antara percepatan dan simpangan absolut dengan kecepatan dan simpangan relatif pada percepatan tanah seperti berikut:
y
1
= y
b
+ y ý
1
= ý
b
+ y 2.8 ÿ
1
= ÿ
b
+y Dimana yb adalah simpangan tanah dan y adalah simpangan massa relative
terhadap fondasinya. Kemudian dengan melakukan substitusi persamaan 2.8 ke dalam persamaan 2.7, maka akan diperoleh persamaan berikut,
m. ÿ + c. ý + k. y = - m . ÿ
b
2.9
Ruas kanan pada persamaan 2.9 biasa disebut sebagai beban gempa efektif atau beban gerakan tanah efektif, yang seolah-olah menjadi gaya dinamik efektif yang
bekerja pada elevasi lantai tingkat seperti pada gambar 2.5
2.9 Persamaan Diferensial pada Struktur MDOF
Paz, 1987 mengatakan bahwa struktur tidak selalu dapat digolongkan sebagai model berderajat tunggal dan pada umumnya dapat dinyatakan oleh
model berderajat
banyak. Kenyataannya,
struktur adalah
sistem berkesinambungan, jadi merupakan sistem berderajat kebebasan banyak MDOF.
Untuk menyatakan persamaan diferensial gerakan pada struktur dengan derajat kebebasan banyak maka dipakai anggapan dan pendekatan seperti pada
struktur dengan derajat kebebasan tunggal SDOF. Anggapan seperti prinsip shear building
masih berlaku pada struktur dengan derajat kebebasan banyak MDOF. Untuk memperoleh persamaan diferensial tersebut, maka tetap dipakai
prinsip keseimbangan dinamik pada suatu massa yang ditinjau. Untuk
F
3
t
k
1
a Struktur dengan 3 DOF
b Model Matematik
m
1
c
1
F
2
t
F
1
t k
3
k
2
k
1
h
h h
l l
F
1 t
k
2
m
2
c
2
F
2 t
k
3
m
3
c
3
F
3 t
c Free Body Diagram
k
1
y
1
c
1
ý
1
m
1
ÿ
1
k
2
y
2-
y
1
c
2
ý
2-
ý
1
m
2
ÿ
2
k
3
y
3-
y
2
c
3
ý
3-
ý
2
m
3
ÿ
3
memperoleh persamaan tersebut, maka diambil model struktur MDOF seperti gambar 2.6.
Gambar 2.6 Struktur 3 DOF dengan Redaman Sumber: Widodo 2001
Berdasarkan pada keseimbangan dinamik pada free body diagram akan diperoleh, m
1
ÿ
1
+ k
1
y
1
+ c
1
ý
1
– k
2
y
2
-y
1
– c
2
ý
2
- ý
1
- F
1
t = 0 2.10
m
2
ÿ
2
+ k
2
y
2
-y
1
+ c
2
ý
2
- ý
1
– k
3
y
3
-y
2
– c
3
ý
3
- ý
2
-F
2
t = 0 2.11
m
3
ÿ
3
+ k
3
y
3
-y
2
+ c
3
ý
3
- ý
2
– F
1
t = 0 2.12
Pada persamaan-persamaan tersebut di atas tampak bahwa keseimbangan dinamik suatu massa yang ditinjau ternyata dipengaruhi oleh kekauan, redaman,
simpangan massa sebelum dan sesudahnya. Persamaan dengan sifat-sifat seperti itu umumnya disebut coupled equation, karena persamaan-persamaan tersebut
akan bergantung satu sama lain. Penyelesaian persamaan coupled harus dilakukan secara simultan, artinya dengan melibatkan semua persamaan yang ada. Pada
struktur dengan derajat kebebasan banyak, persamaan diferensial gerakan
3
2 1
3 2
1 3
3 3
2 1
2 2
2 1
3 2
1 3
3 3
2 1
2 2
2 1
3 2
1 3
2 1
, ,
, ,
, ,
, ,
,
t F
t F
t F
y y
y k
k k
k k
k k
k k
y y
y c
c c
c c
c c
c c
y y
y m
m m
3
3 3
2 1
2 2
2 1
, 3
3 3
2 1
2 2
2 1
, 3
2 1
k k
k k
k k
k k
k K
c c
c c
c c
c c
c C
m m
m M
3
2 1
, 3
2 1
, 3
2 1
, 3
2 1
. .
. .
.. ..
.. ..
t F
t F
t F
t F
dan y
y y
Y y
y y
Y y
y y
Y
merupakan persamaan yang dependent atau coupled antara satu dengan yang lain. Selanjutnya dengan menyusun persamaan-persamaan di atas menurut
parameter yang sama percepatan, kecepatan, dan simpangan, maka akan diperoleh,
m
1
ÿ
1
+ c
1
+c
2
ý
1
- c
2
ý
2
+ k
1
+k
2
y
1
- k
2
y
2
= F
1
t 2.13
m
2
ÿ
2
- c
2
ý
1
+ c
2
+c
3
ý
2
- c
3
ý
3
- k
2
y
1
+ k
2
+k
3
y
2
- k
3
y
3
= F
2
t 2.14
m
3
ÿ
3
- c
3
ý
2
+c
3
ý
3
- k
3
y
2
+ k
3
y
3
= F
3
t 2.15
Persamaan-persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut,
2.16
Matriks di atas dapat ditulis ke dalam matriks yang lebih kompak, yakni:
[M]{ÿ} + [C]{ý} + [K]{y} = {Ft} 2.17
Dimana [M], [C], dan [K] berturut-turut adalah mass matriks, damping matriks dan matriks kekakuan yang dapat ditulis menjadi,
2.18 Sedangkan { ÿ },{ý},{ y} dan {Pt}masing-masing adalah vektor percepatan,
vector kecepatan, vektor simpangan dan vektor beban, yang dapat dituliskan sebagai berikut,
2.19
F t
Displacement y Velocity ý
Acceleration ÿ f
S
Displacement y Velocity ý
Acceleration ÿ f
D
f
I
a b
c d
= +
+
Secara visual Chopra 1995 menyajikan keseimbangan antara gaya dinamik, gaya pegas, gaya redam, dan gaya inersia seperti gambar berikut:
Gambar 2.7 Keseimbangan Gaya Dinamik dengan f
s
, f
d
, dan f
I
Chopra, 1995 Sumber: Widodo 2001
2.10 Analisis
