29
Persamaan momentum dalam arah x:
asumsi: 1. F
BX
= 0 pipa horisontal 2. Aliran steady
3. Aliran incompressible 4. Aliran fully developed
maka: F
SX
= 0
sehingga:
Note: tegangan geser berubah secara linear dalam arah
r .
8.4. Aliran dalam Pipa dan Saluran
CS CV
Bx Sx
A d
V u
V d
u t
F F
= 0 1 = 0 2
= 0 3, 4
2 2
2 2
2 2
2
dx
r r
dx x
p dx
r r
dx x
p p
r dx
x p
p F
rx rx
Sx
x p
r
rx
2
30
Tegangan gaser pada dinding
w
terjadi pada r = R :
Note: persamaan H berlaku untuk aliran fully deveoped dalam pipa, baik Laminar maupun
Turbulent
• Aliran Laminar Untuk aliran laminar fully developed,
profil kecepatannya parabolik, sbb :
Kecepatan maksimum pada posisi r = 0 ditengah:
8.4. Aliran dalam Pipa dan Saluran
x p
R
R r
rx w
2
……H
2 2
1 4
R r
R u
x p
m
x p
4 μ
R U
U
2 m a x
31
sehingga:
atau:
untuk aliran laminar dalam pipa, kecepatan rata-rata ditunjukkan sbb:
• Aliran Turbulent Untuk
aliran turbulent,
tidak mempunyai formulasi sederhana yang
menghubungkan antara tegangan geser dan medan kecepatan rata-rata seperti
aliran laminar.
8.4. Aliran dalam Pipa dan Saluran
2
1 R
r U
u
2 1
2 1
U V
atau U
V
2
1 R
r U
u
32
Fluktuasi kecepatan
dalam aliran
turbulent menyebabkan
pertukaran momentum
antara lapisan
fluida, sehingga Tegangan Geser Total :
bila dibagi dengan
:
dimana: 8.4. Aliran dalam Pipa dan Saluran
v u
dy u
d
m
Reynolds Stress apparent stress
v u
dy u
d
n
1 2 w
T
u velocity
friction ρ
τ kuadrat
kecepatan berdimensi
ρ τ
dt v
u T
1 v
u y
x arah
dalam kecepatan
fluktuasi v
u rata
rata kecepatan
u
laminar
turbulent
33
Note:
•Pada daerah dekat dinding
laminar
lebih dominant
turbulent
= 0, karena No-slip conditions sehingga:
•
Total tegangan geser bervariasi linear dalam arah radial
•
Pada sumbu pipa
turbulent
dominant
laminar
0
8.4. Aliran dalam Pipa dan Saluran
y w
dy du
m
34
Secara empiris profil kecepatan untuk aliran turbulent dalam smooth pipe
diberikan dalam persamanan power-law
:
dimana : - n = fRe
- pers. Power-law tidak berlaku untuk yR 0,04
- n adalah slope dr grafik dibawah ini
8.5. Profil Kecepatan Turbulent dalam Aliran Fully Developed
n n
R r
R y
U u
1 1
1
35
Gambar diatas : n = fRe, dimana bila Re n :
8.5. Profil Kecepatan Turbulent dalam Aliran Fully Developed
3.200.000 Re
10 n
110.000 Re
7 n
4.000 Re
6 n
36
Persamaan Power-law
dapat dikembangkan
untuk mendapatkan
hubungan antara dan U :
dimana semakin besar harga
n
dengan bertambahnya Re profil kecepatan
semakin tumpul :
8.5. Profil Kecepatan Turbulent dalam Aliran Fully Developed
V
1 n
2 1
n n
2 U
V
2
87 ,
79 ,
U V
U V
7 n
6 n
37
Persamaan Dasar: 8.6. Konsiderasi Energi pada Aliran Dalam
Pipa
1 2
CV
y x
z
g
CV CS
other shear
s
A d
V pv
ρ e
d e
ρ t
W W
W Q
=01 =02 =01 =03
gz 2
V u
e
2
2 1
section pd
uniform tekanan
dalam energi
5. ible
incompress aliran
4. steady
aliran 3.
dinding pd
kecepatan ttp
dinding, pd
geser tegangan
ada meskipun
W 2.
W 0,
W 1.
: asumsi
shear other
s
38
Sehingga:
Note: 1. Kita tidak mengasumsikan bahwa
aliran adalah uniform karena kita tahu bahwa aliran adalah viscous.
2. Bagaimanapun juga akan lebih mudah bila kita menggunakan kecepatan rata-
rata , untuk itu didefinisikan koefisien Energi Kinetik
a: 8.6. Konsiderasi Energi pada Aliran Dalam
Pipa
1 1
A 2
1 2
A 2
2 2
1 2
1 2
1 2
dA V
ρ 2
V dA
V ρ
2 V
z z
g m
ρ p
ρ p
m u
u m
Q
1 2
2 A
3
V m
dA V
ρ α
V
……I
39
maka persamaan I menjadi:
Bila dibagi dengan didapat:
atau 8.6. Konsiderasi Energi pada Aliran Dalam
Pipa
2 V
α 2
V α
m z
z g
m ρ
p ρ
p m
u u
m Q
2 1
1 2
2 2
1 2
1 2
1 2
m
2 V
α 2
V α
z gz
ρ p
ρ p
u u
dm Q
2 1
1 2
2 2
1 2
1 2
1 2
g
dm Q
u u
gz 2
V α
ρ p
z 2
V α
ρ p
1 2
2 2
2 2
2 1
2 1
1 1
g
Total Head Loss
……..J
40
Note:
Sehingga persamaan J menjadi:
Note: a Untuk aliran tanpa gesekan
kecepatan aliran uniform a
1
= a
2
= 1 sehingga persamaan J menjadi
persamaan Bernoulli, dimana:
h
LT
= 0 8.6. Konsiderasi Energi pada Aliran Dalam
Pipa
LT 1
2 2
h loss
head Total
total head
kerugian merupakan
atau 2
dan 1
titik antara
masa satuan
per mekanik
energi perbedaan
dm Q
δ u
u masa
satuan per
mekanik energi
gz 2
V α
ρ p
……..K
LT 2
2 2
2 2
1 2
1 1
1
h gz
2 V
α ρ
p gz
2 V
α ρ
p
