
k t k x
x k t
k t k x
x kt
k x x
u x t
3 2 0.5
5 2
2 2
3 2
2 2
2 2
1 ,
csch 3
1 22
cosh cosh
3sinh 3
3 6 3
2 3
6 sinh
3 ,
k k x
x k
k x x
k k x
x k
k x t
t h
x x
k x t
t x
t
3.22 sedangkan dari persamaan 3.17, 3.18 dan 3.21 diperoleh:
0.5 2
2 1
, 1 cosh[
] hk t
u x t k x
x
0.5 3
2 2
4 1
sec 1
1 ,
h si
4 2
n [ h
] x t
hk t k x
x k x
x
2 2 0.5
2 2
1 1
, [
0] 4
2 1
21 tanh
s ech
2 u x t
hk t k x
x h
hkt k x
x
0.5 3
2 2
2 2
0.5 0.5
2 2
2 2
0.5 1.5
0.5 2
2 2
2 0.5
2 2
2 0.5
1.5 0.5
2 2
2
1 1
, 4
16 2
8 8
4 4
4 1
2 3
2 6
6 6
sech
sech x t
hk t k x
x hkt
h k t
hkt k x
x k
.
3.23
Penurunan persamaan 3.22 dan 3.23 dapat dilihat dalam Lampiran 2c. Barisan penyelesaian pada persamaan 3.21 masih memuat parameter
tambahan
.
Validitas dari metode homotopi didasarkan pada pemilihan sehingga deret 3.8 dan 3.10 konvergen [6].
Selanjutnya dengan menggunakan persamaan 3.8 dan 3.10 diperoleh pendekatan penyelesaian eksak dari persamaan WBK sebagai berikut:
1 2
3 1
2 3
, ,
, ,
, ... ,
, ,
, , ...
u x t u x t
u x t u x t
u x t x t
x t x t
x t x t
3.24
dengan
, u x t
dan
, x t
pada persamaan 3.16, dan
, , , ,
i i
u x t x t
1, 2,3
i
diberikan pada persamaan 3.21. Berikut ini akan digunakan bantuan software Mathematica untuk
menggambarkan hampiran penyelesaian persamaan WBK 3.13 dengan menggunakan metode homotopi pada persamaan 3.22 hingga orde ke-5, dan
dibandingkan dengan penyelesaian pada persamaan 2.26. Jika diberikan parameter
2, x
0.2
k
dan
0.005,
maka untuk pemilihan yang
berbeda-beda memberikan galat yang sangat kecil antara penyelesaian dengan menggunakan metode homotopi dibandingkan dengan penyelesaian pada
persamaan 2.24, seperti ditunjukkan pada Tabel 3.1 dengan
1
dan 1.
Tabel 3.1 Galat antara penyelesaian dengan metode homotopi dan penyelesaian gelombang berjalan dari nilai
.
x
-1.3 -1.2
-1.1 -1
-0.9 -0.8
-0.7
1 1.026×10
-2
1.021×10
-2
1.020×10
-2
1.019×10
-2
1.020×10
-2
1.020×10
-2
1.021×10
-2
3 2.098×10
-3
2.098×10
-3
2.098×10
-3
2.097×10
-3
2.098×10
-3
2.098×10
-3
2.099×10
-3
5 6.855×10
-4
6.857×10
-4
6.857×10
-3
6.857×10
-4
6.857×10
-4
6.858×10
-5
6.862×10
-4
7 2.683×10
-4
2.684×10
-4
2.684×10
-3
2.684×10
-4
2.684×10
-4
2.684×10
-4
2.686×10
-4
9 1.134×10
-4
1.134×10
-4
1.134×10
-4
1.134×10
-5
1.134×10
-4
1.135×10
-4
1.135×10
-4
11 4.957×10
-5
4.960×10
-5
4.960×10
-5
4.960×10
-5
4.960×10
-5
4.960×10
-5
4.963×10
-5
13 2.200×10
-5
2.201×10
-5
2.201×10
-5
2.201×10
-5
2.201×10
-5
2.202×10
-5
2.203×10
-5
15 9.832×10
-6
9.837×10
-6
9.838×10
-6
9.837×10
-6
9.838×10
-6
9.838×10
-6
9.844×10
-6
17 4.407×10
-6
4.409×10
-6
4.409×10
-6
4.409×10
-6
4.409×10
-6
4.410×10
-6
4.412×10
-6
19 1.978×10
-6
1.979×10
-6
1.979×10
-6
1.979×10
-6
1.979×10
-6
1.979×10
-6
1.980×10
-6
Tabel 3.2 Galat antara penyelesaian dengan metode homotopi dan penyelesaian gelombang berjalan dari nilai
. u
x
-1.3 -1.2
-1.2 -1
-0.9 -0.8
-0.7
1 6.3339×10
-3
6.0884×10
-3
5.8536×10
-3
5.6454×10
-2
5.4731×10
-3
5.3415×10
-3
5.2538×10
-3
3 1.9841×10
-3
1.8569×10
-3
1.7455×10
-3
1.6513×10
-3
1.5747×10
-3
1.5158×10
-3
1.4750×10
-3
5 8.2937×10
-4
7.5212×10
-4
6.8496×10
-4
6.2822×10
-4
5.8195×10
-4
5.4618×10
-4
5.2106×10
-4
7 3.9611×10
-4
3.4497×10
-4
3.0058×10
-4
2.6306×10
-4
2.3242×10
-4
2.0867×10
-4
1.9188×10
-4
9 2.0502×10
-4
1.7026×10
-4
1.4010×10
-4
1.1460×10
-4
9.3768×10
-5
7.7595×10
-5
6.6115×10
-5
11 1.1254×10
-4
8.8795×10
-5
6.8207×10
-5
5.0793×10
-5
3.6557×10
-5
2.5498×10
-5
1.7632×10
-5
13 6.4761×10
-5
4.8580×10
-5
3.4551×10
-5
2.2683×10
-5
1.2979×10
-5
5.4366×10
-6
6.3800×10
-8
15 3.8734×10
-5
2.7747×10
-5
1.8222×10
-5
1.0164×10
-5
3.5736×10
-6
1.5496×10
-6
5.2027×10
-6
17 2.3893×10
-5
1.6458×10
-5
1.0014×10
-5
4.5614×10
-6
1.0140×10
-7
3.3663×10
-6
5.8403×10
-6
19 1.5093×10
-5
1.0076×10
-5
5.7277×10
-6
2.0485×10
-6
9.6136×10
-7
3.3018×10
-6
4.9722×10
-6
Selanjutnya akan digambarkan hampiran penyelesaian persamaan WBK 3.13 dengan menggunakan metode homotopi pada persamaan 3.23 hingga
orde ke-5, dan dibandingkan dengan penyelesaian pada persamaan 2.26. Jika diberikan parameter
2, x
0.2
k
dan
0.04,
maka untuk pemilihan
1
akan memberikan galat yang sangat kecil antara penyelesaian dengan menggunakan metode homotopi dibandingkan dengan penyelesaian pada
persamaan 2.26, seperti ditunjukkan pada Tabel 3.3 dengan
1
dan 0.
Tabel 3.3 Galat antara penyelesaian dengan metode homotopi dan penyelesaian gelombang berjalan pada persamaan 2.27
x
U t=1
t=2 t=3
t=1 t=2
t=3
1 1.0820×10
-13
1.4207×10
-11
3.7052×10
-10
9.7122×10
-9
1.5427×10
-7
7.7522×10
-7
3 3.1666×10
-14
2.4073×10
-12
3.1832×10
-11
3.9357×10
-9
6.0701×10
-8
2.9566×10
-7
5 2.5456×10
-13
1.6175×10
-11
1.8282×10
-10
2.2752×10
-9
3.7983×10
-8
2.0040×10
-7
7 2.3080×10
-13
1.4885×10
-11
1.7080×10
-10
5.0203×10
-9
8.0616×10
-8
4.0962×10
-7
9 8.3149×10
-14
5.4491×10
-12
6.3537×10
-11
4.5089×10
-9
7.1671×10
-8
3.6043×10
-7
11 1.6201×10
-14
9.8137×10
-13
1.0527×10
-11
2.7462×10
-9
4.3344×10
-8
2.1638×10
-7
13 4.3719×10
-14
2.7940×10
-12
3.1773×10
-11
1.1648×10
-9
1.8214×10
-8
9.0034×10
-8
15 3.5742×10
-14
2.3005×10
-12
2.6352×10
-11
1.9907×10
-10
2.9626×10
-9
1.3857×10
-8
17 2.0831×10
-14
1.3458×10
-12
1.5475×10
-11
2.4479×10
-10
4.0019×10
-9
2.0698×10
-8
19 9.6344×10
-15
6.2457×10
-13
7.2061×10
-12
3.7788×10
-10
6.0597×10
-9
3.0748×10
-8
Berdasarkan Tabel 3.1, 3.2 dan 3.3 dapat disimpulkan bahwa metode homotopi yang digunakan dalam penelitian ini sangat cocok untuk menyelesaikan
persamaan WBK. Hal ini disebabkan oleh galat yang ditimbulkan antara penyelesaian dengan metode homotopi dan penyelesaian gelombang berjalan
yang diberikan pada persamaan 2.26 dan 2.27 sangat kecil dengan galat terbesear adalah 5.6454×10
-2
untuk
1.
Selanjutnya berdasarkan Tabel 3.1 dan 3.2 terlihat pula bahwa pemilihan nilai
akan mempengaruhi daerah kekonvergenan deret 3.8 dan 3.10, sehingga dalam hal ini dipilih
1
memberikan nilai galat yang terkecil dan daerah kekonvergenan yang lebih luas. Berikut ini akan digambarkan gelombang yang mengikuti persamaan
Boussinesq, dalam hal ini
1
dan 0.
Misalkan gelombang yang ditinjau memilki bilangan gelombang
0.2, k
atau berdasarkan 2.10 diperoleh
0.04.
Grafik penyelesaian dari diberikan dalam Gambar 3.1 untuk
0, t
40,
t
65, t
90, t
115
t
dan
130. t
Gambar 3.1 Bentuk gelombang Boussinesq Berdasarkan Gambar 3.1 terlihat bahwa gelombang yang ditinjau pada
awalnya merupakan gelombang tunggal, kemudian terpisah menjadi dua gelombang, dimana masing-masing gelombang bergerak dalam dua arah yang
20 10
10 20
0.97 0.98
0.99 1.00
20 10
10 20
x
0.975 0.980
x
, 40
20 10
10 20
x 0.968
0.970 0.972
0.974 0.976
0.978 0.980
x, 65
30 20
10 10
20 30
x
0.965 0.970
0.975 0.980
x
, 90
30 20
10 10
20 30
x
0.970 0.975
0.980
x
, 115
30 20
10 10
20 30
x
0.970 0.975
0.980
x
, 130
berlawanan, yaitu ke kanan dan ke kiri, yang masing-masing memiliki kecepatan
0.2 c
satuan kecepatan. Selanjutnya akan digambarkan bentuk kecepatan arus dari persamaan
Boussinesq, seperti pada Gambar 3.2 berikut:
Gambar 3.2 Kecepatan arus dari persamaan Boussinesq Berdasarkan Gambar 3.2 diperoleh bahwa pada persamaan Boussinesq
arus bergerak dalam dua arah, yaitu ke kiri dan ke kanan masing-masing dengan kecepatan yang sama.
10 5
5 10
x
10 5
5 10
u x, 0
10 5
5 10
x
10 5
5 10
u x, 25
10 5
5 10
x
10 5
5 10
u x
, 50
10 5
5 10
x
10 5
5 10
u x
, 75
10 5
5 10
x
10 5
5 10
u x
, 100
10 5
5 10
x
10 5
5 10
u x
, 125
IV KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
