0.5 0.5
2 2
0.5 2
2 2
0.5 2
2 2
2
cosh sinh
cosh sinh sinh
k k
k k
2.24
Karena sinh ,
d d
maka diperoleh sinh
csch ,
dan
cosh coth .
2.25
Selanjutnya dengan menggunakan persamaan 2.15, 2.23, 2.24 dan 2.25, serta
, k
maka persamaan 2.23 berbentuk
2 0.5 2
2 2 0.5
2
, 2
coth[ ],
, 2
csch [ ],
u x t k
k x x
t x t
k k x
x t
2.26
dan persamaan 2.24 berbentuk
0.5 0.5
2 2
0.5 2
2 2
0.5 2
2 2
2
, coth[
] csch[
] ,
coth[ ]
csch[ ]
csch [ ].
u x t k
k x x
t k
k x x
t x t
k k x
x t
k x x
t k
k x x
t
2.27
Persamaan 2.26 dan 2.27 merupakan penyelesaian gelombang berjalan untuk persamaan WBK. Persamaan 2.26 dan 2.27 adalah persamaan yang
akan digunakan sebagai pembanding dengan penyelesaian persamaan WBK dengan menggunakan metode homotopi. Konsep dasar metode homotopi akan
diberikan pada bagian berikut.
2.3 Metode Homotopi
Berikut ini diberikan ilustrasi dari konsep metode homotopi. Misalkan diberikan persamaan diferensial berikut:
0, v t
t
2.28
dengan operator turunan, t variabel bebas dan
v t fungsi yang akan ditentukan. Selanjutnya didefinisikan pula suatu operator linear
yang memenuhi
0, f
bila
0. f
2.29 Misalkan
v t
merupakan pendekatan awal dari penyelesaian persamaan 2.28 dan
[0,1] q
suatu parameter. Didefinisikan fungsi real
; :
Ω 0,1 t q
R, dan suatu fungsi H sebagai berikut :
; 1
H q
q v t
q
2.30 dengan suatu fungsi sebarang.
Berdasarkan persamaan 2.30, untuk q
dan 1
q masing-masing
memberikan persamaan berikut:
; 0 ; 0 [
; 0 ]
H t
t v t
dan
;1;1 ;1 .
H t
t
2.31 Menurut persamaan 2.28, 2.29 dan 2.30 diperoleh bahwa fungsi
; 0 t
v t
dan
;1 t
v t
masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan
[ ;0;0] 0 dan [ ;1;1]
0. H
t H
t
Selanjutnya, misalkan fungsi ,
t q
penyelesaian dari persamaan [ ; ] 0
H q
atau
1 .
q v t
q
2.32 Selanjutnya, penurunan
m
kali persamaan 2.32 terhadap
, q
dengan q
dan dibagi
m
akan diperoleh bentuk persamaan orde ke-m berikut:
1 1
[ ]
m m
m m m
x t x
t R v
2.33 dimana
1 1
1
1 ; ]
1 [
m q
m m
m
R v t q
m q
2.34
dan 0,
1 .
1, 1
m
m m
2.35 Dengan menggunakan deret Taylor,
, t q
dapat diuraikan menjadi
1
; ,
m m
m
t q v t
v t q
2.36 dimana
1 ;
.
m m
m q
t q v t
m q
2.37 Jika persamaan 2.37 dengan
1, q
maka diperoleh
1
,
m m
m
v t v t
v t q
2.38 dengan
v t
adalah pendekatan penyelesaian awal dan
m
v t
diperoleh dari penyelesaian persamaan 2.33.
Dengan demikian peningkatan nilai q dari 0 ke 1 menyatakan perubahan nilai
[ ; ] H
q
dari
[ ]
v t
ke
. Dalam topologi hal ini disebut dengan
deformasi. Selanjutnya, untuk lebih memahami metode ini, misalkan diberikan suatu
masalah nilai awal berikut: 4 3
4 4
0, 3
0,
t t
d x t
y t e
t dt
d y t
x t e
dt
2.39
dengan syarat awal 0 0
x dan 0 0.
y
Penyelesaian eksak dari masalah nilai awal tersebut adalah
2 2
3 2
1, 1.
t t
t
x t e
e y t
e t
2.40
Berikut ini akan dicari penyelesaian persamaan 2.39 dengan menggunakan metode homotopi. Untuk itu, misalkan operator taklinear diberikan
sebagai berikut:
1 1
1 2
2 2
2 1
2 1
; [ ; ,
; ] 2 ;
4, ;
[ ; , ; ]
; 3 ,
t t
t q t q
t q t q
e t
t q t q
t q t q
e t
2.41 dan opertor linear diberikan sebagai berikut:
1 1
1
; [ ; ]
, t q
t q t
dan
2 2
2
; [ ; ]
. t q
t q t
2.42 Selanjutnya
x t dan y t diperoleh dari persamaan berikut:
1 1
, ,
m m
m m
m m
x t x t
x t q y t
y t y t q
2.43
dimana
1
2
; 1
; 1
.
m m
m q
m m
m q
t q x t
m q
t q y t
m q
2.44
Kemudian
m
x t
dan
m
y t
diperoleh dengan menggunakan persamaan berikut:
1 1
2 1
1 1
1 2
1 1
1
2 1
2
; , ; ]
1 ,
1 ; ,
; ] 1
[
[ .
1
m m
m m
m q
m m
m m
m q
t q t q
x t x
t dt
m q
t q t q
y t y
t dt
m q
2.45
Dengan
m
diberikan pada persamaan 2.35, yang bergantung pada nilai awal
m
x
dan
0.
m
y
Misalkan penyelesaian pendekatan awal
x t t
dan
2
, y t
t
dan
1 2
,
maka menurut persamaan 2.45 diperoleh
3 2
1
4 3 3
5 2
, 3
t
t x t
e t
t
3 2
2 2
3 2
4 1
3 3 5
2 45 45
51 6
10 3
3 ,
t t
t x t
e t
t e
t t
t
2 1
3 3 3
2 ,
t
t e
y t
2 2
2 3
4 2
3 1
3 3 18 18
9 12
2 2
3 ,
t t
t y t
e e
t t
t t
demikian seterusnya hingga diperoleh serangkaian penyelesaian
1 2
3
, , ,
,... x x x x
dan
1 2
3
, ,
, ,...
y y y y
Jika dipilih
1
, maka penyelesaian masalah nilai awal 2.39 dengan metode homotopi adalah:
2 4
3 3
2
2 4
3 12 1
9 9 8
... 2
2 1
3 .
8 ..
3 3
t t
x t e
t e
t t
t t
t t
t y
2.46
Penurunan persamaan 2.46 diberikan pada lampiran 1c. Berikut ini akan digunakan bantuan software Mathematicha untuk
menggambarkan hampiran penyelesaian masalah nilai awal dengan menggunakan metode homotopi pada persamaan 3.39 hingga orde ke-10 dan dibandingkan
dengan penyelesaian pada persamaan 2.33. Jika parameter tambahan yang
dipilih adalah 1,
maka akan memberikan galat yang sangat kecil jika dibandingkan dengan penyelesaian pada persamaan 2.33, seperti ditunjukkan
pada Tabel 2.1
.
Pada Tabel 2.1 terlihat bahwa semakin tinggi orde yang digunakan maka akan semakin mendekati penyelesaian eksak dan daerah
kekonvergenan akan semakin bertambah. Penambahan daerah kekonvergenan juga bergantung pada parameter dan nilai pendekatan penyelesaian awal
x t
dan
. y t
Tabel 2.1 Galat antara penyelesaian dengan menggunakan metode homotopi dan secara eksak
t
xt yt
Orde 3 Orde 5
Orde 10 Orde 3
Orde 5 Orde 10
-2 3.0570×10
1.6043×10
1
7.4468×10
-2
2.7276×10 1.6778×10
0.1485×10 -1.4
1.2330×10
1
4.1915×10 6.7802×10
-3
1.2196×10 0.4759×10
1.2817×10
-4
-1.2 3.8754×10
0.7482×10 3.0505×10
-4
0.4300×10 9.2775×10
-2
5.4570×10
-4
-0.8 0.7696×10
6.6384×10
-2
3.7768×10
-6
9.6882×10
-2
9.0410×10
-3
6.3819×10
-6
-0.4 4.9122×10
-2
1.0583×10
-3
1.9617×10
-9
7.0884×10
-4
1.5911×10
-4
3.1818×10
-9
0 4.9146×10
-15
2.8066×10
-14
1.1419×10
-11
1.6653×10
-
3.5426×10
-
1.0887×10
-
0.4 5.4751×10
-2
1.1430×10
-3
2.4248×10
-9
1.0578×10
-2
2.1180×10
-4
3.3101×10
-9
0.8 0.9664×10
7.7811×10
-2
5.2760×10
-6
0.2161×10 1.6051×10
-2
6.9862×10
-6
1.2 0.5600×10
1
0.9609×10 5.0463×10
-2
0.14394×10
1
0.2205×10 6.2688×10
-4
1.6 0.2108×10
2
0.5981×10
1
1.3312×10
-2
0.6159×10
1
1.5227×10 1.5506×10
-2
2 0.6400×10
2
0.2590×10
2
0.17404×10 0.2093×10
2
0.7279×10
1
0.1901×10
III HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Analisis Metode
