matriks redaman akan senada dengan matriks kekakuan. Selanjutnya Chopra 1995 mengatakan bahwa damping jenis ini secara fisik agak rasional, karena
disipasi energi akan dikaitkan dengan deformasi antar tingkat. Deformasi atau simpangan antar tingkat banyak bergantung pada kekakuan dan banyak
pernyataan telah disampaikan bahwa semakin besar simpangan struktur maka semakin besar pula potensi meredam energi.
3. Damping Proporsional dengan Massa dan Kekakuan Mass and Stiffness
Proportional Damping
Menyadari bahwa dua jenis redaman di atas masih mempunyai kelemahan- kelemahan maka umumnya dipakai kombinasi antara ke dua jenis redaman
tersebut. Kelemahan-kelemahan terletak pada nilai-nilai rasio redaman pada mode-mode lebih tinggi rasio redamannya menjadi sangat kecil dan sangat besar.
Sebaliknya pada mode-mode yang rendah rasio redamannya menjadi kebalikannya. Dengan kenyataan ini dipakai kombinasi antar jenis redaman yang
pertama dengan yang ke dua.
2.7 Persamaan Diferensial Struktur Pada SDOF
Struktur dengan derajat kebebasan tunggal SDOF hanya akan mempunyai satu koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi massa pada
saat tertentu yang ditinjau.
q = tm F t
k F t
a S tru ktu r S D O F
c M o d el M a tem a tik b M o d el F isik S tru ktu r S D O F
m c
d F ree B o d y D ia g ra m
k c
m
F t F s
F
D
F
I
Gambar 2.4 Pemodelan Struktur SDOF Sumber: Widodo 2001
Pada gambar 2.4.a tersebut tampak bahwa Ft adalah beban dinamik yaitu beban yang intensitasnya merupakan fungsi dari waktu. Sruktur seperti
gambar 2.4.a kemudian digambar secara ideal seperti tampak pada gambar 2.4.b. Notasi m,c, dan k seperti yang tampak digambar tersebut berturut-turut adalah
massa, koefisien redaman, dan kekakuan kolom. Pada gambar 2.4.c ditampilkan model matematik untuk struktur SDOF yang mempunyai redaman. Pada gambar
tersebut bekerja sebuah gaya dinamik Ft. Apabila beban dinamik Ft seperti gambar 2.4.c bekerja ke arah kanan,
maka akan terdapat perlawanan pegas, damper, dan gaya inersia. Gambar 2.4.d adalah gambar keseimbangan dinamik yang bekerja pada massa m. Gambar
tersebut disebut free body diagram. Berdasarkan prinsip keseimbangan dinamik pada free body diagram tersebut dapat diperoleh hubungan dalam persamaan di
bawah ini: F
I
+F
D
+F
S
=Ft 2.4
dimana : F
I
= m. ÿ F
D
= c. ý Fs = k.y
2.5
Yang mana F
I,
F
D,
F
S
berturut-turut adalah gaya inersia, gaya redam dan gaya pegas, sedangkan ÿ, ý, dan y berturut-turut adalah percepatan, kecepatan dan
simpangan. Apabila persamaan 2.5 diatas disubstitusikan pada persamaan 2.4 maka
akan diperoleh, m. ÿ + c. ý + k. y = Ft
2.6
2.8 Persamaan Diferensial Struktur SDOF Akibat Base Motions
Beban dinamik yang umum dipakai pada analisis struktur selain beban angin adalah beban gempa. Gempa bumi akan mengakibatkan permukaan tanah
menjadi bergetar yang getarannya direkam dalam bentuk aselerogram. Tanah yamg bergetar akan menyebabkan semua benda yang berada di atas tanah ikut
bergetar termasuk struktur bangunan. Dalam hal ini masih ada anggapan bahwa antara pondasi dan tanah pendukungnya bergerak secara bersamaan. Anggapan ini
sebenarnya tidak sepenuhnya benar karena tanah bukanlah material yang kaku yang mampu menyatu dengan pondasi. Kejadian yang sesungguhnya adalah
bahwa antara pondasi dan tanah tidak akan bergerak secara bersamaan. Pondasi masih akan begerak horizontal relatif terhadap tanah yang mendukungnya.
Keadaan seperti ini cukup rumit karena sudah mempertimbangkan pengaruh tanah
k
c M o d e l M a te m a tik b B e b a n G e m p a E fe k tif
m c
d F re e B o d y D ia g ra m
-m
ÿ
b
k c
m
k y c
ý
k c
m y
y
1
y
b
a S tru k tu r Id e a l
y
b
m
ÿ
terhadap analisis struktur yang umumnya disebut soil structure in teraction analisis.
Untuk menyusun persamaan diferensial gerakan massa akibat gerakan tanah maka anggapan diatas tetap dipakai yaitu tanah menyatu secara kaku dengan
kolom atau kolom dianggap dijepit pada bawahnya. Pada kondisi tersebut ujung bawah kolom dan tanah dasar bergerak secara bersamaan. Hal tersebut dapat
digambarkan seperti gambar 2.5.
Gambar 2.5 Struktur SDOF akibat Base Motion Sumber: Widodo 2001
Berdasarkan free body diagram seperti pada gambar di atas, maka persamaan diferensial gerakan adalah,
m. ÿ + c. ý + k. y = 0 2.7
Dimana ÿ, ý, dan y berturut-turut adalah percepatan, kecepatan dan simpangan absolut massa yang dihitung dari referensi awal. Dengan memakai hubungan
antara percepatan dan simpangan absolut dengan kecepatan dan simpangan relatif pada percepatan tanah seperti berikut:
y
1
= y
b
+ y ý
1
= ý
b
+ y 2.8 ÿ
1
= ÿ
b
+y Dimana yb adalah simpangan tanah dan y adalah simpangan massa relative
terhadap fondasinya. Kemudian dengan melakukan substitusi persamaan 2.8 ke dalam persamaan 2.7, maka akan diperoleh persamaan berikut,
m. ÿ + c. ý + k. y = - m . ÿ
b
2.9
Ruas kanan pada persamaan 2.9 biasa disebut sebagai beban gempa efektif atau beban gerakan tanah efektif, yang seolah-olah menjadi gaya dinamik efektif yang
bekerja pada elevasi lantai tingkat seperti pada gambar 2.5
2.9 Persamaan Diferensial pada Struktur MDOF
