Kegiatan Pembelajaran 8
100
3. Persamaan Ellips
Dalam ilmu fisika, dikenal hukum Keppler pertama yang berbunyi : orbit planet mengelilingi matahari berbentuk ellips dengan matahari terletak di salah satu
fokusnya. Orbit planet merupakan salah satu contoh aplikasi dari ellips. Oleh karena itu perlu dipelajari tentang ellips.
Berikut akan dicari persamaan ellips yang diturunkan dari definisi ellips dengan menggunakan eksentrisitas.
Diberikan titik tertentu dan garis
tertentu . Ellips adalah tempat
kedudukan titik-titik yang memenuhi
syarat perbandingan jaraknya ke titik dan jaraknya ke garis
tetap, kurang dari 1, yaitu
. Gambar 105. Definisi ellips
Dengan menggambar tegak lurus terhadap , terdapat titik pada
sedemikian sehingga , dan terdapat titik pada dengan .
Maka dan pada ellips. Misalkan , dan titik titik tengah , maka
. Akan ditentukan dan dalam suku-suku dan . Karena ,
dan , diperoleh
. Akan tetapi
– , dan . Maka ; di mana .
Diperoleh juga, – – ; yaitu – ; di
mana .
Gambar 106. Ellips dengan pusat
Modul Pelatihan Matematika SMA
101
Dengan mengambil titik asal di , sumbu- tegak lurus terhadap direktriks, sumbu-
sejajar dengan direktriks, misalkan titik sebarang titik pada ellips. Maka persamaan ellips diperoleh dari kondisi
Karena , maka √
. Karena
, maka . Dengan
demikian, √
atau .
Persamaan ellips ini dapat dituliskan secara lebih sederhana dengan membagi kedua ruas dengan
2 2
, dan kemudian menuliskan
2 2
2
, diperoleh
Persamaan ini merupakan persamaan umum ellips yang berpusat di
. Gambar 107. Unsur-unsur
ellips
Setelah diperoleh persamaan ellips, berikut akan dibahas unsur-unsur ellips. Ruas garis
dan berturut-turut disebut sumbu utama major axes dan sumbu minor dari ellips. Titik ujung sumbu utama
dan dan titik ujung sumbu minor dan
disebut titik puncak ellips vertex, titik disebut pusat ellips, ruas garis dan
, atau dan disebut setengah sumbu ellips semiaxes. Eksentrisitas ellips
berhubungan dengan dan dan diberikan oleh persamaan
2 2
2
. Jika √
Dengan demikian, jarak dari fokus ke pusat adalah √
. Fokus ellips
adalah di dan , di mana juga dapat diperoleh dari
√ .
Titik puncak ellips ini adalah , , , dan . Garis dan
merupakan direktriks ellips. Garis ini berjarak dari pusat ellips
sehingga
Kegiatan Pembelajaran 8
102
direktriksnya adalah garis . Karena
maka direktriks ellips dapat ditulis sebagai
. Perbandingan
yang disebut eksentrisitas eccentricity ellips ini menentukan bentuk ellips. Jika eksentrisitasnya besar, maka ellips lebih panjang. Semakin kecil
nilai eksentrisitas, ellips akan semakin bulat. Jika eksentrisitas 0, akan diperoleh lingkaran.
Ellips mempunyai dua latus rectum. Panjang kedua latus rectum ellips adalah panjang ruas garis yang tegak lurus sumbu utama dan melalui fokus, yaitu
ruas garis yang terletak pada garis √
. Dengan mensubstitusikan nilai ini ke persamaan ellips diperoleh ordinat titik potong latus rectum dan ellips
. Jadi panjang latus rectum adalah .
Contoh Tentukan koordinat puncak dan fokus ellips
. Dalam persamaan ini,
dan sehingga dan , karena
dan . Jadi titik puncaknya , , dan . Nilai adalah
√ √
Jadi fokus ellips di dan
. Jika sumbu utama ellips adalah sumbu-
maka fokus terletak pada sumbu- , sehingga persamaan ellips menjadi
, dengan .
Dari persamaan ini diperoleh ellips berpusat di ,
fokusnya
di dan
, dan puncaknya di titik , , dan .
Contoh 1.
Tentukan koordinat puncak dan fokus ellips .
Modul Pelatihan Matematika SMA
103
Jawab. Persamaan
dapat ditulis sebagai . Jadi
dan . Sumbu utamanya adalah sumbu-
. Titik puncaknya adalah
, ,
, dan .
Nilai diperoleh dari
√ √ √
Sehingga fokusnya adalah
√
dan
√
. 2.
Tentukan persamaan ellips yang panjang sumbu minornya 8 dan salah satu puncaknya di
. Jawab
.
Karena panjang sumbu minornya 8 dan salah satu puncaknya di
, maka a = 5 dan b = 4. Jadi persamaan ellips yang dicari adalah:
Selanjutnya akan dicari persamaan ellips yang pusatnya di titik
dan sumbu-sumbunya sejajar dengan sumbu koordinat. Jika diambil garis
dan sebagai sumbu-sumbu koordinat, persamaan ellips adalah
. Misal dilakukan translasi sumbu
dan ,
dengan memindahkan titik asal ke titik
, yang bersesuaian dengan titik
jika titik asalnya adalah
. Jika ditulis menjadi
dan menjadi
, maka persamaan ellips yang bersesuaian dengan sumbu-
dan sumbu- adalah
Gambar 108. Ellips berpusat di
�
Kegiatan Pembelajaran 8
104
Contoh Tuliskan karakteristik ellips dengan persamaan
. Jawab
Dari persamaan terlihat bahwa ellips berpusat di
, , dan
. Panjang sumbu utama adalah 10 dan panjang sumbu minornya
adalah 6. Sumbu mayor garis ,
sedangkan sumbu minor garis . Ellips
berpuncak di titik ,
, ,
dan .
4. Persamaan Hiperbola
Seperti halnya parabola, dan ellips, hiperbola juga memiliki banyak aplikasi di kehidupan. Salah satunya adalah menara pendingin pada PLTN penampangnya
berbentuk hiperbola. Pada Kegiatan Belajar ini akan dipelajari tentang persamaan hiperbola.
Salah satu definisi hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang eksentrisitasnya lebih besar dari satu. Berikut akan dicari persamaan hiperbola
menggunakan defnisi ini. Diberikan titik tertentu dan garis tertentu . Hiperbola
adalah tempat kedudukan titik-titik yang bergerak sedemikian sehingga
perbandingan jaraknya dari dan konstan lebih besar dari 1, yaitu .
Lukis tegak lurus dengan . Maka
pada terdapat titik sedemikian
sehingga , dan titik
sedemikian sehingga , yaitu,
dan . Maka, menurut definisi,
dan berada pada hiperbola.
Gambar 109 Definisi Hiperbola
Kategori