0.
t x
xx t
xxx xx
u u
u
2.13
Penurunan persamaan 2.13 diberikan pada Lampiran 1a. Persamaan 2.13 merupakan persamaan gelombang yang melibatkan faktor
dispersi. Dengan demikian persamaan gelombang taklinear dan bersifat dispersi
diberikan sebagai berikut:
2 2
3 2
3 2
0, u
u u
u t
x x
x u
u u
t x
x x
x
2.14
dengan
adalah simpangan gelombang yang diukur dari dasar fluida. Persamaan 2.14 disebut persamaan Whitham-Broer-Koup WBK.
Berdasarkan Xie, et al. [9] diperoleh penjelasan mengenai penyelesaian persamaan WBK dalam bentuk gelombang berjalan seperti yang akan dibahas
pada bagian selanjutnya. Selain itu, persamaan WBK akan diselesaikan dengan metode homotopi dan membandingkan kedua hasil yang diperoleh.
2.2 Penyelesaian persamaan WBK dalam bentuk gelombang berjalan
Misalkan penyelesaian persamaan 2.14, dinyatakan dalam bentuk gelombang berjalan berikut:
, ,
u x t
,
, x t
2.15
dengan
, k x
x t
dan
x
adalah konstanta sebarang. Jika persamaan 2.15 disubstitusikan ke dalam persamaan 2.14, maka
diperoleh
2 2
2
0, k
k k
k
3 2
3 2
3 2
0. k
k k
k
Jika persamaan di atas dibagi dengan
k
, maka diperoleh
2 2
3 2
2 3
2
0, 0.
k k
k
2.16
Dengan menggunakan metode koefisien peubah, misalkan penyelesaian persamaan 2.16 memiliki bentuk berikut:
2 1
1 2
2
cosh sinh ,
cosh sinh
cosh sinh sinh
, b
a b
B A
B A
B
2.17 dengan
1 1
2 2
, , ,
, ,
, b b B
A B A B
akan ditentukan, sedangkan bergantung pada
dan memenuhi sinh .
Jika persamaan 2.17 disubstitusikan ke dalam persamaan 2.16, maka diperoleh
2 1
2 2
2 2
1 2
3 2
sinh cosh sinh
sinh 2
2 cosh sinh
2 2
2 sinh
A ab b k
b b B
b ab
A a
a b
B a k
A ab
b k
2.18
2 1
1 1
2 2
2 1
2 1
2 2
1 2
2 2
1 2
1 2
1 1
2 3
2 1
1 1
2 2
2 2
2
sinh cosh
sinh 2
2 4
4 sinh
2 2
2 2
2 cosh
sinh 2
2 2
2 2
sinh 3
3 6
6 cos
b A bA
aB B
k A
aA bB
b B b k
A k
B b A
aB bA
aB a k
B k
A aA
b B bB
A k B
b A aB
bA B
k A
aA bB
b k A
k
3 2
4 2
2 2
2 2
h sinh
2 2
6 6
sinh bA
aB bA
aB a k
B k
2.19
Karena sinh
0,
dan cosh
untuk setiap 0,
maka dari persamaan 2.18 dan 2.19 diperoleh sistem persamaan berikut:
2 1
1 2
2 2
2 2
1 1
1 2
2 2
1 2
1 2
1 2
2 2
1 1
2 1
1 2
2 1
1 1
2 2
2 2
2
2 2
4 4
2 2
2 2
2 2
2 2
2 A
ab b k b b
B b
ab A
a a
b B
a k A
ab b k
b A bA
aB B k
A aA
bB b B
b k A
k B
b A aB
bA aB
a k B
k A
aA b B
bB A k
B b A
aB bA
B k
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 3
3 6
6 2
2 6
6 0.
A aA
bB b k
A k
bA aB
bA aB
a k B
k
2.20
Penurunan persamaan 2.18 dan 2.19 dapat dilihat pada Lampiran 1b. Dengan menggunakan bantuan software Mathematica diperoleh dua kasus
penyelesaian dari persamaan 2.20. Kasus pertama diperoleh penyelesaian sebagai berikut:
1 1
2 0.5
2 .5
2 2
2 2
0, 2
2 ,
b b
a B
B A
A k
B k
2.21
sedangkan kasus kedua diperoleh penyelesaian sebagai berikut:
1 1
0.5 2
2 2
, ,
, 0,
. ,
B B
A k
b a
a b a
k B
a b
a k
a
2.22
Dengan demikian penyelesaian persamaan 2.16 berdasarkan kasus pertama, diperoleh:
0.5 2
0.5 2
2 2
2
2 cosh
2 sinh
k k
2.23
dan berdasarkan kasus kedua, diperoleh:
0.5 0.5
2 2
0.5 2
2 2
0.5 2
2 2
2
cosh sinh
cosh sinh sinh
k k
k k
2.24
Karena sinh ,
d d
maka diperoleh sinh
csch ,
dan
cosh coth .
2.25
Selanjutnya dengan menggunakan persamaan 2.15, 2.23, 2.24 dan 2.25, serta
, k
maka persamaan 2.23 berbentuk
2 0.5 2
2 2 0.5
2
, 2
coth[ ],
, 2
csch [ ],
u x t k
k x x
t x t
k k x
x t
2.26
dan persamaan 2.24 berbentuk
0.5 0.5
2 2
0.5 2
2 2
0.5 2
2 2
2
, coth[
] csch[
] ,
coth[ ]
csch[ ]
csch [ ].
u x t k
k x x
t k
k x x
t x t
k k x
x t
k x x
t k
k x x
t
2.27
Persamaan 2.26 dan 2.27 merupakan penyelesaian gelombang berjalan untuk persamaan WBK. Persamaan 2.26 dan 2.27 adalah persamaan yang
akan digunakan sebagai pembanding dengan penyelesaian persamaan WBK dengan menggunakan metode homotopi. Konsep dasar metode homotopi akan
diberikan pada bagian berikut.
2.3 Metode Homotopi
