2 1
1 1
2 2
2 1
2 1
2 2
1 2
2 2
1 2
1 2
1 1
2 3
2 1
1 1
2 2
2 2
2
sinh cosh sinh
2 2
4 4
sinh 2
2 2
2 2
cosh sinh 2
2 2
2 2
sinh 3
3 6
6 cos
b A bA
aB B k
A aA
bB b B
b k A
k B
b A aB
bA aB
a k B
k A
aA b B
bB A k
B b A
aB bA
B k A
aA bB
b k A
k
3 2
4 2
2 2
2 2
h sinh 2
2 6
6 sinh
bA aB
bA aB
a k B
k
c. Penyelesaian masalah nilai awal 2.46
Perhatikan masalah system peramaan diferensial 2.46 berikut: 4 3
4 4
0, 3
0,
t t
d x t
y t e
t dt
d y t
x t e
dt
dengan syarat awal
0 0 x
dan 0 0. y
Misalkan
1 1
1 2
2 2
2 1
2 1
; [ ; ,
; ] 4 ; 3
4 4,
; [ ; ,
; ] ; 3 ,
t t
t q t q
t q t q
e t
t t q
t q t q
t q e
t
dan
1 1
2 2
; [ ; ]
, ;
[ ; ] .
t q t q
t t q
t q t
Dengan menggunakan persamaan berikut:
1 1
1, 1
1 2
1
[ ]
, [
] .
2,
m m
m m
m m
m m
m m
t x
t R
x y t
y t
R x
y
diperoleh
1 1
1, 1
1 1
1, 1
] ,
] ,
[ [
m m
m m
m m
m m
m m
t x
t R
x y t
y t
R x
t t
y
atau
1 1
1, 1
1 2
2, 1
, ,
m m
m m
m m
m m
m m
x t x
t R
x dt
y t y
t R
y dt
atau
1 1
1, 1
1 2
2, 1
, ,
m m
m m
m m
m m
m m
x t x
t R
x dt
y t y
t R
y dt
dengan
1 1
1 2
1, 1
1 1
2 1
2 2,
1 1
[ ; , ; ]
1 ,
1 [ ; ,
; ] 1
, 1
m m
m m
q m
m m
m q
t q t q
R x
m q
t q t q
R y
m q
dan 0,
1 .
1, 1
m
m m
Karena
m
x
dan
0,
m
y
maka diperoleh
1 1
1 2
1 1
1 1
2 1
2 1
2 1
[ ; , ; ]
1 ,
1 [ ; ,
; ] 1
. 1
t m
m m
m m
q t
m m
m m
m q
t q t q
x t x
t ds
m q
t q t q
y t y
t ds
m q
Karena
1
; , x t
t q
2
; , y t
t q
dan dipilih pendekatan awal
x t t
dan
2
, y t
t
serta untuk penyederhanaan dipilih
1 2
,
maka Untuk
1 m
1 1
2 1
[ ; 0, ; 0]
t
x t x t
t t
ds
1 2
; 0 4 ; 0 3
4 4
t t
t t
e t
ds t
4 3
4 4
t t
x t y t
e t
ds t
2
1 4 3
4 4
t t
t e
t ds
3 2
4 3 3
5 2
. 3
t
t e
t t
dan
2 1
2 1
[ ; 0, ; 0]
t
y t y t
t t
ds
2 1
; 0 ; 0 3
t t
t t
e ds
t
3
t t
y t x t
e ds
t
2 3
t t
t t
e ds
2 1
3 3 3
. 2
t
t e
y t
Untuk
2 m
1 1
1 2
1 1
[ ; , ; ]
t q
t x t
x t q
t q ds
q
1 2
1
; 4 ; 3
4 4
t t
q
t q t
x q
e t
ds t
t q
1 2
1
; 4
;
t q
q
x t t q
t q ds
t q
q
1 1
1
4
t
x y t ds
t t
x t
3 2
2 2
4 3 3
5 2
3 3
5 3 4
4 4
3 3 2
t t
t t
t e
t t
t e
t t
e ds
3 2
2 2
4 3 3
5 2
17 15 4
10 3
t t
t
t e
t t
e t
t ds
3 2
2 2
3
4 3 3
5 2
45 51 45
6 10
3 3
. 1
t t
t e
t t
t e
t t
dan
2 1
2 2
1 1
[ ; , ; ]
t q
t y t
y t q
t q ds
q
2 1
1
; ;
3
t t
q
t q t q
e ds
q t
y t
1 2
1
; ;
t q
q
t q t q
ds t
q q
y t
1 1
1 t
x t d t
t y
y t s
2 3
2
3 4
3 3 3
3 3 3
5 2
2 3
t t
t t
t t
e t
e e
t t
ds
2 3
2 2
3 4
3 3 3 6
8 2
2 3
t t
t
t t
e e
t t
ds
2 4
2 3
2
3 1
3 3 18 9
18 12
2 .
2 3
t t
t e
t e
t t
t
Dengan cara yang sama untuk nilai
m
yang lainnya, diperoleh barisan
1 2
, ,...
x x
sebagai berikut:
3 1
2
4 3 3
5 2
3
t
t e
t t
x t
2 2
3 2
2 3
4 3 3
5 2
45 51 45
6 1
1 3
, 3
t t
t e
t t
t e
t t
x t
dan barisan
1 2
, ,...
y y
sebagai berikut:
2 1
3 2
3 3
t
y t t
e
2 2
2 3
4 2
3 1
3 3 18 9
18 12
2 .
2 3
t t
t e
t e
y t t
t t
Dengan demikian penyelesaian masalah sistem persamaan diferensial 2.15 dengan menggunakan metode homotopi adalah
1 2
3
... x t
x t x x
x t x t
atau
3 2
2 2
3
4 2
3 3 5
2 45 51
45 6
10 ...
3 1
3
t t
t x t
t e
t t
t e
t t
dan
1 2
3
... y t
y t y t
y t y t
atau
2 3
2 2
4 2
3 1
3 3 18 9
18 12
2 ...
2 3
2
t t
t e
t e
t t
t t
t y
Jika dipilih
1, maka diperoleh
2 3
9 9 8
. 2
4 ..
3
t
t t
x t e
t
dan
3 2
4
12 12 8
2 1
3 ...
3 3
t
e t
t t
t y
t
Lampiran 2 a.
Penurunan persamaan 3.12
Tinjau persamaan 3.11
1 1
1 1
1 2
2 2
2 2
1 2
1 [ , ;
, ] [ , ; ,
, ; ] [ , ;
, ] [ , ; ,
, ; ] 1
. x t q
u x t q
x t q x t q
x t q x t
q x t q
x q
q t
q
Jika kedua ruas pada persamaan di atas diturunkan terhadap
, q
maka diperoleh Turunan pertama
1 1
1 1
1 1
1 1
2 1
1 1
2 1
, ; , ;
, ; ,
, ; , , ;
, ; , , ;
, x t q
x t q q
x t q u x t
q q
x t q x t q
x t q x t q
q q
dan
2 2
2 2
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
, ; , ;
, ; ,
, ; , , ;
, ; , , ;
. x t q
x t q q
x t q x t
q q
x t q x t q
x t q x t q
q q
Turunan kedua
2 2
1 1
1 1
1 1
1 1
2 2
1 1
2 1
1 2
1 1
2 1
1 2
1 2
, ; , ;
, ; , ;
, ; , , ;
, ; , , ;
, ; , , ;
, x t q
x t q x t q
x t q q
q q
q q
x t q x t q
x t q x t q
q q
x t q x t q
q q
dan
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
2 2
1 2
2 2
2 2
1 2
2 2
, ; , ;
, ; , ;
, ; , , ;
, ; , , ;
, ; , , ;
. x t q
x t q x t q
x t q q
q q
q q
x t q x t q
x t q x t q
q q
x t q x t q
q q
atau
2 2
1 1
1 1
1 1
2 2
2 1
1 2
1 1
2 1
1 2
, ; , ;
, ; 2
, ; , , ;
, ; , , ;
2 ,
x t q x t q
x t q q
q q
q x t q
x t q x t q
x t q q
q q
dan
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2
2 1
2 2
2 2
, ; , ;
, ; 2
, ; , , ;
, ; , , ;
2 .
x t q x t q
x t q q
q q
q x t q
x t q x t q
x t q q
q q
Turunan ketiga
3 2
2 3
1 1
1 1
1 1
1 1
3 2
3 2
2 2
1 1
2 1
1 2
1 1
2 2
3 1
1 2
1 3
, ; , ;
, ; , ;
2 , ; ,
, ; , ; ,
, ; 2
, ; , , ;
, x t q
x t q x t q
x t q q
q q
q q
x t q x t q
x t q x t q
q q
x t q x t q
q q
dan
3 2
2 3
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 3
2 2
1 2
2 1
2 2
2 2
2 3
2 1
2 2
3
, ; , ;
, ; , ;
2 , ; ,
, ; , ; ,
, ; 2
, ; , , ;
. x t q
x t q x t q
x t q q
q q
q q
x t q x t q
x t q x t q
q q
x t q x t q
q q
atau
3 2
3 1
1 1
1 1
1 3
2 3
2 3
1 1
2 1
1 2
1 1
2 3
, ; , ;
, ; 3
, ; , , ;
, ; , , ;
3 ,
x t q x t q
x t q q
q q
q x t q
x t q x t q
x t q q
q q
dan
3 2
3 2
2 2
2 2
2 3
2 3
2 3
2 1
2 2
1 2
2 2
2 3
, ; , ;
, ; 3
, ; , , ;
, ; , , ;
3 .
x t q x t q
x t q q
q q
q x t q
x t q x t q
x t q q
q q
Dengan cara yang sama dengan sebelumnya, maka diperoleh turunan ke-m untuk
q sebagai berikut:
1 1
1 1
1 1
1 1
1 2
1 1
, ; , ;
, ; , , ;
,
m m
m m
q q
m m
q
x t q x t q
m q
q x t q
x t q mh
q
dan
1 2
2 2
2 1
1 2
1 2
2 1
, ; , ;
, ; , , ;
.
m m
m m
q q
m m
q
x t q x t q
m q
q x t q
x t q mh
q
Jika kedua ruas dari kedua persamaan di atas dibagi
m
, maka diperoleh
1 1
1 1
1 1
1 1
2 1
1
, ; , ;
1 1
1 , ; ,
, ; 1
, 1
m m
m m
q q
m m
q
x t q x t q
m q
m q
x t q x t q
m q
dan
1 2
2 2
1 1
2 1
2 2
1
, ; , ;
1 1
1 , ; ,
, ; 1
. 1
m m
m m
q q
m m
q
x t q x t q
m q
m q
x t q x t q
m q
Karena
1
, ; 1
, ,
m m
m q
x t q u
x t m
q
dan
2
, ; 1
, ,
m m
m q
x t q x t
m q
maka persamaan di atas menjadi
1 1
1 1,
1 1
2 1
2 2,
1 1
[ ,
, ] [
, , , ]
[ ,
, ] [
, , , ],
m m
m m
m m
m m
m m
m m
u x t
u x t
R u
x t x t
x t x t
R u
x t x t
dengan
1, 1
1 1
1 1
1 2
1 1
2 1
2 2
1 2,
1 1
, ; , , ;
1 ,
1 , ; ,
, ; 1
, ,
1 ,
m m
q m
m m
m
m q
m
m m
R u
R x t q
x t q m
q x t q
x t q q
u m
b. Penurunan Persamaan 3.18
