III HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Analisis Metode
Dalam penelitian ini akan digunakan metode homotopi untuk menyelesaikan persamaan Whitham-Broer-Koup WBK, yaitu persamaan gerak
bagi perambatan gelombang pada perairan dangkal yang bentuknya berupa sistem persamaan diferensial taklinear. Perluasan konsep dasar metode homotopi yang
telah diuraikan pada landasan teori dilakukan sebagai berikut. Tinjau sistem persamaan berikut:
1 2
[ , , , ] [ , , , ]
u x t x t
u x t x t
3.1 dengan
1
dan
2
operator turunan yang bentuknya taklinear, sedangkan fungsi
u
dan merupakan fungsi yang memenuhi persamaan 3.1 yang akan
ditentukan. Selanjutnya didefinisikan fungsi real
1
, , x t q
dan
2
, , x t q
dan
suatu fungsi
1
H
dan
2
H
sebagai berikut:
1 1
1 1
1 2
2 2
2 2
1 1
2 2
1 2
1 2
[ , , , ]
[ , , , , , ]
[ , , , ]
[ , , , [ , ; ]
1 [ ,
, , ], ; ]
1 H
q q
H x t q
u x t q
x t q x t q
x t q x t
q x t q
x t q
q q
3.2
dengan
1
dan
2
suatu operator linear dan
u
dan masing-masing fungsi
pendekatan awal dari penyelesaian persamaan 3.1. Berdasarkan persamaan 3.2 untuk
q membentuk persamaan berikut:
1 1
2 1
1 2
2 1
2 2
[ , , 0 , ]
[ , , 0 , ]
[ , ;0]
[ , ,
;0] H
H x t
u x t x t
x t
3.3 dan untuk
1 q
memberikan
1 1
1 2
2 2
1 1
2 2
2 1
2 1
[ , ,1, , ,1]
[ , ;1]
[ , [ , ,1,
, ,1 ;1]
]. H
H x t
x t x t
x t
3.4
Berdasarkan persamaan 3.3 diperoleh bahwa fungsi
1
, , 0 ,
x t u x t
dan
2
, , 0 , ,
x t x t
masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan
1 1
2 2
1 2
[ , ; 0]
[ , ; 0]
0. ,
H H
Selain itu, berdasarkan persamaan 3.1 dan 3.4 diperoleh fungsi
1
, ,1 ,
x t u x t
dan
2
, ,1 , ,
x t x t
yang masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan
1 1
2 2
1 2
[ , ;1]
[ , ;1]
0. ,
H H
Selanjutnya, karena parameter q bernilai dari 0 sampai 1, maka
1
, ; x t q
dan
2
, ; x t q
masing-masing akan memetakan pendekatan awal
, u x t
ke penyelesaian eksak
, u x t dan memetakan pendekatan awal
, x t
ke
penyelesaian eksak ,
x t
. Dengan menggunakan deret Taylor dari
1
, ; x t q
dan
2
, ; x t q
terhadap
, q
diperoleh
1 1
2 1
, ; ,
, ,
, ; ,
, ,
m m
m m
m m
x t q u x t
u x t q
x t q x t
x t q
3.5
dengan
1 , ;
, ,
1 , ;
, .
m m
m q
m m
m q
x t q u
x t m
q x t q
x t m
q
3.6
Jadi untuk 1
q diperoleh
1
, ,1 ,
, .
m m
x t u x t
u x t
3.7 Karena
1
, ,1 , ,
x t u x t
maka ,
, , .
m m
u x t u x t
u x t
3.8 Hal yang sama diperoleh
2
, ,1 ,
, .
m m
x t x t
x t
3.9 Karena
2
, ,1 , ,
x t x t
maka ,
, , .
m m
x t x t
x t
3.10 Selanjutnya akan ditentukan
m
u
dan
,
m
1, 2,...
m
berikut ini. Berdasarkan deformasi orde nol diperoleh
1 1
1 1
1 2
2 2
2 2
1 2
1 [ , ;
, ] [ , ; ,
, ; ] [ , ;
, ] [ , ; ,
, ; ] 1
. x t q
u x t q
x t q x t q
x t q x t
q x t q
x q
q t
q
3.11 Jika kedua ruas dari persamaan 3.11 diturunkan terhadap q hingga
m
kali, kemudian mengevaluasi di
q dan dibagi
, m
maka diperoleh bentuk persamaan berikut:
1 1
1 1,
1 1
2 1
2 2,
1 1
[ ,
, ] [
, , , ]
[ ,
, ] [
, , , ],
m m
m m
m m
m m
m m
m m
u x t
u x t
R u
x t x t
x t x t
R u
x t x t
3.12 dengan
1, 1
1 1
1 1
1 2
1 1
2 1
2 2
1 2,
1 1
, ; , , ;
1 ,
1 , ; ,
, ; 1
, ,
1 ,
m m
q m
m m
m
m q
m
m m
R u
R x t q
x t q m
q x t q
x t q q
u m
dan 0,
1 .
1, 1
m
m m
Berdasarkan persamaan 3.12 dapat ditentukan
m
u
dan
,
m
1, 2,...
m
Penurunan persamaan 3.12 diberikan pada Lampiran 2a. Secara ringkas penggunaan metode homotopi untuk menyelesaikan sistem
persamaan diferensial 3.1 dilakukan sebagai berikut: 1.
Misalkan diberikan pendekatan awal dari penyelesaian sistem persamaan diferensial 3.1 masing-masing
, u x t
dan
, . x t
2.
Tentukan
,
m
u x t
dan
, ,
m
x t
1, 2,...
m
berdasarkan persamaan 3.12 dengan
1
dan
2
dipilih sembarang. Pemilihan
1
dan
2
dapat mempengaruhi perluasan selang kekonvergenan dari deret 3.8 dan 3.10.
3. Penyelesaian pendekatan dengan metode homotopi ditentukan berdasarkan
deret 3.8 dan 3.10. Untuk lebih jelasnya, maka bagian selanjutnya akan dibahas aplikasi dari metode
homotopi untuk menyelesaikan persamaan WBK.
3.2 Aplikasi Metode
Kategori