Kegiatan Pembelajaran 8
104
Contoh Tuliskan karakteristik ellips dengan persamaan
. Jawab
Dari persamaan terlihat bahwa ellips berpusat di
, , dan
. Panjang sumbu utama adalah 10 dan panjang sumbu minornya
adalah 6. Sumbu mayor garis ,
sedangkan sumbu minor garis . Ellips
berpuncak di titik ,
, ,
dan .
4. Persamaan Hiperbola
Seperti halnya parabola, dan ellips, hiperbola juga memiliki banyak aplikasi di kehidupan. Salah satunya adalah menara pendingin pada PLTN penampangnya
berbentuk hiperbola. Pada Kegiatan Belajar ini akan dipelajari tentang persamaan hiperbola.
Salah satu definisi hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang eksentrisitasnya lebih besar dari satu. Berikut akan dicari persamaan hiperbola
menggunakan defnisi ini. Diberikan titik tertentu dan garis tertentu . Hiperbola
adalah tempat kedudukan titik-titik yang bergerak sedemikian sehingga
perbandingan jaraknya dari dan konstan lebih besar dari 1, yaitu .
Lukis tegak lurus dengan . Maka
pada terdapat titik sedemikian
sehingga , dan titik
sedemikian sehingga , yaitu,
dan . Maka, menurut definisi,
dan berada pada hiperbola.
Gambar 109 Definisi Hiperbola
Modul Pelatihan Matematika SMA
105
Misalkan dan titik tengah , sehingga . dan akan
dinyatakan dalam dan . Karena – – , yaitu,
– , diperoleh .
Selain itu, sehingga .
Selanjutnya akan ditentukan persamaan hiperbola. Dengan mengambil titik asal ,
sumbu- tegak lurus dengan direktriks dan sumbu- sejajar dengan direktriks,
misalkan sembarang titik pada hiperbola. Persamaan hiperbola dapat
ditentukan dari syarat
Karena , maka √
. Karena – – ,
maka – – .
Dengan demikian, √
; sehingga , atau
Dengan mengambil bilangan positif , diperoleh
. Persamaan di atas sering ditulis juga sebagai
. Dari langkah-langkah di atas diperoleh unsur-unsur dan karakteristik hiperbola
sebagai berikut : a.
Misal dinotasikan , dari diperoleh
. b.
Garis dan garis merupakan direktriks dari hiperbola. Kedua garis ini berjarak
dari titik O. Jadi direktriks hiperbola adalah garis dengan persamaan .
c. Karena , maka persamaan direktriks dapat ditulis sebagai
.
Kegiatan Pembelajaran 8
106
d. Titik
atau merupakan fokus dari hiperbola. Hiperbola juga akan terbentuk jika didefinisikan dari fokus ke dua
dan direktriks ke dua . Jadi fokus hiperbola tersebut adalah dan .
e. Ruas garis disebut sumbu nyata. Walaupun kurva tidak memotong sumbu-
, dapat ditempatkan , dan , garis atau sumbu- disebut sumbu sekawan conjugate axis.
f. Jelas bahwa dan , dan simetris terhadap sumbu sekawan, yaitu
sumbu- .
g. Titik dan disebut titik puncak vertexvertices, yaitu perpotongan antara
sumbu nyata dengan hiperbola. Koordinat titik puncak hiperbola adalah dan
. h.
Titik O dinamakan pusat hiperbola, yaitu perpotongan antara sumbu nyata dan sumbu sekawan.
i. Latus rectum hiperbola
, ruas garis diperoleh dari mengalikan 2 ordinat positif dari fokusnya, yaitu dengan mengalikan 2 ordinat yang
bersesuaian dengan √
. Diperoleh panjang latus rectum adalah .
j. Ruas kanan persamaan
atau tidak pernah
bernilai 0 sehingga dan
. Jadi sembarang titik pada hiperbola tidak pernah terletak pada garis
atau dan garis
atau . Kedua garis ini dinamakan asimptot hiperbola.
x y
F’-c,0 Fc,0
A’-a,0 Aa,0
b,0
-b,0 B
B’ O
C C’
Gambar 110. Unsur-unsur hiperbola
Modul Pelatihan Matematika SMA
107
Contoh Diberikan hiperbola
. Tentukan karakteristik hiperbola ini. Jawab.
Dari persamaan diperoleh atau dan
atau sehingga √ . Karakteristiknya adalah :
a. Berpusat di O0,0
b. Fokus di titik dan
c. Sumbu utama adalah sumbu- dengan panjang 6.
d. Sumbu sekawan adalah sumbu- dengan panjang 8.
e. Titik puncaknya di dan
f. Panjang latus rectum
. g.
Direktriks garis dan
. h.
Eksentrisitas .
Jika sumbu- merupakan sumbu nyata, maka fokusnya terletak di sepanjang sumbu
nyata ini, variabel dan bertukar posisi dalam persamaan, sehingga diperoleh
di mana menyatakan sumbu nyata , dan merupakan panjang sumbu
sekawan .
Dengan cara yang sama untuk hiperbola yang fokusnya terletak pada sumbu- ,
diperoleh juga beberapa rumus berikut. a.
b.
√
c. √
d.
Gambar 111 Hiperbola dengan sumbu
Kegiatan Pembelajaran 8
108
nyata sumbu- Contoh
Diberikan hiperbola dengan persamaan tentukan puncak,
fokus, asimptot dan buatlah sketsanya. Jawab.
Persamaan hiperbola dapat ditulis menjadi
. Dari persamaan terakhir diperoleh
, sehingga √ √ dan memiliki karakteristik sebagai berikut.
a. Berpusat di
b. Hiperbola membuka ke atas dan ke bawah
c. Puncak
1
dan
2
d. Asimptot
x y
3 4
dan
x y
3 4
e. Fokus
1
dan
2
. Persamaan hiperbola yang pusatnya di titik
dan sumbu nyatanya sejajar dengan sumbu-
analog dengan ellips adalah
Hiperbola ini mempunyai sifat : Pusat hiperbola :
Puncak hiperbola :
1
dan
2
– Fokus hiperbola :
1
dan
2
– Asimptot
:
h x
a b
k y
dan
h x
a b
k y
Jika sumbu nyata sejajar dengan sumbu- , menyatakan panjang setengah sumbu
nyata hiperbola, dan persamaannya adalah
