Penurunan Persamaan 3.18 Penyelesaian masalah gelombang dispersi taklinear dengan menggunakan metode homotopi

dan 2 , ; 1 , , m m m q x t q x t m q       maka persamaan di atas menjadi 1 1 1 1, 1 1 2 1 2 2, 1 1 [ , , ] [ , , , ] [ , , ] [ , , , ], m m m m m m m m m m m m u x t u x t R u x t x t x t x t R u x t x t                 dengan     1, 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2, 1 1 , ; , , ; 1 , 1 , ; , , ; 1 , , 1 , m m q m m m m m q m m m R u R x t q x t q m q x t q x t q q u m                        

b. Penurunan Persamaan 3.18

Tinjau persamaan 3.12 beriku: 1 1 1 1, 1 1 2 1 2 2, 1 1 [ , , ] [ , , , ] [ , , ] [ , , , ], m m m m m m m m m m m m u x t u x t R u x t x t x t x t R u x t x t                 dengan     1, 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2, 1 1 , ; , , ; 1 , 1 , ; , , ; 1 , , 1 , m m q m m m m m q m m m R u R x t q x t q m q x t q x t q q u m                         dan 0, 1 . 1, 1 m m m        Berikut ini bentuk 1, 1 1 , m m m R u    dan 2, 1 1 , m m m R u    akan disederhanakan  Untuk 1 m  1 1 1 2 1, [ , ;0, , ;0] , x t x R t u     2 1 1 2 1 1 , ;0 , ;0 , ;0 , ;0 , ;0 x t x t x t x t x t t x x x                   2 , , , , , , u x t u x t x t u x t u x t t x x x               2 1 1 2 2, [ , ;0, , ;0] , x t x R t u     3 2 1 2 1 3 2 2 2 , ; 0 [ , ; 0 , ; 0] , ; 0 , ; 0 x t x t x t x t t x x x t x                    3 2 3 , [ , , ] , , . x t u x t x t u x t x t t x x x                   Untuk 2 m  1 1 2 1,2 1 1 [ 1 , , ; , , ; ] 1 q x t q x t q R u q        1 1 2 1 2 1 2 , ; , ; , ; , ; , ; q x t q x t q x t q x t q q t x x x t q x                            1 1 1 2 2 1 , ; , ; , ; , ; , ; q q q q x t q x t q x t q t q q x x t q x t q x q x q                                                             1 1 1 2 1 1 1 1 , , ; , ; 0 , ; , ; 0 , , q q u x t x t q x t t x q x t q x t x t u x t q x x x                                           1 1 1 1 2 1 , , , , , , , , u x t u x t u x t x t u x t u x t t x x x u x t x                  2 1 2 2,2 1 1 [ , ;0, 1 , 1 , ;0] q x t R u x t q        3 2 1 2 3 2 2 1 , ; [ , ; , ; ] , ; , ; q x t q x t q x t q x t q q t x x x t q x                            2 1 2 3 2 1 2 3 2 , ; [ , ; , ; ] , ; , ; q q q q x t q x t q x t q t q x q x t q x t q x q x q                                                                1 2 1 3 2 1 1 1 2 3 2 , , ; , ; 0 , ; , , , ; 0 q q x t x t q x t t x q x t q u x t x t x t q x x                                     1 1 1 3 2 1 1 3 2 , , , , , , , . x t u x t x t u x t x t t x u x t x t x x                     Untuk m=3 1 1 2 2 1,3 2 2 2 [ , ; 1 , , , ; ] 2 q x t q q R u x q t        2 1 1 2 1 2 2 1 2 , ; , ; , ; , ; 1 ; 2 , q x t q x t q x t q x t q q t x x x t q x                            2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 , ; , ; , ; , 2 ; , ; q q q q x t q x t q x t q t q q x x t q x t q x q x q                                                             2 1 1 2 1 1 2 2 , , ; , ; , ; , ; , , 1 2 q u x t x t q x t q t q x q x t q x t q x t u x t q x x x                                         2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 , , ; , ; 0 , ; , ; , ; , ; , ; , ; 0 , , 1 2 q q q q q q u x t x t q x t t x q x t q x t q q x q x t q x t q x t q x t q x q q x x t u x t x x                                                                                 2 2 1 1 2 2 2 2 2 , , , , , , , , , u x t u x t u x t u x t u x t t x x u x t x t u x t u x t x x x                     2 2 2 2 2 2 , , , , , , n n n u x t u x t x t u x t u x t t x x x                  2 1 2 2 2,3 2 2 2 [ , ; 1 , , , ; ] 2 q x t q q R u x q t        3 2 2 1 2 1 2 2 3 2 , ; [ , ; , ; ] , ; , ; 1 2 q x t q x t q x t q x t q q t x x x t q x                            2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 1 2 3 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 , ; [ , ; , ; ] , ; , ; 2 q q q q x t q x t q x t q t q x q x t q x t q x q x q                                                                2 2 1 3 2 1 2 2 2 3 2 , , ; , ; , ; , , , ; 2 1 q q x t x t q x t q t x q q x t q u x t x t x t q q x x                                    2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 1 2 2 2 2 3 2 , , ; , ; 0 , ; , ; , ; , ; , ; , , , ; 0 1 2 q q q q q q x t x t q x t t x q x t q x t q x t q x t q q q x t q u x t x t x t q x x q q                                                      2 2 1 1 2 3 2 2 2 3 2 , , , , , , , , , x t u x t x t u x t x t u x t x t t x u x t x t x x                      3 2 2 2 2 2 2 3 2 , , , , , . n n n x t u x t x t u x t x t t x x                   Secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk: 1 1 1 1 , 2 1 1 1 1 , , , , , , m m m n n n m m m m m u x t u x t u x t t x x t u x t u x x R                          1 1 1 3 2 1 1 3 2 2, 1 1 , , , , , . , m m n m m m n m m n m R x t u x t x t t u x t x t u x x                           dengan 1, 2,3,... m 

c. Penurunan persamaan 3.22 dan 3.33