b. Penurunan persamaan 2.18 dan 2.19
Tinjau persamaan 2.17 berikut:
cosh sinh ,
b a
b
2.17a
2 1
1 2
2
cosh sinh
cosh sinh sinh
, B
A B
A B
2.17b
dengan bergantung pada
dan memenuhi sinh .
Jika persamaan 2.17a diturunkan terhadap ,
maka diperoleh sinh sinh
cosh sinh a
b
atau
2
cosh sinh sinh
. b
a
2.17c Turunan kedua dari persamaan 2.17a terhadap
adalah
2 2
cosh cosh sinh sinh sinh sinh
2 sinh cosh sinh b
a
atau
2 2
3 2
2
cosh sinh
sinh 2 cosh sinh
b b
a
Karena
2 2
cosh sinh
1,
maka
2 2
3 2
2
1 sinh sinh
sinh 2 cosh sinh
b b
a
atau
2 2
3 2
sinh 2 cosh sinh
2 sinh .
b a
b
2.17d Turunan ketiga dari persamaan 2.17a terhadap
adalah
3 3
2
cosh sinh 2
cosh 2sinh cosh sinh sinh sinh sinh
6 sinh cosh sinh b
a b
atau
3 2
2 4
3 3
cosh sinh 4 cosh
sinh 2 sinh
6 cosh sinh b
a a
b
atau
3 2
2 4
3 3
cosh sinh 4
1 sinh sinh
2 sinh 6 cosh sinh
b a
a b
atau
3 2
4 3
3
cosh sinh 4 sinh
6 sinh 6 cosh sinh
. b
a a
b
2.17e
Turunan pertama dari persamaan 2.17b terhadap
adalah
2 2
1 1
2 2
sinh sinh cosh sinh
cosh sinh
sinh 2
sinh cosh sinh A
B A
B
atau
2 2
3 1
1 2
2 2
sinh cosh sinh
1 sinh sinh
sinh 2
cosh sinh A
B A
B
atau
2 2
2 1
1 2
3 2
sinh cosh sinh
sinh 2
cosh sinh 2
sinh .
A B
A B
A
2.17f
Turunan kedua dari persamaan 2.17b terhadap
adalah
2 2
3 2
2 1
1 2
2 2
2 2
2
cosh sinh cosh
sinh sinh
2 sinh
cosh 2
sinh sinh
2 cosh sinh cosh sinh 6
sinh cosh sinh
A B
A B
A
atau
2 2
3 2
2 1
1 2
4 2
2 3
2 2
cosh sinh 1 sinh
sinh sinh
2 sinh
cosh 2
sinh 21 sinh
sinh 6
sinh cosh
A B
A B
A
atau
2 2
2 1
2 2
1 2
3 3
4 1
2 2
sinh cosh sinh
4 sinh
2 cosh sinh
2 sinh
6 cosh sinh
6 sinh
B A
B A
B A
B
2.17g
Selanjutnya, tinjau persamaan 2.16 Berikut:
2 2
0, k
2.1a
3 2
2 3
2
0. k
k
2.16b
Penurunan persamaan 2.18 Sebstitusikan persamaan 2.17c , 2.17d, dan 2.17f ke dalam persamaan
2.16a, maka diperoleh
2 2
2 2
1 1
2 3
2 2
2 3
cosh sinh sinh
cosh sinh
cosh sinh sinh
sinh cosh sinh
sinh 2
cosh sinh 2
sinh sinh
2 cosh sinh 2 sinh
b a
b a
b b
a A
B A
B A
k b a
b
atau
2 2
2 2
2 2
2 3
2 2
1 1
2 3
2 2
2 3
cosh sinh sinh
cosh sinh sinh
cosh sinh
cosh sinh cosh sinh
sinh sinh
sinh cosh sinh
sinh 2
cosh sinh 2
sinh sinh
2 cosh
sinh 2
sinh b
a b b
b a ab
a b
ab b
A B
A B
A b k
a k b k
atau
2 2
2 2
2 2
2 3
2 2
1 1
2 3
2 2
2 3
cosh sinh sinh
cosh sinh sinh
1 sinh sinh
cosh sinh cosh sinh
sinh sinh
sinh cosh sinh
sinh 2
cosh sinh 2
sinh sinh
2 cosh sinh
2 sinh
b a
b b b a
ab a
b ab
b A
B A
B A
b k a k
b k
atau
2 1
2 2
2 2
1 2
3 2
sinh cosh sinh
sinh 2
2 cosh sinh
2 2
2 sinh
A ab b k
b b B
b ab
A a
a b
B a k
A ab
b k
Penurunan persamaan 2.19 Substitusikan persamaan 2. 17c, 2.17e, 2.17f, dan 2.17g ke dalam
persamaan 2.16b, maka diperoleh
2 2
2 1
1 2
3 2
2 1
2 2
3 2
1 2
2 2
1 1
2 2
2
sinh cosh sinh
sinh 2
cosh sinh 2
sinh cosh
sinh sinh
cosh sinh sinh
2 cosh sinh
2 sinh
cosh sinh sinh
cosh sinh
cosh sinh sinh
cosh si A
B A
B A
b a
b A
B A
B A
b a
B A
B A
B k
b
2 4
3 2
2 1
2 2
1 3
3 4
1 2
2
nh 4 sinh
6 sinh 6 cosh sinh
sinh cosh sinh
4 sinh
2 cosh sinh
2 sinh
6 cosh sinh
6 sinh
a a
b k B
A B
A B
A B
atau
2 2
2 1
1 2
3 2
2 2
1 1
2 3
2 2
2 2
2 2
2 1
1 2
2
sinh cosh sinh
sinh 2
cosh sinh 2
sinh sinh
cosh sinh sinh
2 cosh sinh
2 sinh
cosh sinh cosh
sinh cosh sinh
2 cosh
sinh 2
cosh sinh A
B A
B A
b A b B
b A b B
b A
aA aB
aA aB
aA
3 2
2 3
2 1
1 3
4 2
2 2
2 2
2 1
1 2
3 2
2 3
2 1
1 3
4 2
2
sinh cosh sinh
sinh 2
cosh sinh 2
sinh cosh sinh
cosh sinh
cosh sinh cosh
sinh cosh sinh
sinh cosh sinh
sinh cosh sinh
sinh bA
bB bA
bB bA
bB bA
bB bA
bB aB
aA aB
aA aB
2 2
2 2
3 2
4 1
2 2
2 3
2 1
1 3
4 2
2
cosh sinh 4
sinh 6
cosh sinh 6
sinh sinh
cosh sinh 4
sinh 2
cosh sinh 2
sinh 6
cosh sinh 6
sinh b k
a k b k
a k B k
A k
B k
A k B k
A k
B k
atau
2 1
1 1
2 2
2 1
2 1
2 2
1 2
2 2
1 2
1 2
1 1
2 3
2 1
1 1
2 2
2 2
2
sinh cosh sinh
2 2
4 4
sinh 2
2 2
2 2
cosh sinh 2
2 2
2 2
sinh 3
3 6
6 cos
b A bA
aB B k
A aA
bB b B
b k A
k B
b A aB
bA aB
a k B
k A
aA b B
bB A k
B b A
aB bA
B k A
aA bB
b k A
k
3 2
4 2
2 2
2 2
h sinh 2
2 6
6 sinh
bA aB
bA aB
a k B
k
c. Penyelesaian masalah nilai awal 2.46